等比数列的概念及通项公式

a2 a1 d
a3 a2 d
归 纳
(a1 d ) d
法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n -1)d
等比数列 an an-1q, n 2
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝1386＝12.
a1q2 a1q5 36 a1 128
an
128
( 1 )n-1 2
1 n 2
9
反思感悟 等比数列通项公式及应用应注意两点 (1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可 求出. (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另外 一个.
判断一个数列是否为等比数列的依据
2.递推公式形式的定义：aan－n 1＝q(n>1)或aan＋n 1＝q，n∈N*.
3.等比数列各项均 不能 为0.
知识点二 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
若a，A，b成等差数列，则A叫 若a，G，b成 等比 数列，则G叫做
定义
做a与b的等差中项
a与b的 等比 中项
跟踪训练3 在等比数列{an}中： (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； 解 由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解 设等比数列的公比为q，
a1q2＝20，
q＝2，
则
解得
a1q5＝160，
a1＝5.
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N*.
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个 常数，且不能为0.
跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是
①1，－2,4，－8； ②－ 2，2，－2 2，4；
③x，x2，x3，x4； ④a－1，a－2，a－3，a－4.
A.①②
B.①②③
第1课时 等比数列的概念及通项公式
复习回顾
等差数列
最值问题 实际问题 带绝对值求和
概念 通项公式 求和公式 相关性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
1,2,4,8,16,32,......
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
又a1－1＝－2，
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
an－n
an－n
an－n
∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式. 解 由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.
题型二 等比数列通项公式的应用
A.－21
1 B.2
√C.－23
3 D.2
解析 ∵{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|＞1，
∴{|an|}递增或递减. 由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q＝－23.
12345
2.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
√A.－24
B.0
C.12
D.24
解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0， 解得x＝－3或x＝－1(舍去)， 所以等比数列的前3项是－3，－6，－12， 则第4项为－24.
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
题型三：等比中项的应用
例4 已知在等比数列 an中，a3a4a5 8,求a2a3a4a5a6的值
跟踪训练4
已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3 5, a7a8a9 10,
则a4a5a6等于（） A
A.5√2
B.7
C.6
D.4√2
3 达标检测
PART THREE
1.等比数列{an}的公比|q|＞1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18, 36,81}中.则q等于
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
是不为
0
的常数)⇔{an}是公比为
q
百度文库
的等比数列.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1 均不为 0)⇔{an}是等比
数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…). (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； 解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
12345
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
√C.6
D.32
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32， 所以n＝6.
12345
4. 45和80的等比中项为 －60或60. 解析 设45和80的等比中项为G， 则G2＝45×80，∴G＝±60.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
①
1，1，1，1，1 ，...... 2 4 8 16
②
1,20,202,203,204,205,...... ③
请问:这三个 数列有什么 共同特点?
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_12_;
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于_2_;
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2_0_;
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋b 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a1和 q表示 an？
等差数列an an-1 d , n 2
例3 在等比数列{an}中. (1)已知 a2＝4，a5＝－21，求 an；
a1q＝4， 解 设等比数列的公比为 q，则a1q4＝－12.
a1＝－8， 解得q＝－21.
∴an＝a1qn－1＝(－8)－12n－1＝－12n－4.
(2)已知 a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求 n. 解 设等比数列{an}的公比为q.
G2 ab 或 G ab
定义式
通项公 式
中项 公式
an - an-1 d , n 2
an a1 (n - 1)d
a b 2 A或A a b 2
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列.( × ) 2.任何两个数都有等比中项.( × ) 3.等比数列 1，21，41，81，…中，第 10 项为219.( √ ) 4.常数列既是等差数列，又是等比数列.( × )
…a3…
×） an q
a n -1
共n – 1 项
an - a1 (n -1)d
an q n-1 a1
等比数列
名称
类比
从第2项起,每一项与它前一 概念
项的比等同一个非零常数
等差数列
从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公比 q 0
常数
公差 d R
an q, n 2 an-1
an a1 q n-1
q=1
a1>0 递增
递减
a1<0 递减
递增
常数列
q<0
摆动数列
2 题型探究
PART TWO
多维探究
题型一 等比数列的判定
命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列. (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵aan－n 1＝33nn－－12＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3.
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
12345
5.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是 －1或3 . 解析 设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4， 因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0， 解得q＝－1或q＝3.
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.等比数列的判断或证明 (1)利用定义：aan＋n 1＝q(与 n 无关的常数). (2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，且数列各项均不为零). 2.两个同号的实数 a，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(± ab)， 而不是一个( ab)，这是容易忽视的地方.
(4)数列：- 8，- 4，- 2，-1，1 ，- 1 ，- 1 ， ......
248
(5)数列：4，4，4，4，4，4，4，…
(6)数列：-1，2，-4，8，-16，… (7)数列：1，-2，4，-8，16，…
知识点四 等比数列的类型
已知数列{an}是等比数列，q是公比，则：
q>1 0<q<1