电磁场与电磁波答案 .
电磁场与电磁波 答案
23 谐振腔和波导管内的电磁场只能存在或者传播一定的频率的电磁波是由谐振腔和波
导管的边界决定的。
24 写出采用洛伦兹规范和在此规范下的电磁场方程： v v v 1 ∂2Α v 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ρ 2 2 J ， = − µ ∇⋅Α+ 2 = 0，∇ Α − 2 ∇ ϕ − =− 。 0 2 2 2 ε0 c ∂t c ∂t c ∂t 25 推迟势的本质是电磁作用具有一定的传播速度。
i 1 1 1v v 41 电磁场张量 Fµν按下列方式构成不变量。 Fµν Fµν = B 2 − 2 E 2 ， ε µνλτ Fµν Fλτ = B ⋅ E c 2 8 c 42 静止µ子的寿命只有 2.197×10-6 秒，以接近光速运动时只能穿过 660 米。但实际上很
大部分µ子都能穿过大气层到达底部。在地面上的参考系把这种现象描述为运动µ子 寿命延长的效应。 但在固定于µ子上的参考系把这种现象描述为运动大气层厚度缩小 的效应。
二、填空题
1 电动力学的研究对象是电磁场的基本属性和运动规律，研究电磁场与带电粒子之间
的相互作用。
2 位移电流是由麦克斯韦首先引入的，其实质是电场的变化率。 3 麦克斯韦首先预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。 4 麦克斯韦方程和洛伦兹力公式正确描述了电磁场的运动规律以及它和带电物质的相
互作用规律。 v v v v 5 各向同性线性介质的极化强度 P 和外加电场 E 之间的关系是 P = χ e ε 0 E ，其中 χ e 是 介质的极化率， ε 0 是真空电容率。 v v ∂B 。 6 变化的磁场产生电场的微分方程为 ∇ × E = − ∂t
时空坐标相互变换。相应地，电磁场的三维矢势和一维标势构成一个统一体，不可 分割，当参考系改变时，矢势和标势相互变换。 （√） （×） 28 时间和空间是两个独立的物理量，不能统一为一个物理量。
电磁场与电磁波考试题答案参考资料
第一章 静电场一、选择题（每题三分）1） 将一个试验电荷Q （正电荷）放在带有正电荷的大导体附近P 点处，测得它所受力为F ，若考虑到电量Q 不是足够小，则：（）A 、F/Q 比P 点处原先的场强数值大 C 、F/Q 等于原先P 点处场强的数值B 、F/Q 比P 点处原先的场强数值小 D 、F/Q 与P 点处场强数值关系无法确定 答案（B ）·P+Q2） 图中所示为一沿X 轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ（X<0）和一个-λ（X>0），则OXY 坐标平面上点（0，a ）处的场强E为（ ）A 、0B 、a 2i 0πελC 、a 4i 0πελD 、a 4)j i (0πε+λ3) 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r 变化的关系，请指出该曲线可描述下面那方面内容（E 为电场强度的大小，U为静电势）（）A 、半径为R 的无限长均匀带电圆柱体电场的E-r 关系 C 、半径为R 的均匀带正电球体电场的U-r 关系B 、半径为R 的无限长均匀带电圆柱面电场的E-r 关系 D 、半径为R 的均匀带正电球面电场的U-r 关系答案（B ）4） 有两个点电荷电量都是+q ，相距2a,今以左边的点电荷为球心，以a 为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积1S 和 2S 的电场强度通量分别为1ϕ和 2ϕ，通过整个球面的电场强度通量为3ϕ，则（）为零D 、以上说法都不对 答案（C ） 6） 两个同心带电球面，半径分别为)(,b a b a R R R R <，所带电量分别为b a Q Q ,。
设某点与球心相距r,当b a R r R <<时，该点的电场强度的大小为（） A 、2ba 0rQ Q 41+∙πε B 、2ba 0rQ Q 41-∙πε C 、)R Q r Q (412bb 2a 0+∙πε D 、2a 0r Q 41∙πε 答案（D ）7） 如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量为（） A 、6q ε B 、12qε C 、24q ε D 、048qε 答案（C ）8） 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度为（）A 、0εσ B 、02εσC 、04εσD 、8εσ答案（C ）9） 高斯定理⎰⎰ερ=∙vs dV S d E （）A 、适用于任何静电场 C 、只适用于具有球对称性，轴对称性和平面对称性的静电场B 、只适用于真空中的静电场 D 、只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场 答案（B ） 10) 关于高斯定理的理解正确的是（）A 、 如果高斯面上处处E为零，则该面内必无电荷 C 、如果高斯面内有许多电荷，则通过高斯面的电通量必不为零B 、 如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处E为零 D 、如果高斯面的电通量为零，则高斯面内电荷代数和必为零 答案（D ） 11) 如图两同心的均匀带电球面，内球面半径为1R ，电量1Q ，外球面半径为2R ，电量2Q ，则在内球面内距离球心为r 处的P 点场强大小E 为（） A 、2021r 4Q Q πε+ B 、+πε2101R 4Q 2202R 4Q πε C 、201r 4Q πε D 、0 答案（D ）12）若均匀电场的场强为E，其方向平行于半径为R 的半球面的轴，则通过此半球面的电通量Φ为（）13） 下列说法正确的是（）A 、 闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷 C 、闭合曲面的电通量为零时，面上各点场强必为零B 、 闭合曲面内总电量为零时，面上各点场强必为零 D 、通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷 答案（D ）14) 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图，在电场中作一半径为R 的闭合球面S ，已知通过球面上某一面元S ∆的电场线通量为e ∆Φ，则通过该球面其余部分的电场强度通量为（）A 、e ∆Φ-B 、e S r ∆Φ⋅∆24π C 、e SSr ∆Φ⋅∆∆-24π D 、0 答案（15) 在电荷为q +的电场中，若取图中点P 处为电势零点，则M 点的电势为（）16）下列说法正确的是（）A 、 带正电的物体的电势一定是正的 C 、带负电的物体的电势一定是负的B 、 电势等于零的物体一定不带电 D 、物体电势的正负总相对电势参考点而言的 答案（D ）17) 在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心，R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P ‘点电势为（）A 、r 4q 0πε B 、)R 1r 1(4q 0-πε C 、)R r (4q 0-πε D 、)R1r 1(4q 0-πε-答案（B ）18) 半径为R的均匀带电球面，总电量为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距球心为r 的P 强度和 电势为（） A 、E=0, U=r 4Q 0πε B 、 E=0, U=R 4Q 0πε C 、E=2r 4Q0πε. U=r 4Q 0πε D 、E=2r 4Q0πε答案（B ）19) 有N 个电量为q 布，比较在这两种情况下在通过圆心O 并垂直与圆心的Z 轴上任意点P 的 场强与电势，则有（） A 、场强相等，电势相等B 、场强不相等，电势不相等C 、场强分量z E 相等，电势相等D 、场强分量z E 答案（C ）20）在边长为a 正方体中心处放置一电量为Q A 、a 4Q 0πε B 、R 2Q 0πε C 、R Q 0πε D 、R22Q0πε答案（B ）21）如图两个同心的均匀带电球面，内球面半径为1R ，电量1Q ，外球面半径为2R ，电量2Q ，则在内球面内距离球心为r 处的P 点的电势U 为（）A 、r4Q Q 021πε+ B 、101R 4Q πε+202R 4Q πε C 、0 D 、101R 4Q πε 答案（B ）22） 真空中一半径为R 的球面均匀带电为Q ，，在球心处有一带电量为q 的点电荷，如图设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离为r 的P 点处的电势为（）A 、E R 2π B 、E R 22π C 、E R 221π D 、E R 22πE 、22ERπ 答案（A ）A 、a 4q 0πε B 、a8q 0πε C 、a 4q 0πε-D 、a8q0πε- 答案（D ）A 、r4Q 0πε B 、)R Q r q (410+πε C 、r 4q Q 0πε+ D 、)RqQ r q (410-+πε 答案（B ）23）当带电球面上总的带电量不变，而电荷的分布作任意改变时，这些电荷在球心出产生的电场强度E和电势U 将（）A 、E 不变，U 不变 B 、E 不变，U 改变 C 、E 改变 ，U 不变 D 、E改变，U 也改变 答案（C ）24） 真空中有一电量为Q 的点电荷，在与它相距为r 的A 点处有一检验电荷q,现使检验电荷q 从A 点沿半圆弧轨道运动到B 点，如图则电场场力做功为（）A 、q2r r 4Q 220⋅π⋅πε B 、rq 2r 4Q 20⋅πε C 、rq r 4Q 20π⋅πε D 、0 答案（D ） 25） 两块面积为S 的金属板A 和B 彼此平行放置，板间距离为d （d 远远小于板的线度），设A 板带电量1q , B 板带电量2q ,则A,B 板间的电势差为（） A 、S2q q 021ε+ B 、d S 4q q 021⋅ε+ C 、d S 2q q 021⋅ε- D 、d S4q q 021⋅ε- 答案（C ）26）图中实线为某电场中电力线，虚线表示等势（位）面，由图可以看出（） A 、c E >>b a E E c U >>b a U U C 、c E >>b a E E c U <<b a U UB 、c E <<b aE E c U <<ba U U D 、c E <<b a E Ec U >>b a U U 答案（A ）27） 面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量为q ±，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为（）A 、S q 02ε- B 、S 2q 02ε- C 、202S 2q ε D 、202S q ε 答案（B ）28）长直细线均匀带电。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(全)
（3）
【习题3.4】
解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即J=0
将 表示为复数形式，有
由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式
所以，电场的瞬时值形式为
（2） 处的表面电流密度
（3） 处的表面电荷密度
（4） 处的位移电流密度
【习题3.5】
解：传导电流密度 （A/ ）
位移电流密度
【习题3.6】
（2）内导体表面的电流密度
（3）
所以，在 中的位移电流
【习题2.13】
解：（1）将 表示为复数形式:
则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
而磁场的瞬时表达式为
（2）z=0处导体表面的电流密度为
z=d处导体表面的电流密度为
【习题2.14】
已知正弦电磁场的电场瞬时值为
式中
试求：（1）电场的复矢量；
（2）磁场的复矢量和瞬时值。
由安培环路定律： ，按照上图所示线路积分有
等式左边
等号右边为闭合回路穿过的总电流
所以
写成矢量式为
将 代入得
【习题3.18】
解：当 时， ，
当 时， ，
这表明 和 是理想导电壁得表面，不存在电场的切向分量 和磁场的法向分量 。
在 表面，法线
所以
在 表面，法线
所以
【习题3.19】
证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程
（1）
和 （2）
若采用库仑规范，即 （3）
对（1）式两边取散度，有
将（2）、（3）式代入，得
故电流连续性也是满足的。
【习题4.3】解：
【习题4.4】
证明：因为 即
故 满足连续性方程。
另外， 满足洛仑兹条件。
电磁场与电磁波 课后答案(冯恩信 著)
第一章 矢量场 1.1 z y x C z y x B z y x A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+= 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B C ⨯ ； (e) () A B C ⨯⨯ (f) () A B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+== ( c) 7=⋅B A ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ (e) z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ (f) 19)(-=⋅⨯C B A 1.2 A z =++2 ρπϕ; B z =-+- ρϕ32 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e) B A + 解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ 1.3 A r =+-22 πθπϕ; B r =- πθ 求:(a) A ； (b) b ； (c) A B ⋅ ； (d) B A ⨯ ; (e) A B + 解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ；(d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A 1.4 A x y z =+- 2; B x y z =+-α 3 当 A B ⊥时，求α。
解：当 A B ⊥时， A B ⋅=0, 由此得 5-=α 1.5 将直角坐标系中的矢量场 F x y z x F x y z y 12(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
电磁场与电磁波波试卷3套含答案
电磁场与电磁波波试卷3套含答案电磁场与电磁波》试卷1一、填空题（每空2分，共40分）1.矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场无漩涡流动。
另一个是环流量不为0，表明矢量场的流体沿着闭合回路做漩涡流动。
2.带电导体内静电场值为常数，从电势的角度来说，导体是一个等电位体，电荷分布在导体的表面。
3.分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为三个函数的乘积，而且每个函数仅是一个坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为常微分方程来求解。
4.求解边值问题时的边界条件分为三类，第一类为整个边界上的电位函数为已知，这种条件称为XXX条件。
第二类为已知整个边界上的电位法向导数，称为诺伊曼条件。
第三类条件为部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知，称为混合边界条件。
在每种边界条件下，方程的解是唯一的。
5.无界的介质空间中场的基本变量B和H是连续可导的，当遇到不同介质的分界面时，B和H经过分界面时要发生突变，用公式表示就是n·(B1-B2)=0，n×(H1-H2)=Js。
6.亥姆霍兹定理可以对Maxwell方程做一个简单的解释：矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源，Maxwell方程表明了电磁场和它们的源之间的关系。
二、简述和计算题（60分）1.简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。
（10分）答：均匀导波系统上传播的电磁波有三种模式：横电磁波（TEM波）、横磁波（TM波）和横电波（TE波）。
其中，横电磁波在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内；横磁波在电磁波传播方向上有电场但没有磁场分量，即磁场在横平面内；横电波在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内。
从Maxwell方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。
2.写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。
电磁场与电磁波(版)课后答案谢处方
第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C和()⨯A BC ；（8）()⨯⨯A BC 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z+-===-e e e A a e ee A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由cos AB θ=14-==⨯A B A B ，得1cos ABθ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
电磁场与电磁波第二版课后练习题含答案
电磁场与电磁波第二版课后练习题含答案一、选择题1. 一物体悬挂静止于匀强磁场所在平面内的位置,则这个磁场方向?A. 垂直于所在平面B. 并行于所在平面C. 倾斜于所在平面D. 无法确定答案：B2. 在运动着的带电粒子所在区域内,由于其存在着磁场,因此在该粒子所处位置引入一个另外的磁场,引入后,运动着的电荷将会加速么?A. 会加速B. 不会加速C. 无法确定答案：B3. 一台电视有线播出系统, 将信号源之中所传输的压缩图像和声音还原出来,要利用的是下列过程中哪一个?A. 光速传输B. 超声波传输C. 磁场作用D. 空气振动答案：C4. 一根充足长的长直电导体内有恒定电流I通过，则令曼培尔定律最适宜描述下列哪一项观察?A. 两个直平面电流之间的相互作用B. 当一个直平面电流遇到一个平行于它的磁场时, 会发生什么C. 当两个平行电流直线之间的相互作用D. 当电磁波穿过磁场时会发生什么答案：C5. 电磁波的一个特点是什么?A. 电磁波是一种无质量的相互作用的粒子B. 电磁波的速度跟频率成反比C. 不同波长的电磁波拥有的能量不同D. 电磁波不会穿透物质答案：C二、填空题1. 一个悬挂静止的电子放在一个以5000 G磁场中,它会受到的磁力是____________N. 假设电子的电荷是 -1.6×10^-19 C.答案：-8.0×10^-142. 在一个无磁场的区域内,放置一个全等的圆形和正方形输电线, 则这两个输电线产生的射界是_____________.答案：相同的3. 一个点电荷1.0×10^-6 C均匀带电一个闪电球,当位于该点电荷5.0 cm处时, 该牛顿计的弦向上斜,该牛顿计的尺度读数是4.0N. 该电荷所处场强的大小约为_____________弧度.答案：1.1×10^4三、简答题1. 解释什么是麦克斯韦方程式?麦克斯韦方程式是一组描述经典电磁场的4个偏微分方程式，包括关于电场的高斯定律、关于磁场的高斯定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律。
(2分)关于电磁场和电磁波,下列说法正确的是( )
(2分)关于电磁场和电磁波,下列说法正确的是( )
A. 电磁波是一种横波
B. 变化的电场一定产生变化的磁场,变化的磁场一定产生变化的电场
C. 麦克斯韦预言了电磁波的存在,赫兹用实验证实了电磁波的存在
D. 波长越短的电磁波衍射现象越明显,传播方向性越好
答案：
[解答]A.因为电磁波伴随的电场方向、磁场方向、传播方向三者互相垂直,因此电磁波是横波,A符合题意;
B.变化的电场可能产生变化的磁场,也可能产生不变的磁场;变化的磁场可能产生变化的电场也可能产生不变的电场,B不符合题意;
C.麦克斯韦建立了完整的电磁场理论,预言了电磁波的存在;赫兹最先通过实验证实了电磁波的存在,C符合题意;
D.波长越长的电磁波衍射现象越明显,波长越短的电磁波传播方向性越好,D 不符合题意。
故答案为:AC。
分析：
[分析]电磁波的电场方向、磁场方向、传播方向三者互相垂直,因此电磁波是横波,麦克斯韦建立了完整的电磁场理论,预言了电磁波的存在;赫兹最先通过实验证实了电磁波的存在。
电磁场与电磁波答案
=
1 r2
∂ ∂r
(r2 sinθ cosφ) +
1 r sinθ
∂ ∂θ
(sin θ
cosθ
cosφ) +
1 r sinθ
∂ ∂φ
(− sinφ) =
2 sinθ cosφ + cosφ − 2sinθ cosφ − cosφ = 0
r
r sinθ
r
r sinθ
er reθ r sinθ eφ
∇× A= 1 ∂ ∂ r2 sinθ ∂r ∂θ
等于零。
解
（1） ∇u
= ex
∂u ∂x
+ ey
∂u ∂y
+ ez
∂u ∂z
= ex (2x + 3) + ey (4 y − 2) + ez (6z − 6) ；
（2）由 ∇u = ex (2x + 3) + ey (4 y − 2) + ez (6z − 6) = 0 ，得
x = −3 2, y =1 2,z =1
量 ex
3 50
+
ey
4 50
+
ez
5 定出；求 (2, 3,1) 点的方向导数值。 50
解
∇Ψ
= ex
∂ ∂x
(
x
2
yz)
+
e
y
∂ ∂y
(
x
2
yz
)
+
ez
∂ (x2 yz) = ∂z
ex 2xyz + ey x2 z + ez x2 y
故沿方向 el = ex
3 50
电磁场与电磁波第四版课后答案
3
答案： A = ax Ax + ay Ay + az Az
其中， Ax = (
2x2 + x3z + xy2 z + xz3 ) x2 + y2
(x2 + y2 + z2)2 ；
Ay = (
2xy + x2 yz + y3z + yz3) x2 + y2
(x2 + y2 + z2)2 ；
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡ sin θ ⎢⎢cosθ
cosϕ cosϕ
⎢⎣ Aiϕ ⎥⎦ ⎢⎣ − sin ϕ
sinθ sinϕ cosθ sinϕ
cosϕ
cosθ ⎤ ⎡ Aix ⎤
−
sin
θ
⎥ ⎥
⎢ ⎢
Aiy
⎥ ⎥
，
0 ⎥⎦ ⎢⎣ Aiz ⎥⎦
而 Aix = Ri sinθi cosϕi , Aiy = Ri sinθi sin ϕi , Aiz = Ri cosϕi 。
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
cosh 2ξ − cos 2η
⎢
答案：[M ] = ⎢−
2 coshξ sinη
⎢ cosh 2ξ − cos 2η
⎢
⎢
0
⎢⎢⎣
2 coshξ sinη cosh 2ξ − cos 2η
2 sinhξ cosη cosh 2ξ − cos 2η
0
⎤ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ 。 ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥⎥⎦
为 ε = 2.56ε0 ,μ = μ0 , σ = 3.5 ×10−5 S/m，两极板间施加直流电压U0 = 50 V 。求
电磁场与电磁波答案
电磁场与电磁波答案第7章导⾏电磁波1、求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm 空⽓同轴线的特性阻抗；在此同轴线内外导体之间填充聚四氟⼄烯( r 2.1)，求其特性阻抗与300MHz时的波长。
解：空⽓同轴线的特性阻抗b 0.75Z0 601 n 601 n =65.917a 0.25聚四氟⼄烯同轴线：_60_ in 075=41.4041n3 45.487.2.1 0.252、在设计均匀传输线时，⽤聚⼄烯( & r = 2.25 )作电介质，忽略损耗⑴对于300Q的双线传输线，若导线的半径为0.6mm,线间距应选取为多少？⑵对于75Q的同轴线，若内导体的半径为0.6mm,外导体的内半径应选取为多少?解：⑴双线传输线，令d为导线半径，D为线间距，则D in 3.75, D 25.5mm d⑵同轴线，令a为内导体半径，b为外导体内半径，则波⽐VSWR及距负载0.15处的输⼊阻抗Z in。
3 108300 106..2.10.69mL1oi b2 ln a' C121 b inaZ O5丄I1---ln b75C12■ r ain b 1.875, b 3.91mma3、设⽆耗线的特性阻抗为100 ,负载阻抗为50 j50试求：终端反射系数解:Z L Z O 50 j50 100Z L Z O 50 j50 1001 2j51 I L|1⼩2.6181 .5 5Z043.55 +j 34.164、⼀特性阻抗为50Q 、长2m 的⽆耗线⼯作于频率 200MHz 终端阻抗为40 j30 , 求其输⼊阻抗Z in 。
解：输⼊阻抗：z in Z 0Z LjZ °tan z⼩ 8 8 / “ 1.5, z2 ,tan 1.732f33Z in 26.32 j9.875、在特性阻抗为200的⽆耗双导线上,测得负载处为电压驻波最⼩点，V min 为8V,距负载/4处为电压驻波最⼤点，V 为10V,试求负载阻抗 Z L 及负载吸收的功率maxP L 。
电磁波与电磁场第四版答案
电磁波与电磁场第四版答案一、单选题1．垂直于匀强磁场放置一长为1m的通电直导线，导线中电流为2A，所受安培力大小为0.1N，则该磁场的磁感应强度大小为（） [单选题] *A．0.05T(正确答案)B．0.1TC．0.2TD．2T2．某一区域的磁感线分布如图所示，M、P为磁场中的两个点，下列说法正确的是（）[单选题] *A．M点的磁场方向和P点的磁场方向相反B．M点的磁场方向和P点的磁场方向相同C．M点的磁感应强度小于P点的磁感应强度(正确答案)D．M点的磁感应强度大于P点的磁感应强度3．如图所示，小磁针静止在导线环中。
当导线环通过沿逆时针方向的电流时，忽略地磁场影响，小磁针最后静止时N极所指的方向（）[单选题] *A．水平向右B．水平向左C．垂直纸面向里D．垂直纸面向外(正确答案)4．面积为0.75m2的线圈放在匀强磁场中，线圈平面与磁感线垂直，已知穿过线圈平面的磁通量是1.50Wb，那么这个磁场的磁感应强度是（） [单选题] *A．0.05T B．1.125T C．2.0T(正确答案)D．0.02T5．首先发现电流的磁效应的物理学家是（） [单选题] *A．安培B．法拉第C．奥斯特(正确答案)D．密立根6．某个磁场的磁感线如图所示，如果把一个小磁针放入磁场中，小磁针将（）[单选题] *A．顺时针转动(正确答案)B．逆时针转动C．向右移动D．向左移动7．关于定义式（其中B表示磁感应强度，F表示通电导体棒受到的磁场力，I表示通过导体棒的电流强度，L表示导体棒的长度），下列说法正确的是（） [单选题] *A．B与F成正比B．I越大，则B越小C．F的方向就是B的方向D．B的大小和方向与IL无关，由磁场本身决定(正确答案)8．如图，通电螺线管轴线上a、b、c三点的磁感应强度大小分别为Ba、Bb、Bc，则（）[单选题] *A．Bc>Ba>Bb B．Bb>Bc>BaC．Ba>Bb>Bc(正确答案)D．Ba=Bb=Bc9．下列选项中通电直导线周围磁感线分布正确的是（）[单选题] *A．⑴(正确答案)B．⑵ C. ⑶D．⑷10．把螺线管与电源连接，发现小磁针N极向螺线管偏转，静止时所指方向如图所示。
电磁场与电磁波答案(无填空答案)
电磁场与电磁波复习材料简答2．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。
一2•答：设理想导体内部电位対机,空气媒质中电位为观。
由于理想导1■本表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有〔3分）3．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。
答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。
（3分）4．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。
（3分）色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。
（2分） aB dt ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
答：意义：随时间变化的磯场可以产生电场-其和分形式为：样•必=-［理廖C 右况6．试简述唯一性定理，并说明其意义。
答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的「这一定理称为唯一性定理4（3分9它的意义：给岀了定解的充要条件：既满足方程区满足边界条件的解是正确的。
7. 什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
〔写出微分形式也对）VxE=5．已知麦克斯韦第二方程为 1．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。
1■答：恒定谢场是连续的场或无散场，即谢感应强度沿任一闭合曲面的积分等于恒定磁场的源是矢量两个基本方答：它表明时变场中的磁场是由传导电§盍丿和位移电渍该方程的积分形芒为答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。
群速叫与相速®的关系式为：耳=―気厂（2分）1片畑8. 写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？告，位移电流，=®位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。
9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。
答：当一个矢量场的两类源（标量源和矢量源）在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。
关于电磁场和电磁波的正确说法是〔 〕
关于电磁场和电磁波的正确说法是〔〕
A. 电场和磁场总是相互联系的,它们统称为电磁场
B. 电磁场由发生的区域向远处的传播形成电磁波
C. 在电场周围一定产生磁场,磁场周围一定产生电场
D. 电磁波是一种波,声波也是一种波,理论上它们是同种性质的波动
答案：
B
解析: 考点: 电磁场;电磁波的产生.
专题: 定性思想.
分析: 电磁波是由变化电磁场产生的,变化的磁场产生电场,变化的电场产生磁场,逐渐向外传播,形成电磁波.电磁波本身就是一种物质传播不需要介质,电磁波在真空中传播的速度等于光速,与频率无关.
解答: 解:A、变化的电场和变化的磁场是相互联系的,它们统称为电磁场.故A错误;
B.变化的磁场产生电场,变化的电场产生磁场,逐渐向外传播,形成电磁波.故B正确;
C.变化的电场产生磁场,变化的磁场产生电场,恒定的电场不产生磁场,恒定的磁场也不产生电场,故C错误;
D.电磁波是一种波,声波也是一种波,它们具有波的共性,但前者是电磁场在空间的传播,后者是机械振动在介质中的传播,不同,故D错误;
应当选B.
点评: 此题关键要明确电磁波的产生机理、传播特点,要了解麦克斯韦的电磁场理论,根底题.。
电磁场与电磁波_西北工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
电磁场与电磁波_西北工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.矢量场中某点的散度是标量，其大小是该点的（）答案:通量密度2.矢量场中某点的旋度是一个矢量，其大小等于该点的（），其方向为（）答案:最大环量密度，取得最大环量的环面的法线方向。
3.三个非零矢量相加为零，说明这三个矢量（）答案:共面_构成三角形4.在静电场中的导体达到静电平衡状态，下列说法错误的是答案:导体内部电场处处不等。
5.矢量是既有大小又有方向的量。
答案:正确6.电磁场是矢量场。
答案:正确7.空间某点梯度的大小是该点的最大的方向导数，梯度的方向是该点等值面的法线方向。
答案:正确8.若入射波的传播方向与分界面的法线平行时，这种入射方式称为（）。
答案:垂直入射9.当电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角时，这种入射方式称为（）。
答案:斜入射10.在分界面上，透射波电场强度与入射波电场强度之比称为（）。
答案:透射系数11.镜像法的理论依据有（）答案:唯一性定理12.一点电荷q放置在接地导体球（半径为【图片】）外，与球心的距离为d，则镜像电荷的位置和电量为（）答案:13.静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场，其包括（）答案:恒定电场_恒定磁场_静电场14.静态场的位函数满足的方程有（）答案:无源区，满足拉普拉斯方程_有源区，满足泊松方程15.对于镜像法下列描述正确的是（）答案:实际电荷和镜像电荷作用在边界处保持原有边界条件不变。
_镜像电荷必须在待求场域的边界以外。
_待求场域的场由实际电荷和所有镜像电荷产生的场叠加得到。
_将有边界的不均匀空间处理成和待求场域媒质特性一致的无限大均匀空间。
16.在直角坐标系下，拉普拉斯方程的解中的本征函数有（）答案:三角函数_常数或线性函数_双曲函数或指数函数17.对偶原理的含义是：如果描述两种物理现象的数学方程具有相同的形式，并具有对应的边界条件，那么方程中具有同等地位的量的解的数学形式也将是相同的。
关于电磁场和电磁波,下列说法正确的是( )
关于电磁场和电磁波,下列说法正确的是( )
A. 均匀变化的电场产生均匀变化的磁场
B. 只要空间某个区域有振荡的电场或磁场,就能产生电磁波
C. 麦克斯韦第一次用实验证实了电磁波的存在
D. 电磁波的传播一定需要介质
答案：
B
分析：
[解析]
A.均匀变化的电场只能产生恒定的磁场,A项错误;
B.振荡的电场和振荡的磁场总是交替产生,且能由发生的区域向周围空间传播,产生电磁波,B项正确;
C.麦克斯韦预言电磁波的存在,赫兹用实验证实了电磁波的存在,C项错误;
D.电磁波可以不需要介质传播,D项错误。
故选B。
电磁场与电磁波试题及答案.
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t tρ∂∂∇⨯=+∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)〔说明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场〔位移电流〕也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。
2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。
(或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规与洛仑兹规的意义。
2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-∂或AE tϕ∂+=-∇∂。
库仑规与洛仑兹规的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规用在静态场，洛仑兹规用在时变场。
1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.sA ds φ=⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。
假设Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面向外扩散，说明S 面有正源假设Ф< 0，那么流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面聚集，说明S 面有负源。
假设Ф=0，那么流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面无源。
1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
2. 证明在直角坐标系里计算，那么有()()x y z x y z r r e e e e x e y e z xy z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭3x y zx y z∂∂∂=++=∂∂∂ 假设在球坐标系里计算，那么232211()()()3r r r r r r r r r∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
《电磁场与电磁波》习题参考标准答案..
《电磁场与电磁波》习题参考标准答案..《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章⽮量分析1、如果⽮量场F 的散度处处为0，即0F≡，则⽮量场是⽆散场，由旋涡源所产⽣，通过任何闭合曲⾯S 的通量等于0。
2、如果⽮量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则⽮量场是⽆旋场，由散度源所产⽣，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、⽮量分析中的两个重要定理分别是散度定理（⾼斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（⾼斯）定理：SVFdV F dS ??=??和斯托克斯定理：sCF dS F dl=。
4、在有限空间V 中，⽮量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满⾜的条件唯⼀的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和⽮量函数，在时间为⼀定值的情况下，它们是唯⼀的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和⽮量场的旋度运算都是⽮量。
（ √ ）7、梯度的⽅向是等值⾯的切线⽅向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。
第2章电磁场的基本规律（电场部分）1、静⽌电荷所产⽣的电场，称之为静电场；电场强度的⽅向与正电荷在电场中受⼒的⽅向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/⽶)。
3、静电系统在真空中的基本⽅程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ?==?和0lE dl ?=?。
4、静电系统在真空中的基本⽅程的微分形式是：V D ρ??=和0E=。
5、电荷之间的相互作⽤⼒是通过电场发⽣的，电流与电流之间的相互作⽤⼒是通过磁场发⽣的。
6、在两种媒质分界⾯的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；⽽磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ?=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表⾯为等位⾯；在导体表⾯只有电场的法向分量。
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电磁场与电磁波答案第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为zy e e e A x 32-+=；zy e e e B x 23++=；ze e C x -=2。
试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。
解 ①()14321222222=-++=++=z y x A A A A14213222222=++=++=z y x B B B B ()5102222222=-++=++=z y x C C C C②()z y e e e A A A e x a 3214114-+===()z y e e e B B B e x b 2314114++===()z e e C C C e x c -===2515③1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④z y zy zyxz y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯⑤()zy z y e e e e e e C B A x x 22311125117+-=---=⨯⨯因z y zy zyxz y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x45212321---=--==⨯则()zy z y e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。
1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x += 已知()βα-=⋅cos B A B A ，求得()BA B A B A βαβαβαsin sin cos cos cos +=-即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。
试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为zy e e P 21-=；zy x e e e P 342-+=；zy x e e e P 5263++=那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为ze e P P x -=-412同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为zy e e e P P x 8223++=-zy e e e P P x 7631---=-因两个边矢量0)()(2312=-⋅-P P P P ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
因17142212=+=-P P6981222223=++=-P P ，所以三角形的面积为11735.0212312=--=P P P P S1-4 已知矢量xy y e e A x +=，两点P 1及P 2的坐标位置分别为)1 ,1 ,2(1-P及)1 ,2 ,8(2-P 。
若取P 1及P 2之间的抛物线22y x =或直线21P P 为积分路径，试求线积分⎰⋅12 d p p l A 。
解 ①积分路线为抛物线。
已知抛物线方程为22y x =, y y x d 4d =，则()()142d 6d 2d 4d d d 12322212121212-===+=+=⋅⎰⎰⎰⎰y y y y y y y y x x y P P P P P P P P l A ②积分路线为直线。
因1P ,2P 两点位于1-=z 平面内，过1P ,2P 两点的直线方程为()228121---=-x y ，即46+=x y ，y x d 6d =，则()()14412d 46d 6d 1221212-=-=-+=⋅⎰⎰yy y y y y P P P P l A 。
1-5 设标量32yz xy +=Φ，矢量z y e e e A x -+=22，试求标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数。
解 已知梯度2223)2(yz z xy y z y x z y x z y xe e e e e e +++=∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦ那么，在点)1 ,1 ,2(-处Φ 的梯度为zy x e e e 33--=∇Φ因此，标量函数Φ在点)1 ,1 ,2(-处沿矢量A 的方向上的方向导数为()()13622233-=+-=-+⋅--=⋅∇z y x z y x e e e e e e A Φ1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。
证明 式（1-5-11）为()ΦψψΦΦψ∇+∇=∇，该式左边为()()()()ΦψΦψΦψΦψz y x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e x⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=z z y y x xz y ψΦΦψψΦΦψψΦΦψe e e x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=z y x z y x z y z y ψψψΦΦΦΦψe e e e e e x xΦψψΦ∇+∇=即，()ΦψψΦΦψ∇+∇=∇。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。
1-7 已知标量函数z e y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=3sin 2sinππΦ，试求该标量函数Φ 在点P (1,2,3)处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。
已知标量函数Φ的梯度为z y x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦe e e x那么z y z e y x e y x --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇3cos 2sin 33sin 2cos 2ππππππΦe e xzz e y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 2sin ππe 将点P (1,2,3) 的坐标代入，得()33236----=∇e e zy P e e πΦ。
那么，在P 点的最大变化率为2762362333+=--=∇---ππΦe e ezyPe eP 点最大变化率方向的方向余弦为0cos =α；27cos 2+-=ππβ；2727cos 2+-=πγ1-8 若标量函数为z y x xy z y x 62332222--++++=Φ试求在)1 ,2 ,1(-P 点处的梯度。
解 已知梯度z y x z y ∂∂+∂∂+∂∂=∇ΦΦΦΦe e e x，将标量函数Φ代入得()()()662432-+-++++=∇z x y y x z y e e e x Φ再将P 点的坐标代入，求得标量函数Φ 在P 点处的梯度为()y P e e x 93-=∇Φ1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
证明 式（1-6-11）为()A A ⋅∇=⋅∇C C ，该式左边为()()()()A A ⋅∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇C z A y A x A C CA z CA y CA x C z y x z y x 即()A A ⋅∇=⋅∇C C式（1-6-12）为()ΦΦΦ∇⋅+⋅∇=⋅∇A A A ，该式左边为()()()()z y x A z A y A x ΦΦΦΦ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇Az A z A y A y A x A x A zz y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ΦΦΦΦΦΦΦΦ∇⋅+⋅∇=A A ；即()ΦΦΦ∇⋅+⋅∇=⋅∇A A A1-10 试求距离||21r r -在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。
解 在直角坐标系中()()()21221221221z z y y x x -+-+-=-r r在圆柱坐标系中，已知φcos r x =，φsin r y =，z z =，因此()()()212211222112221sin sin cos cos z z r r r r -+-+-=-φφφφr r()()21212122122cos 2z z r r r r -+--+=φφ在球坐标系中，已知φθcos sin r x =,φθsin sin r y =,θcos r z =,因此 ()()()211222111222211122221cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin θθφθφθφθφθr r r r r r -+-+-=-r r()[]121212122122cos cos cos sin sin 2θθφφθθ+--+=r r r r1-11 已知两个位置矢量1r 及2r 的终点坐标分别为),,(111φθr 及),,(222φθr ，试证1r 与2r 之间的夹角γ为212121cos cos )cos(sin sin cos θθφφθθγ+-=证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为111111111cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++= 222222222cos sin sin cos sin θφθφθr r r z y x e e e r ++=已知两个矢量的标积为γcos 2121r r r r =⋅，这里γ为两个矢量的夹角。
因此夹角γ为2121cos r r r r ⋅=γ式中)cos cos sin sin sin sin cos sin cos (sin 21221122112121θθφθφθφθφθ++=⋅r r r r2121r r =r r因此，21212121212121cos cos )cos(sin sin cos cos )sin sin cos (cos sin sin cos θθφφθθθθφφφφθθγ+-=++=1-12试求分别满足方程式()0)(1=⋅∇r r f 及()0)(2=⨯∇r r f 的函数)(1r f 及)(2r f 。
解 在球坐标系中，为了满足()[]()[]()()()0311111=+∂∂=⋅∇+⋅∇=⋅∇r f r r f rr f r f r f r r r即要求()()03d d 11=+r f r r f r ()()r r r f r f d 3d 11-=⇒，求得()C r r f ln ln 3ln 1+-=即()31r Cr f =在球坐标系中，为了满足()[]()[]()0222=⨯∇+⨯∇=⨯∇r r r r f r f r f由于()[]02=⨯∇r r f ，0=⨯∇r ，即上式恒为零。