附有约束最小二乘配置的信号与观测误差的方差分量估计

杨元喜等首先将 Ｖ Ｃ Ｅ 用于最小二乘配置 （ Ｃ ｏ ｌ －
·１ ０·
测 绘 工 程 第 ２ １卷
１ ２］ ） ， 并成功用于 高 程 基 准 统 一 ［ 和拟地图数 ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ［ １ ３］ 朱建军等将 Ｖ 字化误 差 纠 正 ； Ｃ Ｅ 用于半参数模 １ ４］ ； 型［ 李伟 伟 等 直 接 利 用 信 号 估 值 与 残 差 的 二 次
［ ］ ３ ４ －
计用于自适应导航 ， 提出了多种形式的行之有效的
１ １］ 。 自适应算法 ［
以估值与理论值之差 足无偏性和不变性 的 前 提 下 ，
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ８ ２ ４ － － ） 基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （ ４ １ ０ ７ ４ ０ １ ８ ， 作者简介 ： 徐志军 （ 男， 硕士研究生 ． １ ９ ８ ７－ ）
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附有约束最小二乘配置的信号 与观测误差的方差分量估计
２ 徐志军１， 沈云中１，
（ ） 上海 ２ 上海 ２ １．同济大学 测量与国土信息系 ， ０ ０ ０ ９ ２； ２．现代工程测量国家测绘局重点实验室 ， ０ ０ ０ ９ ２ 摘 要： 介绍方差 － 协方差分量估计理论的研究和发展情况 ， 讨论最小 二 乘 配 置 模 型 信 号 与 观 测 误 差 的 方 差 分 量 估 计问题 。 在实际应用中 ， 考虑到未知参数间存在几何或物理约束 ， 针对附有约束条件最小二乘配置的方差分量估计 的问题 ， 基于 Ｈ 导 出 相 应 的 计 算 公 式。模 拟 算 例 结 果 表 明， 利用约束条件能够改善方差 ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方差分量估计原理 ， 分量的估计精度 ， 验证方法的有效性 。 关键词 ： 最小二乘配置 ； 方差分量估计 ；Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ估计 （ ） 中图分类号 ： Ｐ ２ ０ ７ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ ７ ９ ４ ９ ２ ０ １ ２ ０ ４ ０ ０ ０ ９ ０ ４ － － －
１ 附有约束条件的拟合推估模型
附有约束条件的拟合推估模型观测方程表示为 （ ） １
） ） 将式 （ 代入式 （ 得 １ １ ８
１ １ Ｔ － １ － － ｋ Ｉ－Ａ（ Ｎａ ＡＴＰ］ ｌ＋Ｐ Ａ Ｎａ ＣＮ － Ｎｄ ） １ ＝ Ｐ［ ｃ ｗ． （ ） １ ２
ｌ＝ Ａ ｘ ＋Ｂ ｓ ＋ｅ． 约束条件 ：
［ ２］
采用 Ｍ Ｇ Ｐ Ｓ基 线 解 算 中， Ｉ ＮＱＵ Ｅ 方法同时估计协
１ ０］ ； 改善 了 基 线 结 果 ［ 杨元喜将方差分量估 方差阵 ，
； 於宗俦从概括平差模型出发 （ 附 ； Ｒ ａ ｏ 在方差 － 协方差估值满
， 有限制条 件 的 条 件 平 差 ） 导出了 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方 差 分 量估计的通用公式
： Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｓ ｂ ｒ ｉ ｅ ｆ ｌ ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ ｅ ｄ ． Ｂ ｅ ｓ ｉ ｄ ｅ ｓ － ｐ ｐ ｙ ｙ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｉ ｎ ａ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ － ｐ ｇ ｐ ， ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ． Ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｅ ｘ ｉ ｔ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｅ ｏ ｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｇ ｐ ｐ ｇ ｐ ｙ ｐ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｒ ｅ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｖ Ｃ Ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｅ ． ｑ ， ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍ ｅ ｄ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｏ ｎ ｅ ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｅ ｘ ａ ｍ ｌ ｅ ｉ ｓ ｔ ｏ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｆ ｏ ｕ ｔ ｃ ｏ ｍ ｅ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｐ ， ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｈ ａ ｄ ｄ ｉ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ． Ｆ ｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍ ｏ ｒ ｅ ｉ ｔ ｉ ｓ ｄ ｅ ｍ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｖ ｉ ｅ ｗ ｏ ｉ ｎ ｔ ｉ ｓ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ． ｒ ｏ ｏ ｓ ｅ ｄ ｇ ｇ ｐ ｐ ｐ ： ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｙ 线性观测方程参数的最优估计及其精度评定以 １］ ， 协 方差阵） 为 基 础［ 方差－协方 正确的随机模型 （ ， 差分量估计 （ Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ Ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ 就是确定 观 测 值 的 协 方 差 阵 ， Ｖ Ｃ Ｅ） Ｖ Ｃ Ｅ 在测量数 据处理中有着 重 要 的 地 位 。 从 １ ９ ２ ４年 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ提 出了利用预平差的 改 正 数 ， 按验后估计各类观测量 的验前方差的 方 法 开 始
提高了 ３ ４ ． ２％ 。Ｖ Ｃ Ｅ被广泛应用于测量数据处理 的各 个 领 域 ， 并 取 得 了 良 好 的 效 果 。Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ和 Ｇ ｏ ａ ｄ
９］ ； 提 出 了 根 据 卫 星 高 度 角 定 权 模 型［ Ｗ ａ ｎ ｇ等在
， 许多数据处理专家对方
差 － 协方差分量估 计 做 了 深 入 的 研 究 ， 提出了很多 行之 有 效 的 算 法 。Ｇ ｒ ａ ｆ ａ ｒ ｅ ｎ ｄ将 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ公 式 推 广 到条件平差模型
［ １］
的二次范数最小为准则导出了著名的最小范数二次
［ ５］ ； 无偏估计 （ Ｍ Ｉ ＮＱＵ Ｅ） Ｐ ｅ ｉ ｌ ｉ ａ ｎ Ｘ ｕ 等讨论了方 差 ｇ ６］ ； 分量的可估性 问 题 ［ 李博峰等提出基于等效残差 ７］ ， 的方差分量估 计 公 式 ［ 以及根据闭合差估计方差 ８］ ， 分量的算法 ［ 该算法使方差分量估计的计算速度
（ ） Ｃ ｘ －ｗ ＝ ０． ２ 其中 ： ｌ 为ｎ×１ 观 测 向 量 ， ｘ 为ｔ×１ 参 数 向 量 ， ｓ为 ｕ×１信号向量 ， ｅ 为ｕ×１ 观 测 误 差 向 量 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ分 、 别为ｎ× ｔ ｎ× ｕ、 ｓ × ｔ 维的矩阵 ， ｗ 为ｓ×１ 维的列向 量。 假设ｓ、 和协方 差 矩 阵 分 ｅ 期望 （ Ｅ 为期望算子 ） 别为 ）＝ ０， Ｅ（ ｓ Ｅ（ ｅ）＝ ０，
型， 建立信号与观测误差的 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方 差 分 量 公 ［ １ ５］ 式， 避免了 引 入 虚 拟 观 测 方 程 。 在 实 际 应 用 中 ， 如果未知参数之间 存 在 约 束 条 件 ， 如数字化地图中 利用相关条件有望提高信号 的房角点通常是直 角 ， 与观测误差方差 分 量 的 估 计 精 度 。 因 此 ， 本文探讨 附有约束最小二乘配置的方差分量估计问题 。
Ｔ ， ｓ ｓ ＝ Ｅ（ ）
２ 基于残差与信号二次型的方差分量估计 公式
） ） 、 ） 将式 （ 代入式 （ 式（ 得 １ ２ ５ ６ ＾ ， ｅ ＝ Ｈ１ ｌ
（ ） １ ３ （ ） １ ４
＾ ｓ ＝ Ｐ Ｂ Ｈ２ ｌ ．
１ － ｓ Ｔ
其中 ：
∑ ∑
ｅ
ｓ
１ １ － － ， Ｈ１ ＝ Ｐ Ｉ－Ａ（ Ｎａ ＡＴＰ］ － Ｎｄ ） ｅ Ｐ［ １ Ｔ － Ｈ２ ＝ Ｐ［ Ｉ－Ａ（ Ｎａ － Ｎｄ ） Ａ Ｐ］ ．
１ １２ ， ｕ ｎ ＸＵ Ｚ ｈ ｉ Ｓ ＨＥ Ｎ Ｙ ｕ ｎ ｚ ｈ ｏ ｎ － － ｊ ｇ ，
（ ， ， ； １． Ｄ ｅ ｔ ． ｏ ｆ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ Ｇ ｅ ｏ ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｔ ｏ ｎ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ２． Ｋ ｅ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｏ ｆ Ａ ｄ － － ｐ ｙ ｇ ｇ ｇ ｇ ｊ ｙ ｇ ｙ ｙ ， ） ｖ ａ ｎ ｃ ｅ ｄ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｏ ｆ Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｂ ｕ ｒ ｅ ａ ｕ ｏ ｆ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ Ｍ ａ ｉ ｎ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｙ ｇ ｇ ｇ ｙ ｇ ｐ ｐ ｇ ｇ
＾ ｋ ｌ－Ａ ｘ） ． １ ＝ Ｐ（ －１ Ｔ －１ ） 。 其中 ， Ｐ＝ （ Ｐ ＋Ｂ Ｐ Ｂ ｓ ） ） 将式 （ 代入式 （ 得 ８ ７ １ － ＾ ｘ ＝ Ｎａ （ ＡＴＰ ｌ＋ＣＴ ｋ ． ２）
－１ ｅ
（ ） ８
（ ） ９
其中 ， Ｎａ ＝Ａ Ｐ Ａ。
Ｔ
） ） 将式 （ 代入式 （ 得 ９ ２
第２ １ 卷第 ４ 期 测 绘 工 程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ １ №． ４ ， 年 月 ２ ０ １ ２ ８ Ｅ ｕ ．２ ０ １ ２ ｇ ＮＧ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ ＮＧ Ｏ Ｆ Ｓ ＵＲ Ｖ Ｅ Ｙ Ｉ ＮＧ ＡＮ Ｄ ＭＡ Ｐ Ｐ Ｉ ＮＧ Ａ
１ １ Ｔ － － （ ） ｋ ｗ －Ｃ Ｎａ ＡＰ ｌ） ． １ ０ ２ ＝Ｎ ｃ （ １ Ｔ － 其中 ， Ｎ Ｎａ Ｃ 。 ｃ ＝Ｃ ） ） 将式 （ 代入式 （ 得 １ ０ ９ １ １ Ｔ － １ － － ＾ ） ｘ＝ （ Ｎａ － Ｎｄ ） ＡＴＰ ｌ＋ Ｎａ ＣＮ １ １ ｃ ｗ． （ １ Ｔ － １ １ － － 其中 ， Ｎｄ ＝ Ｎａ Ｃ Ｎ Ｎａ 。 ｃＣ
Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｓ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｉ ｎ ａ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｇ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ