构造全等三角形的方法-

构造全等三角形的方法-构造全等三角形的方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

画一画。

法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。

法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

ABC的角平分线，AD=CD.求证：∠A+∠C=180°DB C法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。

法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义）在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换）∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证）∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换）∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义）∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB （已证）∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD （已证）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A ＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换） 法四：作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥BA 交BA 的延长线于N 。

∵ BD 是∠ABC 的角平分线（已知）DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知）∴ ND=MD （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵ DN ⊥BA ，DM ⊥BC （已知）∴△NAD 和△MCD 是Rt △在Rt △NAD 和Rt △MCD 中∵ ND=MD （已证）AD=CD （已知）∴Rt △NAD ≌Rt △MCD （H.L ）∴ ∠4=∠C （全等三角形的对应角相等）∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∠A ＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C ＝180°（等量代换）4.如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP平分∠AOB ．证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N 12PAC S AC PM =g △∵，12PBD S BD PN =g △，且PAC S =△PBD S △∴ 12AC PM g 12BD PN =g 又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ∴OP 平分∠AOB6.如图，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE ＝∠FAE ．求证：AF ＝AD ＋CF ．证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证，∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．二、利用三角形的中线来构造全等三角形（中线加倍法）1.已知：如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ．求证：AC=BF.FB E简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连结BG ，则在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD （SAS ）， 所以AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ，又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ．说明 要说明线段或角相等，通常的思路是图 C F B A E D说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形2.已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．A DB证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF ＝BD．在△FCB 与△DCB 中，,,,BF BD FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △FCB ≌△DCB （SAS ）． ∴ CF ＝CD ．即CD ＝2CE ． 三、利用利用平行线构造全等三角形1．△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，连接EF 交BC 于M ，且ED ＝FD,试说明线段BE 与CF 相等的理由．D B C EG D B C E D B C E M DB C E简析 由于BE 与CF 的位置较散，故可考虑将线段CF 平移到EG ，所以过点E 作 EG ∥CF ，则∠EGB ＝∠ACB ，∠EGD ＝∠FCD ，由于ED ＝FD ，∠EDG ＝∠FDC ，所以△EDG ≌△FDCC （AAS ），所以EG ＝CF ，又因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ，即∠B ＝∠EGB ，所以EB ＝EG ，所以BE ＝CF ．说明 这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低．此题的辅助线还可以有如图所示的其他几种方法。

2. 已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．AQB CP解答：方法一、证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，∠D=∠C, ∠2=∠1，AP=AP,∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．方法二、如图，∴∠CBQ=∠ABC=12×80°=40°，∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ，∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD=∠CBQ=40°，∴∠CPD=∠ACB=40°，∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵在△ABP与△ADP中，∠ABC=∠ADP，∠BAP=∠CAP，AP=AP∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB=AD，BP=PD，∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP．11。