第四节 基本不等式及其应用

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1-1 已知函数y=x-4+ 9 (x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于
x 1
()
A.-3 B.2 C.3 D.8
答案 C y=x-4+ 9 =x+1+ 9 -5,因为x>-1,所以x+1>0, 9 >0,所以由
x 1
x 1
x 1
基本不等式,得y=x+1+ 9 -5≥2 (x 1) 9 -5=1,当且仅当x+1= 9 ,即
8
为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批 应生产产品 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 (2)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总 造价是 ( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
,n∈N.
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(2)由(1)知f(n)=1
000-80
n 1
9 n
1
≤1
000-80×2×
9 =520,
当且仅当 n 1= 9 ,即n=8时取等号.
n 1
所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.
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2-1 某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10 元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以 后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年
增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)= k (k>0,k为
n 1
常数,n∈N),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元. (1)求k的值及f(n)的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元? 解析 (1)当n=0时,由题意得k=8.
从而f(n)=(100+10n)10
8 n
1
-100n
=1
000-80
n 10 n 1
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答案 (1)B (2)C
解析
(1)设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是
800 x
元,仓
储费用是
x 8
元,总的费用是
800 x
x 8
元,由基本不等式得
800 x
+
x 8
≥2
800 x
x 8
=20,当且仅当
800 x
=
x 8
,即x=80时取等号.
(2)设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=
s2
4 .(简记:和定积最大)
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判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当a≥0,b≥0时,a+b≥2 ab . (√) (2)两个不等式a2+b2≥2ab与 a b ≥ ab 成立的条件是相同的. (×)
2
(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). (√) (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. (√) (5)函数y=x+ 1 的最小值是2. (×)
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(Hale Waihona Puke Baidu)
a2
2
b2
≥
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4) b + a ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
ab
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3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是 ⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
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第四节 基本不等式及其应用
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1.基本不等式 (1)基本不等式 ab ≤ a b 成立的条件:a>0,b>0.
2
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立.
ab
(3)其中② 2 称为正数a,b的算术平均数,③ ab 称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
x
(6)x>0且y>0是 x + y ≥2的充要条件. (×)
yx
1.下列不等式中正确的是 ( )
A.若a∈R,则a2+9>6a
B.若a,b∈R,则 a b ≥2
ab
C.若a,b>0,则2lg a b ≥lg a+lg b
2
D.若x∈R,则x2+ 1 >1
x2 1
答案 C ∵a>0,b>0,∴ a b ≥ ab .
2
∴2lg a b ≥2lg ab =lg ab=lg a+lg b.
2
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2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为 ( ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C ∵x>0,y>0,x+y=18, ∴18=x+y≥2 xy ,即 xy ≤9, ∴xy≤81.故xy的最大值为81.
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3.已知x,y>0且x+4y=1,则 1 + 1 的最小值为 ( )
xy
A.8 B.9 C.10 D.11
答案
B
∵x+4y=1(x,y>0),∴
1 x
+
1 y
=
x
4 x
y
+
x
4y y
=5+
4y x
x y
≥5+2
4y x =5+4=9 当且仅当x=2y=1 时,取等号 .
xy
3
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x 1
当且仅当x+1= 4 ,即x=1时,等号成立,
x 1
故函数y= (x 5)(x 2) 的最小值为9.
x 1
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考点二 基本不等式的实际应用 典例2 (1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800 元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 x 天,且每件产品每天的仓储费用
2
1-3 设x>-1,则函数y= (x 5)(x 2) 的最小值为
.
x 1
答案 9
解析 因为x>-1,所以x+1>0,
所以y= (x 5)(x 2) = x2 7x 10 = (x 1)2 5(x 1) 4
x 1
x 1
x 1
=x+1+ 4 +5≥2 (x 1) 4 +5=9,
x 1
4.
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2 xy =80+20×4=160(当且
仅当x=y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元.
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易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表 示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不 等式求最值.
4.已知f(x)=x+ 1 -2(x<0),则f(x)有 ( )
x
A.最大值0 B.最小值0
C.最大值-4 D.最小值-4
答案
C
∵x<0,∴f(x)=-
(x)
1 (x)
-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=
1 x
,即x=-
1时取等号.∴f(x)有最大值-4.
5.已知x< 5 ,则函数y=4x-2+ 1 的最大值为
(1 2
x)
2
=
3 4
.
当且仅当x=1-x,
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 + 1 = a b + a b =2+ b + a ≥2+2 b a =4,
ab a b
ab
ab
即 1 + 1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)因为xy+2x+y=4,所以x= 4 y .
y2
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由x= 4 y >0,
y2
得-2<y<4,又y>0,
所以0<y<4,所以x+y= 4 y +y= 6 +(y+2)-3≥2 6 -3,
y2 y2
当且仅当 6 =y+2(0<y<4),
y2
即y= 6 -2时取等号.
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方法技巧 (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为 定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求 解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
.
4
4x 5
答案 1
解析 ∵x< 5 ,∴5-4x>0,
4
∴y=4x-2+
1 4x
5
=-
5
4x
5
1 4
x
+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x= 1 ,即x=1时,等号成立,
5 4x
故当x=1时,ymax=1.
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考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
典例1 (1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )
x 1
x 1
x 1
x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.
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1-2 实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是
.
答案 6
解析 利用基本不等式可得
3x+9y=3x+32y≥2 3x 32 y =2 . 3x2 y
∵x+2y=2,∴3x+9y≥2 32 =6,当且仅当3x=32y,即x=1,y= 1 时取等号.
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
3
2
4
3
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则 1 + 1 的最小值为
.
ab
(3)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为
.
答案 (1)B (2)4 (3)2 6 -3
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解析
(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x