2020高考数学压轴题汇编圆锥曲线解题技巧《圆锥曲线解题十招全归纳》011
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2020 高考数学压轴题《圆锥曲线解题十招全归纳》 圆锥曲线解题十招全归纳
圆锥曲线 解题十招全归纳
1
《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一：弦的垂直平分线问题.............................................................................. 3 招式二：动弦过定点的问题.................................................................................. 5 招式四：共线向量问题.......................................................................................... 7 招式五：面积问题................................................................................................ 14 招式六：弦或弦长为定值、最值问题................................................................ 17 招式七：直线问题................................................................................................ 20 招式八：轨迹问题................................................................................................ 24 招式九：对称问题................................................................................................ 31 招式十、存在性问题............................................................................................ 34
2) 4
消
y
整理得
(1
4k12
)
x2
16k2
x
16k12
4
0
2和x1
是方程的两个根，
2 x1
16k12 4 1 4k12
则
x1
2 8k12 1 4k12
，
y1
4k1 1 4k12
，即点
M
的坐标为
(
2 8k12 1 4k12
,
1
4k1 4k12
解：设直线
AB
的方程为
y
x
b
，由
y y
x2 xb
3
x2
x
b
3
0
x1
x2
1，进而可求出
AB
3
的中点 M ( 1 , 1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0 ，由弦
22
22
长公式可求出 AB 112 12 4 (2) 3 2 ．
2
招式一：弦的垂直平分线问题
例题 1、过点 T(-1,0)作直线 l 与曲线 N ：y2 x 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0)，使得 ABE 是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : y k(x 1) ， k 0 ， A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) 。
后解决相关问题，比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件
比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三
角形（即 D 在 AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等。
例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于
4
招式二：动弦过定点的问题
例题
2、已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3， 2
且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；
（II）若直线 l : x t(t 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于
点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直 线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
由
y k(x
y
2
x
1)
消
y
整理，得
k 2 x2
(2k 2
1)x
k2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0
即0 k2 1
②
4
由韦达定理，得：
x1
x2
2k 2 k2
1
,
x1x2
1 。则线段
AB
的中点为 (
2k 2 2k
2
1
,
1) 2k
。
线段的垂直平分线方程为：
1 k2
1 k2 2k
解得 k
39 13
满足②式此时
x0
5 3
。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点．差．或．者．韦．达．定．理．产生弦 AB
的中点坐标 M，结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然
解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 e c 3 ， a 2 ,则得 c 3,b 1。从而椭圆的方程为 x2 y2 1
a2
4
（II）设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 A1M 的斜率为 k1 ,则直线 A1M 的方程为 y k1(x 2) ，由
y k1(x x2 4y2
y
1 2k
1 k
(
x
1
2k 2k 2
2
)
令
y=0,得 x0
1 2k 2
1 2
，则Baidu Nhomakorabea
E
(
1 2k
2
1 , 0) 2
ABE
为正三角形，
E
(
1 2k
2
1 , 0) 2
到直线
AB
的距离
d
为
3 2
AB 。
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 4k2 k2
1 k2
d
1 k2 2k
3
1 4k2 2k 2
圆锥曲线 解题十招全归纳
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《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一：弦的垂直平分线问题.............................................................................. 3 招式二：动弦过定点的问题.................................................................................. 5 招式四：共线向量问题.......................................................................................... 7 招式五：面积问题................................................................................................ 14 招式六：弦或弦长为定值、最值问题................................................................ 17 招式七：直线问题................................................................................................ 20 招式八：轨迹问题................................................................................................ 24 招式九：对称问题................................................................................................ 31 招式十、存在性问题............................................................................................ 34
2) 4
消
y
整理得
(1
4k12
)
x2
16k2
x
16k12
4
0
2和x1
是方程的两个根，
2 x1
16k12 4 1 4k12
则
x1
2 8k12 1 4k12
，
y1
4k1 1 4k12
，即点
M
的坐标为
(
2 8k12 1 4k12
,
1
4k1 4k12
解：设直线
AB
的方程为
y
x
b
，由
y y
x2 xb
3
x2
x
b
3
0
x1
x2
1，进而可求出
AB
3
的中点 M ( 1 , 1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0 ，由弦
22
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长公式可求出 AB 112 12 4 (2) 3 2 ．
2
招式一：弦的垂直平分线问题
例题 1、过点 T(-1,0)作直线 l 与曲线 N ：y2 x 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0)，使得 ABE 是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : y k(x 1) ， k 0 ， A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) 。
后解决相关问题，比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件
比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三
角形（即 D 在 AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等。
例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于
4
招式二：动弦过定点的问题
例题
2、已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3， 2
且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；
（II）若直线 l : x t(t 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于
点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直 线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
由
y k(x
y
2
x
1)
消
y
整理，得
k 2 x2
(2k 2
1)x
k2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0
即0 k2 1
②
4
由韦达定理，得：
x1
x2
2k 2 k2
1
,
x1x2
1 。则线段
AB
的中点为 (
2k 2 2k
2
1
,
1) 2k
。
线段的垂直平分线方程为：
1 k2
1 k2 2k
解得 k
39 13
满足②式此时
x0
5 3
。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点．差．或．者．韦．达．定．理．产生弦 AB
的中点坐标 M，结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然
解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 e c 3 ， a 2 ,则得 c 3,b 1。从而椭圆的方程为 x2 y2 1
a2
4
（II）设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 A1M 的斜率为 k1 ,则直线 A1M 的方程为 y k1(x 2) ，由
y k1(x x2 4y2
y
1 2k
1 k
(
x
1
2k 2k 2
2
)
令
y=0,得 x0
1 2k 2
1 2
，则Baidu Nhomakorabea
E
(
1 2k
2
1 , 0) 2
ABE
为正三角形，
E
(
1 2k
2
1 , 0) 2
到直线
AB
的距离
d
为
3 2
AB 。
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 4k2 k2
1 k2
d
1 k2 2k
3
1 4k2 2k 2