二次函数(市电教优质课第一名)课件 PPT 九年级数学
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问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两 年后的产量为 y 20 1 x 2
源自文库 5. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm² . (1)写出y与x之间的函数关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少?
2cm
6. 将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
例3、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形经过 A（－1，0），B（0，1），C（1，6）三 点，求这个函数的解析式.
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( ) C
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
小结
拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
2
m2 m
mx1
m2 m
y (m m) x
是二次函数， 2 求m的值。 是二次函数， 2 求m的值
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1 (x≠0)是一次
3或1或2 函数,则k的值一定是______
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
函数: 在一个变化过程中,如果有两个
变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
)
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=4πr2 4. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连 M N 接相同两顶点的对角线是同一条 对角线,所以多边形的对角线总数 ②式表示了多边形的 1 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 即 1 2 3 个值,d都有一个对应值, d n n② 2 2 即d是n的函数.
问题:
(2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
m2－7 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 3.函数
反比例函数
k y= x
(k≠0)
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
3 5 或 2
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解： y x(20 2 x) (1)
2 x 20 x
2
(o<x<10)
2
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42m
(9)y=mx² +nx+p (m,n,p为常数）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别 指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x-1)² +1 (3) s=3-2t² (5)y= 1 -x __ x² (2) y=x+ __ 1 x -x² (4) y=(x+3)² (6) v=10π r²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)² =x2+6x+9-x2 -x²
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 (5)y= __ -x 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r² 1 __ 不是二次函数. (2) y=x+ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
即
y 20 x2 40 x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
1 2 3 d n n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2
二次函数y=ax² +bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x－1)² (是) (2)y=x+ x +1 (否) (3)s=3－2t² －x² (是) (4)y=(x+3)² (否) 1 __ －x (5)y= (否) (6)v= 3 r ² (是) x² (7) y=x² +25 (否) (8)y=2² +x³ +2x (否)
7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm,
点P从A开始沿AC向点C以1cm/s的速度,点Q从 C点开始沿BC向B点以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B两点同时出发,求△PQC的 面积S与运动时间t的函数关系式. (2)当t为何值时S=8cm2.
B Q 8CM A P 6CM C
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
源自文库 5. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm² . (1)写出y与x之间的函数关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少?
2cm
6. 将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
例3、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形经过 A（－1，0），B（0，1），C（1，6）三 点，求这个函数的解析式.
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( ) C
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
小结
拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
2
m2 m
mx1
m2 m
y (m m) x
是二次函数， 2 求m的值。 是二次函数， 2 求m的值
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1 (x≠0)是一次
3或1或2 函数,则k的值一定是______
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
函数: 在一个变化过程中,如果有两个
变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
)
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=4πr2 4. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连 M N 接相同两顶点的对角线是同一条 对角线,所以多边形的对角线总数 ②式表示了多边形的 1 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 即 1 2 3 个值,d都有一个对应值, d n n② 2 2 即d是n的函数.
问题:
(2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
m2－7 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 3.函数
反比例函数
k y= x
(k≠0)
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
3 5 或 2
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解： y x(20 2 x) (1)
2 x 20 x
2
(o<x<10)
2
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42m
(9)y=mx² +nx+p (m,n,p为常数）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别 指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x-1)² +1 (3) s=3-2t² (5)y= 1 -x __ x² (2) y=x+ __ 1 x -x² (4) y=(x+3)² (6) v=10π r²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
(4) y=(x+3)² =x2+6x+9-x2 -x²
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 (5)y= __ -x 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r² 1 __ 不是二次函数. (2) y=x+ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
即
y 20 x2 40 x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
1 2 3 d n n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2
二次函数y=ax² +bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x－1)² (是) (2)y=x+ x +1 (否) (3)s=3－2t² －x² (是) (4)y=(x+3)² (否) 1 __ －x (5)y= (否) (6)v= 3 r ² (是) x² (7) y=x² +25 (否) (8)y=2² +x³ +2x (否)
7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm,
点P从A开始沿AC向点C以1cm/s的速度,点Q从 C点开始沿BC向B点以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B两点同时出发,求△PQC的 面积S与运动时间t的函数关系式. (2)当t为何值时S=8cm2.
B Q 8CM A P 6CM C
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：