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初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案

一、反比例函数

1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交

反比例函数图象于点C，连接 OB．

（1）求 k 和 b 的值；

（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；

（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOB

P 坐标，若不存在请说

= S ？若存在请求出点

明理由．

【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4

（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1

（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，

∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：

由，解得： x=4，或 x=1，

∴B（ 4，1），

∴，

∵，

∴，

过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），

∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，

解得： t=3， t=﹣ 3，

∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．

【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结

论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达

式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条

件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据

三角形的面积公式列方程即可得到结论．

2．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标

是4，点 P（ 1，m）在反比例函数 y1= 的图象

上．（1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当 x 为何范围时， y1＞ y2；

（3）求△ PAB的面积．

【答案】（1）解：把 x=4 代入 y2=x，得到点 B 的坐标为（ 4， 1），把点B（4，1）代

入y1= ，得 k=4．

反比例函数的表达式为 y1=

（2）解：∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴ A 的坐标为（﹣ 4，﹣ 1），

观察图象得，当x＜﹣ 4 或 0＜ x＜ 4 时， y1＞ y2

（3）解：过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图，

∵点 A 与点 B 关于原点对称，

∴OA=OB，

△AOP=S△ BOP ，

∴S

△PAB△AOP

∴S=2S

．

y1=中，当x=1时，y=4，

∴P（ 1， 4）．

设直线 AP 的函数关系式为y=mx+n ，

把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，

则，

解得．

故直线 AP 的函数关系式为y=x+3，

则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

=OC?AR+ OC?PS

=× 3× 4+ × 3×1

=，

∴S△PAB=2S△AOP=15．

【解析】【分析】（ 1）把x=4 代入 y2= x，得到点 B 的坐标，再把点 B 的坐标代入y1=

，求出 k 的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象

在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞ y2的解集；（ 3）过点A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点C，由点 A 与点

B 关于原点对称，得出

△AOP=S△BOP ，S△PAB=2S△AOP ．求出P点坐标，利用OA=OB，那么 S

待定系数法求出直线AP 的函数关系式，得到点 C 的坐标，根据 S△AOP△AOC△POC

求出

=S+S

S△AOP=，则S△PAB=2S△AOP=15．

3．已知点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C， D 是某个函数图象上的点，当四边形

ABCD（ A， B， C， D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方

形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （ k＞ 0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点 D（ 2，

m）（ m＜ 2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（ a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD， C、D 中的一个点坐标为（ 3， 4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇

数还是偶数 ________．

【答案】（1）解：如图1，

当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在∵OC=0D=1，

∴正方形 ABCD的边长 CD= 当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在设小正方形的边长为a，y 轴负半轴上时，

；∠ OCD=∠ ODC=45 ，°y 轴正半轴上时，