高中数学——随机变量及其分布章末归纳总结

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2020年高二数学下学期期末随机变量及其分布知识点(含答案)

解 (1)设乙厂生产的产品为 m 件，依题意得14＝ 5 ， 98 m
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件，
∴估计乙厂生产的优质品为 35×2＝14(件)． 5
(3)依题意，ξ可取 0,1,2，
则 P(ξ＝0)＝C33＝ 1 ，P(ξ＝1)＝C23C12＝ 6 ，
AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nAB． nA
例 3．(2019·山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个
数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A．1 8
B．1 4
C．2 5
D．1 2
【答案】B
解由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 7 ＋ 1 ＝ 8 ． 15 15 15
[变式探究 2] 若本例中的 X 表示取到的粽子的种类，求 X 的分布列．
解由题意知 X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C33＋C35＝1＋10＝ 11 ，
C310
＝2×3×
1－1 3
＋2×
1－3 4
×1＋
1－2 5
×3×1＝23．
54
5
3
4 3 60
3 人中只有 1 人被选中的概率
P3 ＝ P(A －B
－C ∪ －A B －C ∪ －A
－B C) ＝ 2 ×
1－3 4
×
1－1 3
＋
1－2 5
×3×
1－1 3
＋
5
4
1－2 5
×

第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)

，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB

.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得，若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，

第七章随机变量及其分布列章末总结-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第三册)

P(B|A)= ()
=
=
2
.
3
=

4
,
15
典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
<
>
/m
<
>
/m
<
典例分析
（2）因为 n(AB) =
>
m
<
A23
= 6 ，所以 P(AB) =
>
/m
<
>
m

高中数学《第二章随机变量及其分布小结》136PPT课件

休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
（１）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数
f (x) x2 x 1 在区间 (4 ，6) 上有且只有一个零点”为事件 A ，求事件 A 发生的概率 P ；（２）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求
随机变量的分布列及数学期望 E .
C
n N
,k
0,1, 2,L
,m
其中m min{M, n}，且 n N , M N , n, M , N N ．
称分布列
X
0
P
C0M CnN M CnN
1
C C 1 n1 M NM CnN
…
m
…
C C m nm M NM CnN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC distribution ) .
注意：区别互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
3．两个相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B 也是相互独立.
4．相互独立事件同时发生的概率的计算公式:
（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为
1 10
2 50 100
3
40
230 100
2.3
参加人数
50 40 30 20 10
活动次数
1
2
3

随机变量及其分布章末复习

N (0,1) P( x) F ( x) ( x

)
已知随机变量 P( 1)
N (1, 4)，(0.5) 0.6915, 则 , P( 0) .
1 3 1．已知 P(B|A)＝，P(A)＝，P(AB)＝( 2 5 5 A. 6 3 C. 10 9 B. 10 1 D. 10
变量可能取的每一个值，以及取每一个值所表示的意义．
离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、
分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理信息的能力．主要题型： (1)离散型随机变量分布列的判断； (2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差； (3) 根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参数．
(1) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2) 求这三人该课程考核都合格的概率． ( 结果保留三位小
数)．
解析：
件；
记“甲理论考核合格”为事件A1，记为A1的对立事
记“乙理论考核合格”为事件A2，记为A2的对立事件；记“丙理论考核合格”为事件A3，记为A3的对立事件；记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格 ”为事件C，记为C的对
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 9 000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔 1 偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为， 9 1 1 ，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在 10 11 此保险中： (1)获赔的概率； (2)获赔金额 ξ 的分布列．

第七章随机变量及其分布【章末复习】高二数学单元复习(人教A版2019选择性必修第三册)

1 ∴P(B|A)＝PPAAB＝415＝4150＝29，
10
1 P(C|A)＝PPAAC＝310＝13.
10
2 重点题型
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59. ∴所求概率为59. 方法二 ∵n(A)＝1×C19＝9， n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，
∴P(B∪C|A)＝59. ∴所求的条件概率为59.
跟踪训练3 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：
等级珍品特级优级一级箱数 10 15 15 10
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
解用分层随机抽样的方法从这 50 箱脐橙中抽取 10 箱，特级品的箱数
为 10×5105＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3. 则 P(ξ＝0)＝CC03C31037＝274，P(ξ＝1)＝CC13C31027＝2410， P(ξ＝2)＝CC23C31017＝470，P(ξ＝3)＝CC33C31007＝1120，
当 a＝38 时，X＝38×6＝228，P＝550＝110；当 a＝39 时，X＝39×6＝234，P＝1500＝15；当 a＝40 时，X＝40×6＝240，P＝1500＝15；当 a＝41 时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2500＝25；当 a＝42 时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝110，
品牌
甲Leabharlann 乙其他市场占有率

第七章随机变量及其分布(章末小结课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球掉入5号球槽的概率.
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，，，的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
方法总结求离散型随机变量的均值、方差的步骤：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变量取各个值的概率；列出分布列；用期望、方差公式求解；标准差代入公式求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( ).
方法总结正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向，，这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.

随机变量及其分布知识点总结资料讲解.doc

圆梦教育中心随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机量的分布列一般地，离散型随机量 X 可能取的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取每一个 x i (i1,2, , n) 的概率P( Xx i ) p i ，称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机量 X 的概率分布列，称X 的分布列 .离散型随机量的分布列具有下述两个性：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，事件X k 生的概率：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。

即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同生的概率，等于每个事件生的概率的，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。

随机变量及其分布考点总结

第二章随机变量及其分布复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。

（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。

4已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同（3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________ （4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________ 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52随即均分给钱四家，A={家得到六章草花}，B={家得到3草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5假钞的20百元钞票中任取两，将其中1在验钞机上检验发现是假钞，求两都是假钞的概率。

2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列章末知识梳理

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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式．
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，

高二数学之(人教版)高中数学选修2-3课件：章末高效整合2

数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
一个盒子装有4个产品，其中有3个一等品、1个二等品，从中取产品两次，每次任取一个，作不放回抽样，设事件 A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．
[思维点击] 解答本题可先写出事件A发生的条件下所有的基本事件，再在此条件下求事件AB发生的概率．
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
[说明]识别条件概率的关键是看已知事件的发生与否会不会影响所求事件的概率．
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为 0； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A)．
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
(3)事件的相互独立性：设 A，B 为两个事件，如果 P(BA) ＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立．如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
[说明]利用公式 P(A|B)＝P(A)和 P(AB)＝P(A)P(B)说明事件 A，B 的相互独立性是比较困难的，通常是直观判断一个事件的发生与否是不影响另一个事件的发生．
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
将产品编号 1,2,3 号为一等品，4 号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第 i 号、第 j 号产品，则试验的样本空间为：
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,1)，(4,2)， (4,3)}，

随机变量及其分布知识点整理.docx

一、离散型随机量的分布列一般地，离散型随机量X 可能取的x1 , x2 , , x i , , x n，X取每一个x i (i 1,2,, n) 的概率P( X x i ) p i，称以下表格X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n随机量X 的概率分布列，称X 的分布列 .离散型随机量的分布列具有下述两个性：（ 1）P i≥0, i1,2, , n （2） p1p2p n11．两点分布如果随机量X 的分布列X01P1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率.2．超几何分布一般地，在含有 M件次品的 N件品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，事件X k 生的概率：P( X k)C M k C N n k M, k0,1,2,3,..., mC N n随机量 X 的概率分布列如下：X01⋯mC0C n 0C1C n 1C m C n mP M N M M N M⋯M N MC N n C N n C N n其中 m min M , n ,且n N, M N ,n,M , N N *。

即 A 、 B 相互独立 P( AB)P( A) P(B)一般地，如果事件 A ,A, ⋯,An 两两相互独立，那么n 个事件同生的概率，等于每个事件生的概12率的，即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 )P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次中的两个事件不可能同生；(2) 相互独立事件：指在不同下的两个事件互不影响. 四、 n 次独立重复一般地，在相同条件下，重复做的n 次称 n 次独立重复 .在 n 次独立重复中，A i 是“第 i 次的果” ，然， P( A 1 A 2A n ) P( A 1 ) P( A 2 ) P( A n )“相同条件下”等价于各次的果不会受其他的影响注 : 独立重复模型足以下三方面特征第一：每次是在同条件下行；第二：各次中的事件是相互独立的；第三：每次都只有两种果，即事件要么生，要么不生.n 次独立重复的公式：一般地，在次独立重复中，事件生的次数X ，在每次中事件生的概率，那么在次nAApn独立重复中，事件恰好生 k 次的概率AP( Xk) C n k p k (1 p)n kC n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q1 p) ，而称 p 成功概率 .五、二分布一般地，在 n 次独立重复中，用X 表示事件 A 生的次数，每次中事件A 生的概率p ，P( Xk) C n k p k (1 p)n k ， k 0,1,2, , nX1⋯ k ⋯nPC n 0 p 0q n C n 1 p 1q n 1 ⋯ C n k p k q n k ⋯C n n p n q 0此称随机量 X 服从二分布，作 X ~ B(n, p) ，并称 p 成功概率 .六、离散随机量的均（数学期望）一般地，随机量 X 的概率分布列X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 E( X ) x1 p1x2 p2x i p i x n p n为 X 的数学期望或均值，简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y也是变量Y ax 1 b ax 2 b ⋯ ax i b ⋯ ax n bP p1p2⋯p⋯pni则EY aE ( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1p0 (1p)p即若 X 服从两点分布，则E( X )p3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 DX(x1E( X )) 2 p1 (x2E( X ))2 p2( x n E( X )) 2 p n为随机变量 X的方差.并称 DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X )p(1p) 2．若X ~ B(n, p)，则D ( X ) np(1p) 3．D (aX b)a2 D( X )。

第二章-随机变量及其分布-章末归纳总结

[点拨] 以求均值为最终目标的题型是高考对本章知识以解答题形式考查的热点题型．解答这类问题关键在于分析随机变量取每一个值时所对应的随机事件，并求相应概率，再列出分布列即可．一般地，这类题型求其数学期望(均值)比较简单，不过本例中在求E(X)时需要用到错位相减法，这是高考命题的一个新动向，应引起我们的高度重视．
(2)6 次中前 2 次均出现正面，要使 2≤S6≤4，则后 4 次中有 2 次正面 2 次反面或 3 次正面 1 次反面．设其概率为 P2，则 P2＝12×12C42122×122＋12×12C34123×12＝352.
[点拨] 对2≤S6≤4所包含的两种情况都要考虑到，本题考查了独立重复试验及其概率求法．
[例6] 如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．
[解析] φ(x)＝ 2π1·10e－(x－20702)2，x∈(－∞，＋∞)， P(|X－72|<20)＝P(|X－μ|<2σ)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 0.9544.
[点拨] (1)从图象入手，认识正态分布的有关知识，发挥图象的直观功能、提高解题效率．
ξ 0 5 10 15 20 25 30
P
13 64 32
15 5 64 16
15 64
31 32 64
(2)E(ξ)＝5×332＋10×1654＋15×156＋20×1654＋25×332
＋30×614＝15.
(1)利用数形结合的思想方法解题． (2)本章的内容很多是由图表给出的，这即是数形结合思想的应用，数形结合思想在高考中占有重要位置，是高考中重点考查的思想，它可以使题目的解答更形象、直观，一目了然．

(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…；（2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

随机变量及其分布列概念公式总结

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…；（2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

高中数学选修2-3（人教B版）第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含..

描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章随机变量及其分布 2.2 条件概率与事件的独立性一、学习任务1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题．2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率乘法公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式．3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，并能利用次独立重复试验的模型模拟次独立重复试验．二、知识清单事件的独立性与条件概率独立重复试验与二项分布三、知识讲解1.事件的独立性与条件概率条件概率的概念一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率（conditional probability）．读作发生的条件下发生的概率．条件概率的性质①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和之间，即．②如果和是两个互斥事件，则相互独立事件的概念设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立（mutually independent）．相互独立事件同时发生的概率：如果事件，，，相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即n k n n A B P (A )>0P (B |A )=P (AB )P (A )A B P (B |A )A B 0 1 0≤P (B|A)≤1 B CP (B ∪C |A )=P (B |A )+P (C |A ).A B P (AB )=P (A )P (B )A B A 1A 2⋯A n n P (⋯)=P ()P ()⋯P ().A 1A 2A n A 1A 2A n 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别20%18%12%为和，两地同时下雨的比例为，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”， “ 乙地为雨天”，则根据题意有（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是20%18%12%A =B =P (A )=0.20,P (B )=0.18,P (AB )=0.12.P (A |B )==≈0.67.P (AB )P (B )0.120.18P (B |A )===0.60.P (AB )P (A )0.120.20如图，四边形是以为圆心，半径的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）______；（2）______．解：；圆的面积是，正方形的面积是，扇形的面积是，由几何概型概率公式得，由条件概率公式得EFGH O 1A EFGH B OHE P (A )=P (B |A )=2π14O πEF GH 2OHE π4P (A )=2πP (B |A)===.P (AB )P (A)12π2π14掷一枚正方体骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现点或点”，则事件，的关系是（）A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥解：B事件，事件，事件，基本事件空间．所以，，，即，因此，事件与相互独立．当“出现点”，事件，同时发生，所以，不是互斥事件．A B 36A B A ={2,4,6}B ={3,6}AB ={6}Ω={1,2,3,4,5,6}P (A )==3612P (B )==2613P (AB )==×161213P (AB )=P (A )P (B )A B 6A B A B 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与．（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球均不命中的概率．解：记“甲投一次命中”为事件，“乙投一次命中”为事件，则，1225A B P (A )=12213，，．（1）恰好命中一次的概率为（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为，则2P (B )=25P ()=A ¯¯¯12P ()=B ¯¯¯35P =P (A ⋅)+P (⋅B )B ¯¯¯A ¯¯¯=P (A )⋅P ()+P ()⋅P (B )B ¯¯¯A ¯¯¯=×+×12351225=.12P 1P 1=P (∩∩∩)A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=P ()⋅P ()⋅P ()⋅P ()A ¯¯¯A ¯¯¯B ¯¯¯B ¯¯¯=(1−(1−12)225)2=9100在一个选拔项目中，每个选手都需要进行轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；解：设事件（，，，）表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知得，，，．（1）设事件表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则（2）设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则456453413A i i =1234i P ()=A 156P ()=A 245P ()=A 334P ()=A 413B P (B )=P ()A 1A 2A ¯¯¯3=P ()P ()P ()A 1A 2A ¯¯¯3=××(1−)564534=.16C P (C )=P (++)A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=P ()+P ()+P ()A ¯¯¯1A 1A ¯¯¯2A 1A 2A ¯¯¯3=+×+××(1−)165615564534=.12描述：例题：2.独立重复试验与二项分布独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的次试验，称为次独立重复试验（independent andrepeated trials）．二项分布一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则此时称随机变量服从二项分布（binnomial distribution），记作），并称为成功概率．n n n X A A p P (X =k )=(1−p ,k=0,1,2,⋯,n .C kn pk )n −k X X ∼B (n ,p ) p 下列随机变量的分布列不属于二项分布的是（）A．投掷一枚均匀的骰子次，表示点数出现的次数B．某射手射中目标的概率为，设每次射击是相互独立的，为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手举行了局乒乓球比赛，表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为，表示下载次数据后电脑被病毒感染的次数解：B选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为和点数不为，且点数为的概率在每一次试验都为，每一次试验都是独立的，故随机变量服从二项分布；选项 B，，故随机变量不服从二项分布；选项 C，甲、乙的获胜率都相等，举行次比赛，相当于进行了次独立重复试验，故服从二项分布；选项 D，由二项分布的定义可知，被感染次数．X 5X 6p X 5X 0.3X n 66616X P (X =1)=p ,P (X =2)=(1−p )p ,P (X =k )=(1−p p )(k −1)X 55X X ∼B (n ,0.3)口袋中有个白色乒乓球，个黄色乒乓球，从中选取次，每次取个后又放回，则次中恰有次取到白球的概率是（）A． B． C． D . 解：D任意取球次，取得白球次的概率是5551531235C 35C 510⋅C 350.5553P (X =3)=(1−0.5=⋅C 350.53)5−3C 350.55甲、乙两名同学进行三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（1）设甲投中的次数为，求的分布列；（2）求乙至多投中次的概率；（3）求乙恰好比甲多投中次的概率．1312ξξ221四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：（1），的可能取值为，，，．的分布列为：（2）设“乙至多投中次”为事件，则（3）设“乙比甲多投中次”为事件，“乙恰投中次且甲恰投中次”为事件，“乙恰投中次且甲恰投中次”为事件，则，，为互斥事件，则所以乙恰好比甲多投中次的概率为．ξ∼B (3,)13ξ0123P(ξ=0)=(=,C 0323)3827P (ξ=1)=()(=,C 131323)249P (ξ=2)=(()=,C 2313)22329P (ξ=3)=(=.C 3313)3127ξξP082714922931272A P (A )=1−(=.C 3312)3782A 120B 131B 2=∪A 1B 1B 2B 1B 2P (A )=P ()+P ()=×+×=.B 1B 282738491816216答案：解析：1. 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是 A ．B ．C ．D ．B 概率为．14542()1662596625192625256625=C 24()452(1−)45296625答案：2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．B ．C ．D ．A0.750.6()0.80.750.60.453. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中任意地连续取出件，其中次品数的5%2ξ高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学《第二章随机变量及其分布小结》159PPT课件

例题练习
例 2 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
(2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X＝k)＝Ck4·CC3733－k(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 35
12 35
18 35
4 35
随机变量 X 的数学期望
E(X)＝0×315＋1×1325＋2×1385＋3×345＝172.
②设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A＝B∪C，且 B 与 C 互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故 P(A) ＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以，事件 A 发生的概率为 6 7.
ξ0
1
2
3
P
3 14
27 56
15 56
1 28
习题练习
微考向 2 二项分布例 3 (2018·新课标全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

高中数学《第二章随机变量及其分布小结》131PPT课件

数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝___a_E_(_X_)_＋__b__.
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
准确理解均值的性质 (1)特别地，当a＝0时，E(b)＝b，也就是说常数的数学期望是这个常数的本身；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b；当b＝0 时，E(aX)＝aE(X)，这些特殊情况同学们一定要掌握． (2)对于任意实数a，b，X是随机变量，Y也是随机变量，一定有E(aX＋bY)＝aE(X)＋bE(Y)．
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
3σ原则
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
正态分布在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝________0_.6_8_2；6 P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝_______0_._9_5；4 4 P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝_______0_.9_9_7. 4
第二章随机变量及其分布
特点
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
正态曲线 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，x∈R 有以下性质： (1)曲线位于 x 轴____上__方____，与 x 轴__不__相__交___； (2)曲线是单峰的，它关于直线___x_＝__μ__对称；
1 (3)曲线在___x_＝__μ__处达到峰值(最大值)__σ___2_π___；
…
pn
则称E(X)＝___x_1_p_1＋__x_2_p_2＋__…__＋__x_n_p_n_为随机变量X的均值或 X的数学期望，它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平___．

高中数学第二章随机变量及其分布章末复习新人教A版选修2-3

解设顾客所获的奖励额为X，
依题意，得 P(X＝60)＝CC11·C24 13＝12，
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.
解答
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
解依题意得X的所有可能取值为20,60， P(X＝20)＝CC2423＝12，P(X＝60)＝12，
即X的分布列为
X
20
60
P
1 2
1 2
所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)＝20×12＋60×12＝40.
解答
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为 1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 σ 2π ； ④曲线与x轴之间的面积为 1 ； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越，大曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.
解答
反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出E(X)； (5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝ np，D(X)＝np(1－p).

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第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
人教 A 版数学
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
人教 A 版数学
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(选修2-3)
人教 A 版数学
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
人教 A 版数学
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
我们已学过的几种典型事件有：古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，求解这些事件的概率是概率中常见的题型，也是高考中必考查的内容之
次射击，此人恰有两次击中目标的概率为 ( 81 A. 125 36 C.125
[答案] B
)
54 B. 125 27 D.125
人教 A 版数学
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
2 恰有两次击中目标的概率为 C3 ×(0.6)2×(1－
54 0.6)＝125，所以选 B.独立重复试验的概率是高考考查的热点问题，主要出现在选择题和填空题里，有时也会出现在解答题中，因此我们必须熟练地掌握解决这类问题的基本方法．
(选修2-3)
[解析]
记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4，
A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过．－－ (1)－ A ＝－ A 1· A 2· A 3，A1，A2，A3 相互独立，－－ P(－ A )＝P(－ A 1· A 2· A 3)＝P(－ A 1)P(－ A 2)P(－ A 3)＝(1－p)3. 又 P(－ A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
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(1)求p； (2)求电流能在M与N之间通过的概率．
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[分析] 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率求
法．第1问利用对立事件求三个元件均不通电流的概率即可，第2问转化为互斥事件的概率，利用加法公式求解．
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第二章随机变量及其分布
)
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[答案] D
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析] 从 100 个球中任取 10 个球的方法有 C10 100种，
4 从 100 个球中取 10 个球，恰有 6 个红球的方法有 C6 · C 80 20. 4 C6 C 80 20 所以其概率为 C10 ，故选 D.以概率为背景，实则考查两 100
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第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
求离散型随机变量的均值与方差是高考考查的重点内容之一，一定要熟练掌握．求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤是：先列出随机变量X的分布列，再代入均值
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与方差的公式计算，另外还要熟记特殊分布(两点分布及二
项分布)的均值与方差的计算公式
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一．解决概率问题的基本步骤是：
第一步：确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件的某一类．第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事
件有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式．
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
第三步：运用公式求概率． m 古典概型： P(A) ＝ . 互斥事件： P(A∪B) ＝ P(A) ＋ n P(B)． P(AB) 条件概率：P(B|A)＝ P(A) . 独立事件：P(AB)＝P(A)P(B)．
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个计数原理，排列组合的基本知识和基本方法是高考的热点题型，不过这类问题的难度不大，只要掌握古典概型成比例的求概率的基本思想方法，并能灵活地运用排列组合的思想方法即可解决问题．
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[例 2]
某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3
k n k n 次独立重复试验：Pn(k)＝Ck . np (1－p)
－
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说明：概率问题常与排列、组合知识相结合．
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[例 1]
设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任
取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为 (
6 C4 C 80 100 A. 10 C100 4 6 C80 C20 C. C10 100 4 C6 C 80 10 B. 10 C100 6 4 C80 C20 D. C10 100
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[例4]
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，
黄、白乒乓球的数量的比为 s： t. 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以X表示取球结束时已取到白球的次数．
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第二章随机变量及其分布
(选修2-3如图，由M到N的电路中
有4个元件，分别标为 T1 ， T2 ，T3 ， T4 ，电流能通过 T1 ， T2 ， T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知 T1 ， T2 ， T3 中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
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第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
－ (2)B＝A4＋－ A 4· A1· A3＋－ A 4· A 1· A2· A3，－ P(B)＝P(A4＋－ A 4· A1· A3＋－ A 4· A 1· A2· A3) －＝P(A4)＋P(－ A 4· A1· A3)＋P(－ A 4· A 1· A2· A3) ＝P(A4)＋P(－ A 4)P(A1)P(A3)＋P(－ A 4)P(－ A 1)P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.
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(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
第二章随机变量及其分布
(选修2-3)
[解析]
(1)X 的可能取值为 0,1,2，…，n.
X 的分布列如下表： X 0 1 2 … n－ 1 n