数学建模：课程安排优化问题

2012年数学建模竞赛参赛队员题目 A题：课程安排优化问题关键词排课问题，优化矩阵，有效矩阵摘要每学期的开学初，总有许多老师对阳光校区的课程安排很有意见，本文选取武汉纺织大学机械设计系的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对机械设计系的课表进行了重排。

在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。

运用我们建立的数学模型，对武汉纺织大学机械设计系的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。

根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。

我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以···大学机械设计系的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在阳光校区逗留时间、专业课排在早上，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。

最后，根据我们建立的模型，分析了模型的优缺点。

一、问题重述我校现有三个校区，有在校学生近25000人，其中阳光校区在校学生人数最多。

阳光校区现有四栋教学楼，分别是3号、6号、7号和8号楼，四栋教学楼之间有较大的距离，如从3号楼到8号楼步行需要约10分钟。

我校的学生作息时间安排中，一天共有13节课，划分为5个时间段，分别是1-2节、3-5节、6-8节、9-10节、11-13节。

按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。

同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。

每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。

每学期我校的课程表排出并开始运行后都会受到师生的抱怨。

有学生说自己的课程分布不均衡，某天要上10节课，而某天又一节课都没有；有的学生抱怨一天中要在不同的教学楼之间反复奔波；有的教师抱怨自己的课程安排太分散，从南湖跑到阳光路上要花近两个小时，却只上两节课，这样太浪费时间。

由此可见，我校的课程安排尚存在一些不太合理的地方，有进一步优化的必要。

针对这一问题，请完成以下任务：一.了解我校师生对课程安排的需求；二.了解我校课程安排的相关规定；三.收集与课程安排相关的数据；四.建立我校课程安排的优化模型，分析模型的优缺点。

二、问题分析首先，解决班级、课程与教师之间的多对多关系，例如当出现多个班级上同一门课而该由多个教师任教时，课程是否合上，由哪几个班级合上、哪位教师任教的问题。

解决上应满足可手动调整的要求。

然后，取出全部班级，求出班级所上课程的优先级总和，按优先级高低排定班级顺序，按此顺序且遵照排课规则为每一个班级的每一门课程安排上课时间与地点。

首先，要进行预排课处理。

预排课处理的目的是要解决两个基本问题: 1) 班级与课程之间的多对多关系，即合班上课的问题; 2) 课程与教师之间的多对多关系，即为每门课程安排任课教师。

在预排课处理完成后，以班级作为外部大循环、以课程作为内部小循环进行正式的排课处理，即先取一个班级，为该班级所上课程按优先级由高到低排定顺序，再按优先级由高到低取一门课程，为该课程安排时间与场地，依此类推，直到全部班级的全部课程排完。

排课处理的目的是要解决两个基本问题: 1) 课程与时间、场地之间的一对一关系; 2) 班级与时间、场地之间的一对一关系; 3) 教师与时间、场地之间的一对一关系。

三、模型假设1、假设每周以5天位单位编排，每天最多只能编排4节课（一节课为两小节或三小节），同类课程尽可能不安排在同一时间。

2、假设晚上不上课，学生自习。

3、假设安排的教室和上课的时间都是不能改变的。

4、假设一门课程在一周内的安排，尽量分散开。

5、假设每门课程只由一位教师上完，每位教师可以上两门课程。

6、假设一周多学时的课程尽量安排在同一间教室。

7、假设课表内容由上课时间、教师、教室、课程组成。

四、符号说明符号说明h：表示班级数；l：表示教室数；x：表示单用教室；y ：表示公用教室；m ：表示课堂数； a ：表示专业课门数；b ：表示公共课门数；c ：表示选修课门数； n ：表示有代课老师数；p ：专业课老师数；q ：公共课老师数；r ：选修课老师数；iG ：表示课堂序号，1,,i m =L ；uv J ：表示上课时间序号，1,,;1,,20u h v ==L L ；k T ：表示老师序号； iW ：教室序号；A : 表示老师和课堂之间的关系矩阵；B ：表示课堂和上课时间之间的关系矩阵；C ：表示老师和上课时间之间的关系矩阵；D ：表示上课时间和教室之间的关系矩阵；E ：表示老师和教室之间的关系矩阵；1p ：学校满意度 2p ：老师满意度 3p ：学生满意度五、模型的建立与求解问题一：学生希望自己的课程分布更均衡些，而且不希望一天中要在不同的教学楼之间反复奔波；教师希望自己的课程安排集中点，从南湖跑到阳光路上要花近两个小时，尽量多上几节课，提高教学效率。

问题二：我校课程安排的相关规定：按学校的规定同一门课程一天中最多可集中上3节课，一周不得超过6节。

同一年级的相同课程可以合班上课，合班一般由各个院系或公共课教学部门给出具体安排。

每学期临近结束时，学校教务处根据各个专业的培养计划向各院系下达下一学期的教学任务，由各个专业将教学任务分解到具体的任课教师，然后由教务处排出下一学期的课程表。

问题三：假设我校机械专业有h 个班，n 位代课老师，每个班每周m 堂课（一堂课为两小节），l间教室。

1.建立老师与课程之间的有效矩阵A1.1将一周内的所有课按专业课（a 门），公共课（b 门），选修课（c 门）依次排序，记为i G （1,1,2,21,3,31,3,31,32,i a a a a a a a b a b a b =+++++++L L L L L321,,32a b a b c ++++L ）其中32m a b c =++，则1,,i m =L .依此顺序对h 个班的课进行排序可得此专业课堂序号为i G ，1,,,1,,2,,i m m m hm =+L L L ，1.2将n 位代课老师按专业课（p 位），公共课（q 位）选修课（r 位）依次排序，记为k T （1,,,1,,,,1,,k p p p q p q p q r =++++++L L L L ），其中p q r n ++=，则1k n =L ， 1.3以老师序号k T 为行，以课堂序号i G 为列，做老师与课堂之间的关系矩阵,1,,;1,,n hm kiA a k n i hm ⨯⎛⎫⎪=== ⎪⎪⎝⎭L L .其中1k 0k i ik a ⎧=⎨⎩老师上i 课老师不上课则所得的矩阵n hmkiA a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为老师与课堂之间的有效矩阵。

2.建立课程与时间之间的有效矩阵B2.1给一周内的所有上课时间赋值 (表一)通过上表可得课时向量(1,2,,20)v =L ，依此可得h 个班的课时向量排序为(1,,20,21,,40,,20(1)1,,20)uv J h h =-+L L L L .(1,,;1,,20)u h v ==L L2.2以课堂序号i G 为行，以课时序号uv J 为列，做课堂与上课时间之间的关系矩阵20,1,,;1,,20hm h ijB b i hm j h ⨯⎛⎫⎪=== ⎪⎪⎝⎭L L .其中10i ij j b j ⎧=⎨⎩时间上i 课时间不上课2.3以满足学生要求尽量把课程安排在每天你的最优时段列目标函数：min ij b J 再以下列要求作约束条件；（1） 一个班在一个时间对应一堂课，则有：2011hij j b ==∑（2） 本专业仅有l 个教室，则有：2011hm hij i j b hl ==≤∑∑（3） 每班所有的20堂课必须在20个课时内上完，则有：20220201111(1)11,,,m hmhhm hijijiji j i m j i h m j bm bm bm ===+==-+====∑∑∑∑∑∑L（4） 专业课放在最优时间，则有：(1)1030201011121(1)120(1)1,,,h m a a m a h ijijij i J i m J i h m J h b J J b J J b J J-++-===+==-+=-+≤≤≤∑∑∑∑∑∑L依此建立一个优化类的数学模型，可得课堂与上课时间之间的效矩阵20hm hijB b ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

3,老师与时间之间的有效矩阵从1中老师与课程间的有效矩阵n hm A ⨯中任选一个，从2中课程与上课时间之间的有效矩阵20hm h B ⨯任选一个，两矩阵做乘积可得；2020n h n hm hm h C A B ⨯⨯⨯=⨯,显然20n h C ⨯表示老师与课程和时间之间的关系矩阵。

若所得矩阵201,,;1,,20n hkjC c k n j h ⨯⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭L L ， 其中12hm k 0k kj j c j ⎧=⎨⎩L ，老师在时间上课满意指数老师在时间不上课，满足：1)老师逗留是假尽可能的少即：201{21,23,25,27,29,31,,39,,20(1)1,20(1)3,,20(1)9}hkj j c j h h h ==-+-+-+∑L L L ;2)所有非0的ij c 为相同的常数。

则以此矩阵为修正矩阵对B 矩阵中相关元素作修改，根据B 矩阵排出课表，此时课表中每一项中包括科目、代课老师。

4.建立上课时间与教室的有效矩阵D已知l 间教室中有单用教室（x 间），公用教室（y 间）对教室按由小到大依次排序，即为i W （1,1,i x x x y =++L L ）其中l x y =+，则1,,i l =L .以课时序号uv J 为行，以教室i W 为列，做上课时间与教室之间的关系矩阵201,,20;1,,h l ijD d i h j l ⨯⎛⎫⎪=== ⎪⎪⎝⎭L L ，其中10ij i d i ⎧=⎨⎩时间在j 教室上课时间不在j 教室上课，（1） 小教室上专业课，则：103020101121120(1)113,3,,3x x h xij ij iji j i j h j d a d a da -====-+=≥≥≥∑∑∑∑∑∑L（2） 大教室上非专业课，一次两个班，则：2011(3)2hliji j x h m a d==+-=∑∑ 5.从3中所得老师与时间的有效矩阵20n h kjC c ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中任取一个，从4中所得的关系矩阵20h lijD d ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中任取一个，两个矩阵做乘积可得：2020n l n h h l E C D ⨯⨯⨯=⨯，显然n l E ⨯表示老师和教室之间的关系矩阵。