山东大学硕士研究生2011年工程数学(科学计算部分)试题及答案

一、 填空题 (每题3分, 共15分)

1. 取3.14159作为π的近似值，则其具有 6 位有效数字.

2. 矩阵A 1302⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦的-∞条件数cond (A)∞= 10 . 3. 对函数()(1)(2)f x x x x =--, 差商[0,1,2,3]f = 1 . 4. 求积分2

1()f x dx ⎰的Simpson 公式为

321

((1)4()(2))6

f f f ++ . 5.

求解常微分方程5dy

x dx

=的隐式Euler 公式为

115)n n n y y h x ++=+ .

二、 计算题 (共35分)

1. (15分) 对方程组

123410312120145x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

, (1) 用Gauss 消去法求解方程组, 并写出由此得到的Doolittle 三角分解LU A =.

(2) 写出对应的Jacobi 迭代格式, 并求迭代矩阵的谱半径. 该格式是否收敛?

解：(1) 771111444

424

247

74103410

3410

3121201010145014

500---⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

, 解得1231x x x === 其LU 分解为71

44424

774101

0041012110010140100--⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(2) Jacobi 迭代格式为

(1)

()

311144112222513344000100k k x x x x x x +⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

其迭代矩阵的特征方程14

211

2

2

14

1()040

λ

λ

λλλ

--=-=, 故其谱半径1

2

, 收敛.

2. (12分) 已知函数)(x f 满足(1)1,(2)3,(3)7,f f f ===求其二次插值多项式. 若再补充条件(1)f '=3, 求其三次插值多项式.

解：利用Lagrange 插值公式，或Newton 插值公式，皆可得二次插值多项式

2()1L x x x =-+. 设三次插值多项式2()1(1)(2)(3)H x x x x x x α=-++---, 则(1)123H α'=+=, 得1α=. 于是2()1(1)(2)(3)H x x x x x x =-++---

325105x x x =-+-.

2. (8分) 对3

()f x dx ⎰的近似求积公式39

()(0)(2)44

Q f f f =

+, 求其代数精确度. 解：令2()1,,f x x x =代入，精确成立

令3()f x x =代入不精确成立. 故代数精确度为2.