有限元法

V 从以上可以看出， h 是满足下列条件的所有 函数 uh 的集合：
(1)、uh在 a, b 上连续，且uh，uh L2 a, b ; (3)、uh a 0. (2)、uh在ei 上是次数不超过1的多项式;
1 Vh 是 H E 的一个n维子空间，称为试探函数空间 故 uh Vh 称为试探函数。
第十章 有限元法 有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法， 它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值。从 第一方面看，有限元法是Ritz-Galerkin方法的一种变形。 它提供了一种选取“局部基函数”的新技巧，从而克服了 Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难。从第二方面看， 它是差分方法的一种变形。差分法是点近似，它只考虑在 有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何 变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似。因此有限 元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的 结果。在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法 比差分方法有更广泛的适应性。
一、有限元方法解题分析 为了说明应用有限元方法的解题步 骤，以及每一步骤中的要点，下面我们
以两点边值问题为例进行具体分析。
考虑两点边值问题
d du Lu p qu f , a x b dx dx u a 0, u ' b 0
积分表达式（1.3）是应用有限元法求解（1.1）、（1.2） 式的出发点。
2、区域剖分 剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成 若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域 称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般是 规则的，但形状与大小可以不同。对于一维情形最 为简单：
将求解区域 a, b 剖分成若干个子区间，其节点为
我们来计算单元 ei 上的积分。为讨论方便，作变换

x xi 1 hi (1.9)
并引入记号
N0 1 , N1 ,
u 则在 ei 上， h 可写成
uh x N 0 ui 1 N1 ui ui 1 N 0 , N1 , ui
i i i
第二步：总体合成 总体合成就是将单元的有限元特征式进行累加， 合成为总体有限元方程。这一过程实际上是将单元有限 元特征式中的系数矩阵逐个累加，合成为总体系数矩阵 （称为总刚度矩阵）；同时将右端单元荷载向量逐个累 加，合成为总荷载向量，从而得到关于 u1 , u2 ,, un 的线 性代数方程组。 为了形成总刚度矩阵，我们令
ai1,i i ai ,i
i
1.13
称为单元刚度矩阵，其中
a i 1 h 1 p x h h q x h (1 ) 2 d i 1 i i i 1 i i 1,i 1 0 i 1 i ai ,i hi1 p xi 1 hi hi q xi 1 hi 2 d 0 1 i ai1,i ai,ii1 hi1 p xi 1 hi hi q xi 1 hi (1 ) d , 1.14 0
T i
h 1 pM T M qN T N d u i (u ) i 0
i
i T
(u )T K u ,
i i
1.12
这里，
K
i
hi pM T M qN T N d
1 0 i ai1,i 1 i ai ,i 1
或写成
uh x Nu ,
i
（1.10）
T
其中，
N N 0 , N1 , u ui 1 , ui .
i
而 uh 可表示为
uh x
1 ui ui 1 Mu i , hi
1.11
式中， M 1/ hi ,1/ hi . 于是有
pu qu dx p (u ) u q (u u )dx
xi xi 1 2 h 2 h xi T T xi 1 1 h h h h T i i hi p M Mu q Nu 0


Nu d
1.16
称 F i 为单元“荷载”向量。 根据以上分析，便有
1 n i J uh u 2 i 1

T
K u u
i i
i 1
n
Байду номын сангаас
i
T
F .
i
1.17
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K u F
x xi 1 h , xi 1 x xi , i 1, 2, , n 1 i x x i x i 1 , xi x xi 1 , hi 1 0, 在别处 x xn 1 , xn 1 x xn , x h n n 0, 在别处
a x0 x1 xi xn b
每个单元 ei xi 1 , xi 的长度为 hi xi xi1. 单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小， 可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变 化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些。
令
J uh u j
0,
(1.6)
便得到确定 u1 , u2 ,, un 的线性代数方程组
a , u f , .
n i 1 i j i j
j 1, 2,, n.
1.7
称（1.7）为有限元方程。
显然，只要我们分别算出 a i , j 及 ( f , j ，i, j 1, 2,, n), 就可以求解（1.7）。 但在工程计算中，并不是按照上述步骤形成 有限元方程的，而是首先建立单元有限元特 征式（称这一过程为单元分析），然后再将 单元的有限元特征式进行累加，合成为总体 有限元方程（这一过程称为总体合成）。
4、有限元方程的形成
1 Vh 代替 H E ，在 Vh 上解泛函数 与Ritz法一样，以
（1.3）的极小问题。 将（1.5）代入（1.3），得
1 J uh a uh , uh f , uh 2 n 1 n = a i , j ui u j u j f , j . 2 i, j j 1
下面分步分析具体的计算方法。 第一步：单元分析。注意到
J uh 1 a uh , uh f , uh 2 n xi 1 n xi 2 2 quh dx fuh dx, = puh xi 1 2 i 1 xi1 i 1
(1.8)
（1.4）
V 显然，h 中任一函数 uh 可以表示为基函数 i x 的 线性组合，即
uh u11 x u22 x unn x ,
u 其中， 1 , u2 ,, un 是 uh 在节点上的值，即
uh xi ui i 1,2,, n , u 在单元 ei 上，h x 表示为
u (u1 , u2 ,, un )T , 0 0 1 0 0 i B 0 0 0 1 0 2n i 1 i 列 列
于是有
u ui 1 , ui B u ,
i T i
从而（1.17）右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1
uh x ui 1i 1 x uii x =ui 1 xi x x xi 1 ui , hi hi
1.5
x xi 1 , xi .
可见，单元中的近似函数由单元基函数线性组合 产生，全区域的近似函数由各个单元的近似函数 叠加而成。

T
K u
i i
1 n T i i i u [( B )T K B ]u 2 i 1 1 u T Ku 2
其中，
K (B ) K B
i
T i 1 n
i i
K
i i 1
n
i n ai1,i 1 i i 1 ai,i1
由变分原理可知，与边值问题（1.1）（1.2） 1 等价的变分问题是：求 u H E , 使
J u* min J u 1
uH E
其中
1 J u a u, u f , u 2
（ ） 1.3
b b du dv a u, v p quv dx ，f , u fudx. a a dx dx
3、确定单元基函数 有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就 在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的。由于各
个单元具有规则的几何形状，而且可以不必考虑 边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵 循一定的法则。
1 设 Vh 为 H E 的有限维子空间，它的元素为 uh x 要构造 Vh ，只需构造单元基函数 i 。构造单元基 函数应遵循如下原则：
对（1.8）式右端第二项积分，同样有

xi
xi 1
fuh dx hi Nu
0 i T
f x u F ,
1
i
T
i 1
hi d (1.15)
i
式中，
F
i
Fi 1 , Fi

i
i

T
,
F i h 1 f x h 1 d i 0 i 1 i i 1 1 Fi i1 hi f xi 1 hi d 0
i
其中，
b B
i 1 n n

i
T
F
i

ai1,i
i
ai,i
i


第i-1行 第i行
这就是总刚度矩阵（未标明的元素均为0）。
对（1.17）右端第二个和式，有
u
n
i
T
F
i
i 1
i u B i 1 n T

i
T
F u T b,
1.1 1.2
p x C1 a, b , p 0, q C a, b , q 0, f C a, b 其中
我们将从Ritz法和Galerkin法两种观点出发，导出 解边值问题（1.1）、（1.2）的线性有限元方法。
（一）从Ritz法出发建立有限元方程 1、写出Ritz形式的变分问题
（1）、每个单元中的基函数的个数和单元中的 节点数相同，每个节点分别对应一个基函数，本例 中，单元 ei 有两个节点，因此基函数有两个。 （2）基函数应具有下面的性质：
1, j xk jk 0, j k, j k.
其中 xk 是单元节点序号为k的节点。
若取 j x 为线性函数，则按上述原则，可将 Vh 中的基函数取为