矢量的运算法则

b.矢量三重积： A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
例1：设
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa , r a a 2 a 1 x y a z 2 x 3 y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa a , r 3 a 2 a 5 a 3 x y 3 z 4 x y z
F 1 ( F r ) 1 F r F z r r r z
2 F ( F s i n ) 1 ( R F ) 1 1 R F 2 R R R s i n R s i n
正交曲线坐标系中：
F h h ( F h h ) ( F h h ) 1 u u u 1 2 3 3 12 2 13 F h h h u u u 123 1 2 3
矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
CA B
C
B
A

A
a.满足交换律： A BBA
A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D ) b.满足结合律： (
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 a ˆx , a ˆy,a ˆ z 表示。 根据矢量加法运算：
任何标量场梯度的旋度恒为零。
( 2 ) ( F ) 0
任何矢量场的旋度的散度恒为零。
2 2. 拉普拉斯算子 ( )
2 2 2 2 在直角坐标系中： x2 y2 z2
b
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
c
，则
x
y
c a k ( b a )
c ( 1 k ) a k b
其中：k 为任意实数。
矢量微分元：线元、面元、体元
例：
F d l , B d S , d V
dS
其中：dl , dS 和 d V 称为微分元。
dl
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆx ˆ 线元：dlx dxa 面元： d S dd yz a x x
Az
z
A
o
A
x
A
y
A A A A x y z
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ A A a , A A aA , z A a x x x y y y z z
ˆ ˆ ˆ 所以： AA x a A a A a x y y z z
ˆ ˆ ˆ x a A a A a 矢量： AA x y y z z

y
方向角与方向余弦： , ,
x
A A A y x z cos , cos , cos |A | |A | |A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ ˆ ˆ A B C ( A B C ) a ( A B C ) a ( A B C ) a x x x x y yy y z z z z
z o x y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( A a A a A a ) ( B a B a B a ) x x y y z z x x y y z z
ˆ ˆ ˆ ( A B A B ) aA ( B A B ) aA ( B A B ) a y z zy x zx x z y x y y xz
ˆ ˆ ˆ 在直角坐标系中： a a a x y z x y z
在柱坐标系中： 在球坐标系中：
ˆ ˆ ˆ a a a r z r r z
ˆ ˆ ˆ a a a R R R R s i n


F F F F F F y y x x z z 旋度公式： ˆ ˆ ˆ F a a a x y z y z z x x y
ˆx a 为了便于记忆，将旋度的 计算公式写成下列形式: F x Fx
2 2 2 | A B | 1 5 ( 1 0 ) 3 03 5
1 ˆ ˆx 2 ˆy 6 ˆz) a 3 a a a n ( 7
例3： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
a
和 b ，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
z
a
c
A C B
定义： A B C | A | | B | | C | s i n c o s
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。

hB C
A
C


B
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
在任意正交曲线坐标系中：
ˆ ˆ ˆ a a a u 1 u 2 u 3 h u hu hu 1 1 2 2 3 3
常用坐标系中，散度的计算公式
F F F y x F z 直角坐标系中： x y z
柱坐标系中： 球坐标系中：
求： r a r b r c r 中的标量 a、b、c。 4 1 2 3
ˆ ˆ ˆ a 2 a 5 a 解： 3 x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa ( 2 a a ) b ( a 3 a 2) a c (2 a a 3) a x y z x y z x y z
B B AA , B B A 推论1：不服从交换律： A
( B C )A B A C 推论2：服从分配律： A
A
推论3：不服从结合律： A ( B CA )( B ) C 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
2 2 2 模的计算： |A | A A A x y z
z
Az
A

单位矢量：
A A A A y x z ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a x y z |A | |A | |A | |A |
o
A
x

A
y
ˆ ˆ ˆ c o s a c o s a c o s a x y z
ˆy a y Fy
ˆz a z Fz
类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：
ˆu1 h1a 1 F h1h2 h3 u1 h1Fu1 ˆu2 h2 a u2 h2 Fu2 ˆu3 h3a u3 h3 Fu3
重要的场论公式
1. 两个零恒等式
( 1 ) ( ) 0
2.减法：换成加法运算
D A B A ( B )
逆矢量： B 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
B
A

A
B
D
B
C
B
A
A B C 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( A B ) a ( A B ) a ( A B ) a x x x y y y z zz
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 方向不变，大小为|k|倍 k 0 ˆ k A k |A |a k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A BAB | | | | c o s
dd l r a ra d d z a r z
面元：

d S r d d z a r r
d S r d d r a z z
d S dd rz a
体元： d V r dd r d z
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R , , ) ，如图，做一微分体元。 线元： 面元：
A ( B C ) 0
A
C


B
在直角坐标系中：
ˆ ˆ ˆ a a a x y z ˆ ˆ ˆ A ( B C ) ( A a A a A a B B B x x y y z z) x y z C x C y C z Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz Cx Cy Cz
ˆ ˆ ˆ B 4 a 3 a a x y z
A 、 B 所在平面的单位矢量。
ˆx a ˆy a ˆz a
解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。
ˆn a
A B A B
ˆx ˆy ˆz A B2 6 3 1 5 a 1 0 a 3 0 a 4 3 1
两矢量的叉积又可表示为：
ˆx a A B Ax Bx
ˆy a Ay By
ˆz a Az Bz
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
(A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A (BC ) 标量，标量三重积。
A (B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
d l d R a R d a R s i n d a R
2 d SR s i n d d a R R



d SR s i n d R d a
d S R d Ra d
体元：
2 d V R s i nddd R
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：

B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B Aபைடு நூலகம்
A ( B C )A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a 0 , a 0 , a 0 x a y x a z y a z ˆ ˆ a 1 , x a x ˆ ˆ a 1 , y a y ˆ ˆ a 1 z a z
有两矢量点积：
ˆˆˆ ˆˆˆ A B ( A a A a A a ) ( B a B a B a ) x x y y z z x x y y z z
ˆ ˆ ˆ ( 2 a b 2 c ) a ( a 3 b c ) aa ( 2 b 3 c ) a x y z
则： 2 a b 2 c 3
a 2 b 1 c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
例2： 已知 A ˆ ˆ ˆ 2 a 6 a 3 a x y z 求：确定垂直于
ˆy dly dya
ˆy d S dd xz a y
ˆz dlz dza ˆ ˆ ˆ d l d x a d y a d z a x y z
ˆ d S dd xy a z z
体元： d V d x d y d z
2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为( r , , z ) ，如图，做一微分体元。 线元：
A B A B A B x x y y z z
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
b.矢量积（叉积）：
ˆ A B | AB || | s i n a c
aˆ
c
B

•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。