高三数学 第三篇 第一节角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数 理 北师大版

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第一节 角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数
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1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互 考 化. 纲 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 点 定义. 击 4.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2 x＋cos2 x＝1，＝tan x.
1.三角函数定义的理解和运用，如已知角α的
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角
α的弧度数的绝对值是|α|＝
l r
.
(3)角度与弧度的换算 ①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r. 又l＝rα，则扇形的面积为 S＝21lr＝12r2α.
(2)商数关系：scions α α＝tan α.
1．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正
值是( )
A.23π
B.116π
C.56π
D.34π
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【解析】 r＝ ( 3)2＋(－1)2＝2， x3
则 cos α＝r＝ 2 . 又由题意知 α 是第四象限角， ∴α 的最小正值是116π.
【解析】 由已知得tan α<0，cos α<0，则α是第二 象限角．
【答案】 二
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三角函数的定义
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α， tan α的值．
【思路点拨】 本题求α的三角函数值．依据三角函数的定 义，可在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，求出r， 由定义得出结论．
tan α＝yx＝－43tt＝－34；
当 t<0 时，r＝－5t，sin α＝ry＝－ －53tt＝53，
cos α＝xr＝－45tt＝－45，tan α＝xy＝－4t3t＝－34.
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综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；
3
4
3
或 sin α＝5，cos α＝－5，tan α＝－4.
论．
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1．已知角θ终边上一点P(x,2x－3)(其中x≠0)且tan θ＝－x， 求sin θ＋cos θ的值．
【解析】 ∵tan θ＝2xx－3，∴2xx－3＝－x，
【自主探究】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
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r＝ x2＋y2＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t 3
x 4t 4
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sin α＝r＝ 5t ＝－5，cos α＝r＝5t＝5，
＝
一全正，二正弦，三正弦，四余弦
sinα
cos_α
sin(α＋k·2π)＝ cos(α＋k·2π)＝
＋ ＝ ＋
＝
ttannα(α＋k·2π) ＝
三角函数 线
有向线段MP为正弦 线
精有品向课线件段OM为余弦 线
有向线段AT为正切 线
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 .
如何表示终边在x轴上的角的集合？终边在y轴上的角
的集合？终边在坐标轴上的角的集合？
提示：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z};
终边在y轴上的角的集合为{
};终边在坐
标轴上的角的集合为{
}
2．弧度制 (1)1弧度的角 长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad表示．
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3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆
心角所对的弧长为( )
A．2
B．sin 2
2 C.sin l
D．2sin l
1 【解析】 由题意圆的半径 r＝sin l，则 2 rad 的圆心
角所对的弧长为 l＝si2n 1.
【答案】 C
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4．与2 010°终边相同的最小正角为________，最大 负角为________．
【方法点评】 1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出
点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点
的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关
问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值．
【特别提醒】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨
【答案】 B
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2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【解析】 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝ m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝ m·360°＋45°，故α为第一象限角． 【答案】 A
终边上一点求相关问题或三角函数值的符号的
热 选取等.
点 提
2.同角三角函数间的精品关课系件 ，可单独考查，也可 能与其他知识结合起来考查.
1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、零角 ②按终边位置不同分为象限角 和 轴线角 (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
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3．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
定义
y叫做α的正弦，记 x叫做α的余弦，记 叫做α的正切，记
作sin α
作cos α
作tan α
各Ⅰ 象Ⅱ 限Ⅲ 符Ⅳ 号 口诀 终边相同 角的三角 函数值
(k∈Z)( 公式一)
＋
＋
＋
＝
＝
＋＝
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)， 则当k＝－6时，β＝2 010°－2 160°＝－150°， 当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°， ∴与2 010°终边相同的最小正角为210°，最大负角 为－150°. 【答案】 210° －150°
5．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终 边在第________象限．
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(3)象限角及其集合表示
象限角 第一象限 角的集合 第二象限 角的集合 第三象限 角的集合 第四象限 角的集合
象限角的集合表示
{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}
{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z} {α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z} {α|2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z}
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