构造全等三角形的方法-

构造全等三角形的方法-

构造全等三角形的方法

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．

一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。）

1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。画一画。

法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。

法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

ABC的角平分线，AD=CD.

求证：∠A+∠C=180°

D

B C

法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义）

在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中

∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）

∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）

∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）

∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）

∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角）

∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证）

∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换）

∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义）

∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）

法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义）

∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）

在△NBD和△MBD中

∵∠N=∠DMB （已证）

∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）

∴△NBD≌△MBD（A.A.S）

∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）

∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△

在Rt△NAD和Rt△MCD中

∵ND=MD （已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）

∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）

∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A ＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换） 法四：作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥BA 交BA 的延长线于N 。

∵ BD 是∠ABC 的角平分线（已知）

DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知）

∴ ND=MD （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵ DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知）

∴△NAD 和△MCD 是Rt △

在Rt △NAD 和Rt △MCD 中

∵ ND=MD （已证）

AD=CD （已知）∴Rt △NAD ≌Rt △MCD （H.L ）

∴ ∠4=∠C （全等三角形的对应角相等）

∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∠A ＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换）

4.如图，AC=DB ，△PAC 与△

PBD 的面积相等．求证：OP

平分∠AOB ．

证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N 12PAC S AC PM =g △∵，12PBD S BD PN =g △，且PAC S =△PBD S △

∴ 12

AC PM g 12BD PN =g 又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN

又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ∴OP 平分∠AOB

6.如图，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE ＝∠FAE ．

求证：AF ＝AD ＋CF ．

证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．

∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．

又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．

在Rt △AME 与Rt △ADE 中，

()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证，

∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴

AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．

又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．

在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)，

∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝

FC(全等三角形对应边相等)．

由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．

二、利用三角形的中线来构造全等三角形（中线加倍法）

1.已知：如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ．求证：AC=BF.

F

B E

简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到

G ，使DG ＝AD ，连结BG ，则

在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD （SAS ）， 所以AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ，

又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ．

说明 要说明线段或角相等，通常的思路是

图 C F B A E D