动态几何问题PPT课件
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图形中的点、线的运动，构成了数学中
的一个新问题——动态几何。它通常分为三 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图 形的面积为基本的条件，给出一个或多个变 量，要求确定变量与其它量之间的关系，或 变量在一定条件下为定量时，进行相关的几 何计算、证明或判断。
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系，建．立变量与其它量之间的 ， 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。
(1)当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点
的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； Ｂ
解：（1）S PCQ
1 2
PC
• CQ
1 3 t• 2t
2
Q
3 t• t 2
解得 t1 1, t2 2 A P
Ｃ
当时间t为1s或2s时，SPCQ 2cm2
(2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设
类似的试题有：
(06吉林省中考题)A、B是直线l上的两点，AB=4厘 米。过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角 ∠1=60°，线段BC=2厘米。动点P、Q分别从B、 C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向 运动。设P、Q运动的时间为t(秒)，当t＞2时，PA 交CD于E。
(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；
二、动点与列函数关系式相结合
例2：（07河北中考题)已知：如图：
△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
CB=4cm， 两个动点P、Q 分别从A 、
Ｂ
C两点同时按顺时针方向沿△ABC的
边运动，当点Q运动到点A时，P 、Q
两点运动即停止，点 P、Q的运动速
度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P
A.6 C.4
A E
B
B.8 D.10 D
M
NC
（4）（北京06中考题）已知抛物线y ax2 bx c与y 轴交于点A(0，3) ，与轴分别交于B(1，0) ，C(5，0) 两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴 上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动 的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最 短总路径的长．
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时
Ｂ
当t
3 2
,
s有最大值,
s1
9 4
②在2＜t≤3时
当t
3，s有最大值，s2
12 5
Q
③在3＜t≤4.5时
A
Ｃ
当t
9 2
，s有最大值，s3
15 4
P
所以 S有最大值是 15
4
技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关 键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定 自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的 步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。 直接确定其思维过程为：
①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ ② 在变化过程中有无特殊点（数） ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动 态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是 今后发展的命题趋势。
(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式；
(3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是 多少厘米？
三、动点与坐标几何题相结合
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 A，B的坐标分别为 (4，0)，(4，3) ，动点M，N分别从点
O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点
M 沿OA向终点 A运动，点 N 沿BC向终点 C 运动，
一、动点型
1、动点与最值问题相结合
2、动点与列函数． 关系式相结合
，
3、动点与坐标几何题相结合
4、动点与分类讨论相结合
一、动点与最值问题相结合
例106河南中考题如图，在ABC中，AC BC 2,
ACB 900, D是边BC的中点，E是边AB上一动点，
则EC ED的最小值是_______
AE
PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与
时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
解：（2）①当0＜t≤2时
s t2 3t t 3 2 9
②当2＜t≤3时2 4
s
4
百度文库
t2
18
6
4
t
9
2
39
5 5 5 4 20
③当3＜t≤4.5时
s
3
t
2
27
t
42
3
t
9
2
15
5 5 5 5 2 4
Q
运动时间为t(s)
A
Ｃ
P
(1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为 顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等 于2cm²； (2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随 之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为 S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并 指出自变量t的取值范围； （3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分 面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由。
A E
F
C D BC D B
类似的试题有：
108荆门如图，菱形ABCD的两条对角线
分别长6和8，点P是对角线AC上的一个
动点，点M , N分别是边AB，BC的中点，
则PM PN的最小值是————
D
A
P
N’ C
MN B
208黄石如图，在等腰ABC中，ABC 1200
点P是底边AC上一个动点，M , N分别是AB, BC
的中点，若PM PN的最小值为2，则ABC的
周长是
A.2
C.4
B. 2 3
D. 4 2 3
B
M
N
A
PC
3.08呼和浩特如图，已知梯形ABCD，AD // BC,
AD DC 4, BC 8,点N在BC上，CN 2, E是AB 中点，在AC上找一点M，使EM MN的值最小，
此时其最小值一定等于
过点 N 作NP BC ，交AC于点 P，连结MP，当两动点
运动了t 秒时．
（1）P点的坐标为（
，
）（用含t的代数式表示）．
（2）记 △MPA的面积为S，求S与 t 的函数关系式(0 t 4)
的一个新问题——动态几何。它通常分为三 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图 形的面积为基本的条件，给出一个或多个变 量，要求确定变量与其它量之间的关系，或 变量在一定条件下为定量时，进行相关的几 何计算、证明或判断。
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系，建．立变量与其它量之间的 ， 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。
(1)当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点
的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； Ｂ
解：（1）S PCQ
1 2
PC
• CQ
1 3 t• 2t
2
Q
3 t• t 2
解得 t1 1, t2 2 A P
Ｃ
当时间t为1s或2s时，SPCQ 2cm2
(2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设
类似的试题有：
(06吉林省中考题)A、B是直线l上的两点，AB=4厘 米。过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角 ∠1=60°，线段BC=2厘米。动点P、Q分别从B、 C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向 运动。设P、Q运动的时间为t(秒)，当t＞2时，PA 交CD于E。
(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长；
二、动点与列函数关系式相结合
例2：（07河北中考题)已知：如图：
△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
CB=4cm， 两个动点P、Q 分别从A 、
Ｂ
C两点同时按顺时针方向沿△ABC的
边运动，当点Q运动到点A时，P 、Q
两点运动即停止，点 P、Q的运动速
度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P
A.6 C.4
A E
B
B.8 D.10 D
M
NC
（4）（北京06中考题）已知抛物线y ax2 bx c与y 轴交于点A(0，3) ，与轴分别交于B(1，0) ，C(5，0) 两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴 上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动 的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最 短总路径的长．
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时
Ｂ
当t
3 2
,
s有最大值,
s1
9 4
②在2＜t≤3时
当t
3，s有最大值，s2
12 5
Q
③在3＜t≤4.5时
A
Ｃ
当t
9 2
，s有最大值，s3
15 4
P
所以 S有最大值是 15
4
技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关 键在于寻找两个变量的等量关系，同时，确定 自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的 步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。 直接确定其思维过程为：
①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ ② 在变化过程中有无特殊点（数） ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动 态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是 今后发展的命题趋势。
(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式；
(3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是 多少厘米？
三、动点与坐标几何题相结合
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 A，B的坐标分别为 (4，0)，(4，3) ，动点M，N分别从点
O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点
M 沿OA向终点 A运动，点 N 沿BC向终点 C 运动，
一、动点型
1、动点与最值问题相结合
2、动点与列函数． 关系式相结合
，
3、动点与坐标几何题相结合
4、动点与分类讨论相结合
一、动点与最值问题相结合
例106河南中考题如图，在ABC中，AC BC 2,
ACB 900, D是边BC的中点，E是边AB上一动点，
则EC ED的最小值是_______
AE
PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与
时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
解：（2）①当0＜t≤2时
s t2 3t t 3 2 9
②当2＜t≤3时2 4
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4
百度文库
t2
18
6
4
t
9
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5 5 5 4 20
③当3＜t≤4.5时
s
3
t
2
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t
42
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t
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5 5 5 5 2 4
Q
运动时间为t(s)
A
Ｃ
P
(1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为 顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等 于2cm²； (2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随 之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为 S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并 指出自变量t的取值范围； （3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分 面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由。
A E
F
C D BC D B
类似的试题有：
108荆门如图，菱形ABCD的两条对角线
分别长6和8，点P是对角线AC上的一个
动点，点M , N分别是边AB，BC的中点，
则PM PN的最小值是————
D
A
P
N’ C
MN B
208黄石如图，在等腰ABC中，ABC 1200
点P是底边AC上一个动点，M , N分别是AB, BC
的中点，若PM PN的最小值为2，则ABC的
周长是
A.2
C.4
B. 2 3
D. 4 2 3
B
M
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A
PC
3.08呼和浩特如图，已知梯形ABCD，AD // BC,
AD DC 4, BC 8,点N在BC上，CN 2, E是AB 中点，在AC上找一点M，使EM MN的值最小，
此时其最小值一定等于
过点 N 作NP BC ，交AC于点 P，连结MP，当两动点
运动了t 秒时．
（1）P点的坐标为（
，
）（用含t的代数式表示）．
（2）记 △MPA的面积为S，求S与 t 的函数关系式(0 t 4)