13 2008～2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---数学应用

B

2008～2019年江苏高考数学分类汇编

数学应用

2008-17 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，

BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个

污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设

管道的总长度为y km ．

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，

则10cos cos AQ OA θθ=

=

, 故10

cos OB θ

=，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ

=++=++-，

所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛

⎫≤≤ ⎪⎝

⎭

②若OP=x (km) ，

则OQ ＝10－x ，所以

=

所求函数关系式为)010y x x =+≤≤

（2）选择函数模型①，

()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

=g

令'

y =0 得sin 12

θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，

当0,

6πθ⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

时，'

0y < ，y 是θ的减函数； 当,64ππθ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时，'0y > ，y 是θ的增函数， 所以当θ

=

6

π

时，min 10y =+。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离

AB km 处。

2009-19 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为

m 元，则他的满意度为

m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a

+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为

12

h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件

成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设3

5

A

B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和

0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象

概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

(1)

当3

5

A B m m =时，235

35

(20)(5)125

B B B B B B B m m m h m m m m =

⋅=++++甲

235320

(5)(20)35

B

B B B B B B m m m h m m m m =

⋅=++++乙 h 甲=h 乙

（2）当3

A

B m m =时， 2211

=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B B

m h m m m m m m =++++++甲

由111

[5,20][,]205

B B m m ∈∈得， 故当

11

20

B m =即20,12B A m m ==时， 10。 （3）（方法一）由（2）知：0h 10

由10

A B m m h h ⋅≥=得：1255A

B m m ++⋅≤，

令

35

,,

A B

x y m m

==则

1

[,1]

4

x y∈

、，即：

5

(14)(1)

2

x y

++≤。

同理，由

10

5

h h

≥=

乙

得：

5

(1)(14)

2

x y

++≤

另一方面，

1

[,1]

4

x y∈

、141

x x

+∈+∈

5

、1+4y[2,5],、1+y[,2],

2

55

(14)(1),(1)(14),

22

x y x y

++≥++≥当且仅当

1

4

x y

==，

即

A

m=

B

m时，取等号。

所以不能否适当选取

A

m、

B

m的值，使得

h h

≥

甲

和

h h≥

乙

同时成立，但等号不同时成立。

2010-17 某兴趣小组测量电视塔AE的高

度H(单位m），如示意图，垂直放

置的标杆BC高度h=4m，仰角

∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的

值，tanα=1.24,tanβ=1.20,

请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据

后，发现适当调整标杆到电视

塔的距离d（单位m），使α与

β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，

问d为多少时，α-β最大

【分析】此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大

解：（1）因为：tan,tan

AE AE BC

BA DA DB

αβ

===，AE H

=

则：

tan

H

BA

α

=，

tan

H

DA

β

=，

4

tan

DB

β

=

因为DA DB BA

=+所以

4

tan tan tan

H H

ββα

=+

代入tanα=1.24,tanβ=1.20

得

4

1.20 1.20 1.24

H H

=+，所以H=124m

βα

B A

C

E

D