附有约束最小二乘配置的信号与观测误差的方差分量估计
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计线性回归模型中的参数。
在实际应用中，最小二乘估计被广泛应用于数据拟合、信号处理、统计分析等领域。
本文将介绍最小二乘估计的原理及其应用。
最小二乘估计的原理是基于最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来进行参数估计。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项。
最小二乘估计的目标是找到最优的β0和β1，使得观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。
为了形式化地描述最小二乘估计的原理，我们可以定义损失函数为误差的平方和，即L(β0, β1) = Σ(Yi β0 β1Xi)²。
最小二乘估计的思想就是通过最小化损失函数来求解最优的参数估计值。
为了找到最小化损失函数的参数估计值，我们可以对损失函数分别对β0和β1求偏导数，并令偏导数等于0，从而得到最优的参数估计值。
在实际应用中，最小二乘估计可以通过求解正规方程来得到参数的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来进行数值优化。
无论采用何种方法，最小二乘估计都能够有效地估计出线性回归模型的参数，并且具有较好的数学性质和统计性质。
除了在线性回归模型中的应用，最小二乘估计还可以推广到非线性回归模型、广义线性模型等更加复杂的模型中。
在这些情况下，最小二乘估计仍然是一种有效的参数估计方法，并且可以通过一些变形来适应不同的模型结构和假设条件。
总之，最小二乘估计是一种重要的参数估计方法，它具有简单直观的原理和较好的数学性质，适用于各种统计模型的参数估计。
通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，最小二乘估计能够有效地估计出模型的参数，并且在实际应用中取得了广泛的成功。
希望本文对最小二乘估计的原理有所帮助，谢谢阅读！。
具有线性等式约束的整体最小二乘平差
具有线性等式约束的整体最小二乘平差是指在满足一组线性等式约束条件的情况下，对一组观测值进行平差计算，使得所有观测值与模型值之间的平方差和最小。
这个问题可以用线性规划的方法来解决。
假设有m 个观测值，n 个未知量，则可以使用下面的公式求解：
minimize ∑(observation_i - model_i)^2
subject to Ax = b
其中，observation_i 表示第i 个观测值，model_i 表示第i 个模型值，A 是一个系数矩阵，x 是未知量向量，b 是常数向量。
这个问题可以使用拉格朗日乘子法来求解。
首先，我们需要构造拉格朗日函数，即：
L(x, λ) = ∑(observation_i - model_i)^2 -λ(Ax-b)
其中，λ是拉格朗日乘子。
然后，我们需要对拉格朗日函数求导，得到下面的式子：
∂L/∂x = 2A^T (observation - model) -λA = 0
∂L/∂λ= Ax - b = 0
我们需要同时满足上面的两个方程，然后解出x 和λ的值。
最后，我们就可以计算出最小二乘平差的解。
带约束的最小二乘法
带约束的最小二乘法
带约束的最小二乘法是一种统计学分析技术，用于拟合有限数据集，以及科学算法和统计预测中的系统模型。
它可以让研究者们简单地进行数据拟合，而且可以提高拟合效果，使其符合实际情况，同时也可以解决具有非线性系统的模型估计过程。
带约束的最小二乘法的基本原理是运用一个目标函数对观测值和未知参数之间的拟合度进行评价，从而求得一个最佳的数学模型及其参数，使得它可以尽可能准确地拟合一组观测数据，这种模型称为最小二乘估计法（Least Square (LS) Estimation）。
由于受到建模与数据观测条件的限制，得到的模型及参数往往不能满足实际要求，因此就需要对数据进行限制及调整。
这就是带约束的最小二乘法的基本方法，利用问题的一些有关性质，通过确定限制项的方法，使得最小二乘估计的参数更加准确，符合实际要求。
与其他拟合方法相比，带约束的最小二乘法具有其独到之处，既可以满足最小相对误差对数据进行准确拟合，又不会被误差引入太多噪声，可以获得一个更稳定的拟合系数和参数。
由于它考虑了数据的约束性质，可以有效避免模型参数的过度拟合，从而使得模型能够更加有效地反映出反映性质。
带约束的最小二乘法由于其良好的拟合精度，在多种现代数据分析技术中得到了广泛的应用，如计算机视觉，机器学习，信号处理，控制理论，环境复杂场景的重建等。
因此，它可以说是数据建模和预测研究中不可或缺的一个重要工具，有助于我们更有效地理解和应用现有技术，实现复杂的模型估计与求解。
最小二乘估计的基本原理
最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。
今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。
1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。
这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。
这里的“最小”就是让误差最小化。
听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。
1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。
在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。
假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。
你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。
1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。
说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。
把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。
2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。
首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。
比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。
但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。
其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。
想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。
平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。
2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。
误差分别是2、1和5。
计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。
约束最小二乘法
第27卷第6期增刊 2006年6月仪 器 仪 表 学 报Chinese Journal of Scientific InstrumentVol.27No.6J une.2006 约束最小二乘法孙希延1,2,3 施浒立1 纪元法1,2,31(中国科学院国家天文台 北京 100012)2(桂林电子工业学院应用科技学院 桂林 541004)3(中国科学院研究生院 北京 100039)摘 要 为了准确、实时地估计出有突变时载体的状态,设计一种新的方法2约束最小二乘法,并且给出了递推形式。
实验仿真表明:有状态突变时该方法优于卡尔曼滤波,无状态突变时估计结果与卡尔曼滤波估计结果相当。
关键词 约束最小二乘法 卡尔曼滤波 最小均方差 递推Constraint least square algorithmSun Xiyan1,2,3 Shi Huli1 Ji Yuanfa1,2,3 1(N ational A st ronomical Observatory,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing 100012,China) 2(A p plied S cience and Technolog y College,Guilin Universit y of Elect ronic Technology,Guilin 541004,China)3(Graduate School,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing 100039,China)Abstract To estimate the state of t he carrier wit h a sudden change correctly and timely,in this paper a new approach is demonstrated and it s recursive form is also given.The simulation of t he experiment iundicates t hat t he expected performance of t he new approach is superior to t hat of t he KF when t here is a sudden change of t he state, ot her uise,t he evaluative resnlt of t he new approach is good as well as t hat of t he KF.K ey w ords constraint least square kalman filtering least2mean2square error recursive1 引 言天文学的研究促进了最小二乘的提出,于1809年高斯在他的书中详细描述了最小二乘方法[1,2]。
基于最小二乘法的信号估计技术研究
基于最小二乘法的信号估计技术研究信号估计技术是指利用一定的信号处理算法，根据已知信号的特性，对未知信号进行预测、估计的技术。
信号估计技术在现代通信、雷达、声纳等领域都有着广泛的应用。
其中，基于最小二乘法的信号估计技术较为常见，本文将对其进行研究。
一、理论概述最小二乘法是指尽可能地使残差平方和最小，来确定未知参数的一种统计推断方法。
在信号估计中，最小二乘法可以用来确定信号相关系数或信号周期等未知参数。
最小二乘法的基本思路是利用样本点对未知量的函数进行逼近，找到使平方误差最小的函数。
以信号估计为例，假设已知观测到的信号为y，未知信号为x，我们需要找到一个线性方程ax+b，满足ax+b与y的差别最小。
二、应用实例在实际应用中，最小二乘法广泛应用于信号估计、信号滤波等领域。
以语音信号处理为例，在语音信号传输过程中，由于噪声等因素的干扰，传输信号通常会发生失真。
在接收端，对失真的信号进行估计是一个重要的问题。
基于最小二乘法的信号估计技术可以有效地解决这个问题。
在信号滤波方面，最小二乘滤波是一种非常常用的滤波方法。
最小二乘滤波可以使滤波后的信号与原信号的误差的平方和最小化，从而达到信号滤波的效果。
三、误差分析最小二乘法的主要问题是过拟合和欠拟合。
如果模型的复杂度过高，那么就会出现过拟合现象；反之，如果模型的复杂度过低，那么就会出现欠拟合现象。
在信号估计方面，如果我们对观测到的信号进行过拟合，那么我们可能会得到很高的估计误差，影响信号估计的准确性。
而如果进行欠拟合，那么我们可能会得到很低的估计误差，但是我们会失去信号中的一些重要信息。
四、总结总的来说，基于最小二乘法的信号估计技术是一种非常重要的信号处理技术。
通过对未知信号的估计，我们可以更好地理解信号中所包含的信息，从而更好地进行信号处理。
同时，我们需要注意避免过度拟合或欠拟合问题，从而提高信号估计的准确性。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。
长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态*0X 和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值0ˆX 。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为 P 。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程0y Hx ε=+，得1()T T x H PH H Py -=卫星的参考状态为**000ˆX X x =+ 在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
信号检测与估计理论(8)第八章 最小二乘估计
T T −1 T
)( ( = x ( I − H( H H) H ) x
)
（8-11）
上式推导中， 利用了 I − H(H T H ) H T 是幂等矩阵的性质， 即 A2 = A 。
−1
J min 也可写成另一种形式
Jmin = xT x − xT H HT H HT x
ˆ = xT x − Hθ
w[n] = E (w[n]) + w' [n]
式中 w ' [n] 是零均值噪声，这时观测数据则为
x[n] = A + E (w[n]) + w ' [n]
显然，样本均值估计实际上是 A + E (w[n]) 的估计，这时的 LSE 是 有偏估计，不是 MVU 估计。 也就是说， 必须假设观测数据是由确定信号和零均值噪声组 成，在信号参量的正确选择下，误差 e[n] = x[n] − s[n] 在平均意义下 趋于零，则（8-1）式的最小是合理的。 如果假设的直流量信号模型不正确， 例如描述观测数据的模 型是 x[n] = A + Bn + w[n] ，则这个模型误差也将引起 LSE 是有偏的。
对于信号模型是待估计参量的线性函数的最小二乘情况我们 称为线性最小二乘问题，如例 8-1。 否则，这个问题称为非线性最小二乘问题，如例 8-2。 求解非线性 LS 问题是通过栅格寻优或迭代最小化方法 （前面 已介绍） 。 应该注意的是线性最小二乘问题是指信号是待估计参量的线 性函数，信号本身不必是线性的。
p ×1
维的，信号
s = [s[0] s[1] " s[ N − 1]]T 是待估计参量的线性函数，假设
s = Hθ
（8-8）
最小二乘配置法中局部协方差函数的计算3
系的线性泛函, 在该区域内线性泛函的平均值为零,
则局部协方差函数的定义为:
∫∫ ∫ C (7 ) =
1 A
Υ2 Υ1
Κ2 1 Κ1 2Π
2Π
l
0
(P
)
l
(Q
)
co
s
(Υ)
d
ad
Υd
Κ
(1)
其中A 为该区域在单位球上的面积, Α为方位角。
实 际上观测值是在离散点上给出的, 因此协方
差函数可由数值积分计算。设每个观测值 li 代表一 个小区域 A i, lj 代表一个小区域 A j , 则:
比较可得到 N
如 G ′0 大于 G 0, 则减去更多的阶方差
如 G ′0 小于 G 0, 则减去较少的阶方差
当计算所得 G ′0 与经验值之差小于 3 时, 结束上
面的循环过程, 最终我们可得到A , s 和N 的近似值。
5 实际计算和结果分析
我们采用如下区域范围内的重力异常数据来推 算局部协方差函数, 经度: 12. 5°～ 14. 5°; 纬度: 46. 5° ～ 48. 0°
得到更准确的结果。
2 局部协方差函数的定义
为了由给定的重力异常来估算经验协方差函
数, 我们需要计算协方差函数的三个主要参数, 即方
差、相关长度和曲率半径, 这三个参数决定了局部协
方差函数主要的统计性质。 由于实际应用中所需要
的是局部地区的大地水准面, 因此本文只考虑最小
二乘配置法在局部区域的应用, 这时采用局部协方
(6)
n= N + 1
其中: s =
(R B R
)
2
=
R rp
2 B
参数的最小二乘估计量 协方差
参数的最小二乘估计量协方差【原创版】目录1.参数的最小二乘估计量2.协方差正文1.参数的最小二乘估计量在统计学中，最小二乘法是一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是寻找一个使得所有观测值与估计值之间的平方误差和最小的参数值。
具体来说，假设我们有一组观测数据 X = {x1, x2,..., xn}，对应的参数为θ，则最小二乘估计量为θ^= (X"X)^-1X"，其中 X"表示 X 的转置，(X"X)^-1 表示 X"X 的逆矩阵。
最小二乘法可以应用于各种问题，例如线性回归、多项式拟合等。
它的优点在于具有较强的理论性质，可以得到参数的一致估计和渐进分布。
然而，最小二乘法也有其局限性，例如在存在多重共线性的情况下，最小二乘估计量可能不稳定，甚至无法得到有效的参数估计。
2.协方差协方差是一种衡量两个随机变量之间线性相关程度的统计量。
对于随机变量 X 和 Y，其协方差定义为 E[(X - μX) * (Y - μY)]，其中 E[·] 表示期望，μX 和μY 分别表示 X 和 Y 的均值。
协方差的取值范围为[-1, 1]，当协方差为 1 时，表示 X 和 Y 完全正相关；当协方差为 -1 时，表示 X 和 Y 完全负相关；当协方差为 0 时，表示 X 和 Y 之间不存在线性相关关系。
协方差在实际应用中有很多用处，例如在金融领域中，可以通过计算股票收益率的协方差来衡量不同股票之间的相关性，从而为投资组合的优化提供依据。
此外，协方差也是协方差矩阵、方差分析等统计方法的基础。
综上所述，参数的最小二乘估计量和协方差是统计学中两个重要的概念，它们在实际应用中具有广泛的应用价值。
近代测量数据处理进展
在
V T PV min ˆ TX ˆ min X II II
部分参数最小范数条件下
高德曼（Goldman）蔡勒(Zelen)（1964年）（奇异 权逆阵的最小二乘） Q，P满秩 Q，P奇异阵
V T Q V min
劳（C.R.Rao）（1971年）提出广义G-M模型
ˆ l V BX
最小二乘配置（拟合推估）： L AX BY 既包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号） 广义LS准则：
V T PV VYT PYVY min
拟合推估
Bayes准则：
进行随机参数向量估计
Bayes估计
L AX BY
③
4
随机模型的验后估计
经典平差研究：平差函数模型的建立——研究平差方法，方程 式的建立； 近代平差研究：随机模型——观测值的权（观测值之间的精度 比例） 近代： 不同类多种观测值，不同精度的观测值；
① L随机独立 → 随机相关，P—对称方阵（相关平差）。
② A列满秩→A秩亏，秩亏自由网平差；
③ X非随机参数具有各态经历性的平稳随机函数（拟合推估） 最小二乘配置； ④ 仅考虑研究函数模型（各种平差方法）→考虑研究随机 模型（方差分量估计）； ⑤ 不考虑模型误差（系统误差，粗差）→顾及模型误差 （附加系统参数的平差，可靠靠性理论，数据探测，稳 健估计）
成果的精度与可靠性
6
有偏估计
经典平差——最小二乘原理——最优无偏估计。 ˆ X E X
ˆ X X ˆ X T X E min
ˆ X) 0 lim( E X
T r
当平差中含有较多未知参数的大型线性模型，往往会出现模型线 性近似或参数近似相关，法方程性态不好（病态）——接近奇异，按 最小二乘平差将导致虽满足最小二乘最优条件。方差最小，但值都很 大，精度差，相当不稳定。 有偏估计： 偏差： 有偏估计：
最小二乘配置
实际情况：
很难选择和实际情况完全符 合的模型， 或者模型过于复杂 不便解算甚至不能解算。
直线方程： vi a0 a1 xi Li
应用背景
30 25 20 15
f(x)
10 5 0 -5 0 5 10 15 20
x
应用背景
30 25 20 15
f(x)
10 5 0 -5 0 5 10 15 20
SS ' S
隐信号的方差（协方差）对参数估值
ˆ 没有影响。 ˆ 、信号的估值 S X
公式推导 公式汇集：
PL1 ( P1 S )
ˆ ( AT P A) 1 AT P L X L L
分析：
B I
1 Y
0
ˆ P ( AX ˆ L) S S L ˆ ' P ( AX ˆ L) S S 'S L ˆ L) V P1 PL ( AX
0
ˆ ( AT P A) 1 AT P L X L L
ˆ P ( AX ˆ L) S S L ˆ ' P ( AX ˆ L) S S 'S L ˆ L) V P1 PL ( AX
S P Y S ' S
BPY1 BT S PL1 ( P1 S )
ˆ L) K PL ( AX
（8）代入（3）、（4），得
（8） （9）
ˆ L) V P1 PL ( AX
ˆ P 1 BT P ( AX ˆ L) （10） Y Y L
公式推导 公式汇集：
PL1 ( P1 BPY1 BT )
分析：
B I
1 Y
第一类：非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑 其随机性质的，称为参数（倾向参数） 第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及 的，称之为信号。信号又分为已测点信号和未
最小二乘估计法
一,什么是最小二乘估计least-square estimation例:y = ax + (其中:y,x 可测;( —不可测的干扰项;a —未知参数.通过N 次实验,得到测量数据yk 和xk k = 1,2,3 …,确定未知参数a 称"参数估计".使准则J 为最小:令:( J ( ( a = 0 ,导出a =称为"最小二乘估计",即残差平方总和为最小的估计,Gauss于1792晏岢? 二,多元线性回归线性模型y = a0+ a1x1+(+ anx n + ( 式(2 - 1- 1)引入参数向量:( = [ a0,a1,(a n ]T (n+1)(1进行N 次试验,得出N 个方程:yk = (kT ( + (k ; k=1,2…,N 式(2 -1- 2)其中:(k = [ 1,x1,x2,(,x N ] T (n+1) (1方程组可用矩阵表示为y = ( ( + ( 式(2 -1- 3)其中:y = [ y1,y2,...,y N ] T (N (1)( = [ (1,(2,...,( N ] T (N 1)N (n+1)估计准则:有:= (y —( ()T( y —( ()(1(N) ( N(1)J = yTy + (T (T ( ( -yT ( ( - (T (T y= yTy + (T (T ( ( - 2 (T (T y 式(2 -1- 4)假设:((T ()(n+1)(n+1) 满秩,由利用线性代数的以下两个矩阵对向量求偏导数的公式:和有:和所以:解出参数估计向量:( Ls =((T ()-1 (T y 式(2 -1- 5)令:P = ((T ()-1 则参数估计向量( Ls = P (T y参数估计向量( Ls 被视为以下"正则方程"的解:((T ()( = (T y 式(2 -1- 6)注:为了便于区别,我们用红体字符表示估计量或计算值,而用黑体表示为参数真值或实际测量值.三,关于参数最小二乘估计Ls 性质的讨论以上求解参数最小二乘估计( Ls 时并为对{ (k }的统计特性做任何规定,这是最小二乘估计的优点.当{ (k }为平稳零均值白噪声时,则( Ls 有如下良好的估计性质:参数最小二乘估计( Ls 是y 的线性估计( Ls = P (T y 是y 的线性表出;b) 参数最小二乘估计( Ls 是无偏估计,即E ( Ls= ( (参数真值)[ 证明]:E ( Ls= E[ P (T y ]= P (T E( y ) = P (T E ( (( + ( ) =P (T ( ( + E( ( ) = ( + 0 = (最小二乘估计( Ls 的估计误差协方差阵是(2P (n+1)(n+1)即:E [ ( ( Ls- ( ) ( ( Ls- ( )T ] = (2P[ 证明]:E [ ( ( Ls - ( ) ( ( Ls - ( )T ] = E [ P (T ( y -( () ( y- ( ()T (P ] = E [ P (T ( (T (P ] = P (T E ( ( (T) (P =P (T (2 IN(N (P = (2P若{ (k }为正态分布零均值白噪声时,则( Ls 是线性无偏最小方差估计(证明从略).如若{ (k }是有色噪声,则( Ls 不具有上述性质,即为有偏估计.四,最小二乘估计( Ls 的的几何意义和计算问题1.最小二乘估计的几何意义最小二乘估计的模型输出值为yk = ( kT ( Ls k = 1,2,…N输出实际测量值与模型输出值之差叫残差:(k = yk –yk模型输出向量为y = ( ( Ls ,而残差向量为:( = y –y = y –( ( Ls(T ( k = (T y –(T (((T ()-1 (T y = (T y –(T y = 0即残差向量( 与由测量数据矩阵( 的各个向量:( 1,( 2 ,…,( N 张成的超平面(估计空间)正交,而最小二乘模型输出向量y 为实际输出向量y 在估计空间上的正交投影,这就是最小二乘估计的几何意义.---------------------------------------------最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配. 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小.最小二乘法通常用于曲线拟合.很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达.比如从最简单的一次函数y=kx+b讲起已知坐标轴上有些点(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求经过这些点的图象的一次函数关系式.当然这条直线不可能经过每一个点,我们只要做到5个点到这条直线的距离的平方和最小即可,这就需要用到最小二乘法的思想.然后就用线性拟合来求.。
最小二乘估计理论及算法在测量平差中的应用
最小二乘估计理论及算法在测量平差中的应用一、最小二乘估计理论及算法从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差 向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。
首先介绍一些基本概念 （1）残差设 是被解释变量的第 次样本观测值， 是相应的第 次样本估计值。
将与之间的偏差记作（1）称 为第 次样本观测值的残差。
（2）最小二乘准则使全部样本观测值的残差平方和达到最小，即来确定未知参数估计量的准则，称为最小二乘准则。
（3）最小二乘估计量 未知参数 的最小二乘估计量的计算公式为（2） 最小二乘估计量的推导 设残差平方和其中)(x p ),(i i y x i i i y x p r -=)(i i i y x p r -=)(im i r ≤≤0max Tm r r r r ),,(10 =∑=mi ir∑=mi ir02∑=mi ir02ir它是阶残差列向量。
为了得到最小二乘估计量，我们对上式进行极小化移项后，得正规方程组根据基本假定5.，存在，用左乘正规方程组两边，得的最小二乘估计量式（4）的无偏估计量随机误差项的方差的无偏估计量为（3）称作回归估计的均方误差，而（4）称作回归估计的标准误差。
（5）的方差（5）其中，，于是每个的方差为，而是矩阵对角线上对应的第个元素，。
（6）方差的估计量方差的估计量为（6）则每个方差的估计量为，（7）标准差的估计量为，（8）数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最（图1）。
最小方差二次无偏估计、最大似然法、约束最大似然估计法和贝叶斯方法 -回复
最小方差二次无偏估计、最大似然法、约束最大似然估计法和贝叶斯方法-回复统计学中有多种方法可用于估计未知参数。
其中，最小方差二次无偏估计、最大似然法、约束最大似然估计法和贝叶斯方法是常用的估计方法。
本文将分步回答以下主题：最小方差二次无偏估计、最大似然法、约束最大似然估计法和贝叶斯方法是什么？它们的基本原理和应用场景是什么？以及它们之间的比较与优缺点分析。
首先，我们来介绍最小方差二次无偏估计（Minimum Variance Quadratic Unbiased Estimation，MVQUE）。
MVQUE是一种基于样本的参数估计方法，通过选择最合适的估计量来达到最小化估计误差的目的。
它具有无偏性和有效性的特点，即在所有无偏估计中具有最小的方差。
在选择最小方差二次无偏估计时，通常需要使用方差-协方差矩阵等统计量进行计算。
接下来，我们介绍最大似然法（Maximum Likelihood Estimation，MLE）。
MLE是一种建立在概率统计理论上的估计方法，它通过在已知观测数据下使得估计参数的似然函数最大化来进行参数的估计。
最大似然法基于一定的假设，假设观测数据服从特定的概率分布，根据观测数据选择使得该分布下的似然函数取得的值最大的参数值作为估计值。
最大似然法广泛应用于各个领域，例如生物统计、金融统计和工程领域等。
然后，我们来介绍约束最大似然估计法（Constrained MaximumLikelihood Estimation，CMLE）。
CMLE是对最大似然法的一种改进，并且在实际应用中更为常见。
在最大似然法中，参数估计通常不受任何约束条件限制，而在CMLE中，参数估计需要满足一定的约束条件。
例如，我们可以在最大似然法的似然函数中加入一个约束条件，通过拉格朗日乘子法等数学方法，将约束优化问题转化为非约束优化问题，进而得到约束最大似然估计的解。
最后，我们介绍贝叶斯方法（Bayesian Inference）。
最小二乘估计基本原理
最小二乘估计基本原理
最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，其基本原理是寻找使得模型预测值与观测值之间的平方误差最小的参数。
该方法适用于线性回归模型，其中假设模型的预测值与真实观测值之间存在线性关系。
为了进行最小二乘估计，我们首先需要确定一个线性回归模型，其形式可以表示为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，Y是观测值的预测值，X1到Xn是自变量，β0到βn是
要估计的参数，ε是随机误差。
接下来的目标是找到一组参数值（β0, β1, β2, ..., βn），使得预
测值Y与观测值的平方误差最小。
换句话说，我们需要最小
化残差平方和（RSS）：
RSS = Σ (Y - Ŷ)²
其中，Σ表示求和符号，Y是观测值，Ŷ是模型的预测值。
最小二乘估计的基本思想是通过对RSS对参数进行求导，令
导数等于零，从而求解出最优的参数值。
具体来说，我们需要对每个参数进行求导，然后解出关于参数的方程组。
最终，我们可以得到最小二乘估计的估计公式：
β = (X^T X)^(-1) X^T Y
其中，β是估计的参数向量，X是设计矩阵，Y是观测值向量，(X^T X)^(-1)表示X^T X的逆矩阵，X^T表示X的转置。
通过最小二乘估计，我们可以得到最优的参数估计值，进而用于模型预测和推断。
这种方法在实际应用中被广泛使用，特别是在统计学和经济学领域。
最小二乘估计
r
缺点：对所有测量数据 同等看待
最小二乘估计——线性最小二乘估计
•
•
加权最小二乘法 对不同置信度的测量值采用加权的办法分别对待 强调可靠数据的重要性
LS改为：J ( ) ( x H )
T
W ( x H )
N×N维加权矩阵
最小二乘估计——线性最小二乘估计
加权最小二乘法
ˆ 此时的LSE为： ( H T WH ) 1 H T Wx
ˆ 一般的LSE为： ( H T H ) 1 H T x
此时估计的均方误差为： ( H T WH ) 1 H TWRWH ( H TWH ) 1 一般的均方误差为：
( H T H ) 1 H T RH ( H T H ) 1
最小二乘估计——线性最小二乘估计
加权最小二乘法
W diag[w(0), w(1), , w( N 1)]
改写形式
ˆ[ N ] N A[ N 1] 1 x[ N ] ˆ A N 1 N 1
1 ˆ ˆ ˆ A[ N ] A[ N 1] ( x[ N ] A[ N 1]) N 1
老的估计
修正项
最小二乘估计——序贯最小二乘估计
若对观测数据加权，w( n)
1
2 n
最小二乘估计——线性最小二乘估计
当系统测量噪声V是均值为0，方差为R时
性质1. 最小二乘估计即是无偏估计，有： ( ) E ˆ
ˆ) E[ ( H T H ) 1 H T x] E ( E[( H T H ) 1 ( H T H ) ( H T H ) 1 H T x] ( H H ) H E ( H x)
n 1 n 1 n 1
基于最小二乘法拟合估计傅里叶望远镜的缺失分量
基于最小二乘法拟合估计傅里叶望远镜的缺失分量于树海;王建立;董磊;刘欣悦;王亮【期刊名称】《光学精密工程》【年(卷),期】2015(023)001【摘要】为了采用非均匀发射阵列的傅里叶望远镜清晰重构深空目标图像,提出了一种基于最小二乘法拟合缺失傅里叶分量的新方法.首先采用T型非均匀发射阵列作为傅里叶望远镜的激光发射系统,并对返回的时域信号进行直流滤波;然后,基于傅里叶望远镜的基本原理对信号进行解调并通过相位闭合得到三重积.采用最小二乘法对没有抽取的傅里叶分量进行拟合估计,作为连乘恢复单一傅里叶分量信息的基础;最后,进行非均匀傅里叶逆变换重构目标图像.在不同信噪比条件下对4个目标进行了数值模拟,并与简单估算方法进行了对比.结果显示:信噪比(SNR)为200 db,采用7阶最小二乘法拟合估计时,重构图像细节分辨更为清晰,其斯特里尔比(Strehl)比衍射极限图像的斯特里尔比(Strehl)最高可提高0.074 2,最低可提高0.009 8.采用新方法对外场实验数据进行重构的结果表明:提出的方法克服了频谱偏差造成的重构图像失真,可为实际工程系统提供理论参考.【总页数】6页(P282-287)【作者】于树海;王建立;董磊;刘欣悦;王亮【作者单位】中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院大学,北京100049;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院大学,北京100049【正文语种】中文【中图分类】TH743【相关文献】1.基于全相位谱分析的傅里叶望远镜外场实验数据处理 [J], 于树海;王建立;董磊;刘欣悦2.基于傅里叶算法的衰减直流分量消除的研究 [J], 叶汉民;谭惠尹;穆晓慧3.基于空域非均匀傅里叶变换的傅里叶望远镜 [J], 于树海;王建立;董磊;刘欣悦;王国聪4.基于非均匀周期采样的傅里叶望远镜时域信号采集方法 [J], 于树海;王建立;董磊;刘欣悦;王国聪5.舰船磁场垂向分量推算其三分量的傅里叶方法 [J], 王鲸;禤予文;杨明明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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附有约束最小二乘配置的信号 与观测误差的方差分量估计
２ 徐志军１， 沈云中１，
（ ） 上海 ２ 上海 ２ １．同济大学 测量与国土信息系 ， ０ ０ ０ ９ ２； ２．现代工程测量国家测绘局重点实验室 ， ０ ０ ０ ９ ２ 摘 要： 介绍方差 － 协方差分量估计理论的研究和发展情况 ， 讨论最小 二 乘 配 置 模 型 信 号 与 观 测 误 差 的 方 差 分 量 估 计问题 。 在实际应用中 ， 考虑到未知参数间存在几何或物理约束 ， 针对附有约束条件最小二乘配置的方差分量估计 的问题 ， 基于 Ｈ 导 出 相 应 的 计 算 公 式。模 拟 算 例 结 果 表 明， 利用约束条件能够改善方差 ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方差分量估计原理 ， 分量的估计精度 ， 验证方法的有效性 。 关键词 ： 最小二乘配置 ； 方差分量估计 ；Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ估计 （ ） 中图分类号 ： Ｐ ２ ０ ７ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ ７ ９ ４ ９ ２ ０ １ ２ ０ ４ ０ ０ ０ ９ ０ ４ － － －
提高了 ３ ４ ． ２％ 。Ｖ Ｃ Ｅ被广泛应用于测量数据处理 的各 个 领 域 ， 并 取 得 了 良 好 的 效 果 。Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ和 Ｇ ｏ ａ ｄ
９］ ； 提 出 了 根 据 卫 星 高 度 角 定 权 模 型［ Ｗ ａ ｎ ｇ等在
， 许多数据处理专家对方
差 － 协方差分量估 计 做 了 深 入 的 研 究 ， 提出了很多 行之 有 效 的 算 法 。Ｇ ｒ ａ ｆ ａ ｒ ｅ ｎ ｄ将 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ公 式 推 广 到条件平差模型
［ ］ ３ ４ －
计用于自适应导航 ， 提出了多种形式的行之有效的
１ １］ 。 自适应算法 ［
以估值与理论值之差 足无偏性和不变性 的 前 提 下 ，
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ８ ２ ４ － － ） 基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （ ４ １ ０ ７ ４ ０ １ ８ ， 作者简介 ： 徐志军 （ 男， 硕士研究生 ． １ ９ ８ ７－ ）
［ １］
的二次范数最小为准则导出了著名的最小范数二次
［ ５］ ； 无偏估计 （ Ｍ Ｉ ＮＱＵ Ｅ） Ｐ ｅ ｉ ｌ ｉ ａ ｎ Ｘ ｕ 等讨论了方 差 ｇ ６］ ； 分量的可估性 问 题 ［ 李博峰等提出基于等效残差 ７］ ， 的方差分量估 计 公 式 ［ 以及根据闭合差估计方差 ８］ ， 分量的算法 ［ 该算法使方差分量估计的计算速度
杨元喜等首先将 Ｖ Ｃ Ｅ 用于最小二乘配置 （ Ｃ ｏ ｌ －
·１ ０·
测 绘 工 程 第 ２ １卷
１ ２］ ） ， 并成功用于 高 程 基 准 统 一 ［ 和拟地图数 ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ［ １ ３］ 朱建军等将 Ｖ 字化误 差 纠 正 ； Ｃ Ｅ 用于半参数模 １ ４］ ； 型［ 李伟 伟 等 直 接 利 用 信 号 估 值 与 残 差 的 二 次
型， 建立信号与观测误差的 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方 差 分 量 公 ［ １ ５］ 式， 避免了 引 入 虚 拟 观 测 方 程 。 在 实 际 应 用 中 ， 如果未知参数之间 存 在 约 束 条 件 ， 如数字化地图中 利用相关条件有望提高信号 的房角点通常是直 角 ， 与观测误差方差 分 量 的 估 计 精 度 。 因 此 ， 本文探讨 附有约束最小二乘配置的方差分量估计问题 。
１ １ Ｔ － － （ ） ｋ ｗ －Ｃ Ｎａ ＡＰ ｌ） ． １ ０ ２ ＝Ｎ ｃ （ １ Ｔ － 其中 ， Ｎ Ｎａ Ｃ 。 ｃ ＝Ｃ ） ） 将式 （ 代入式 （ 得 １ ０ ９ １ １ Ｔ － １ － － ＾ ） ｘ＝ （ Ｎａ － Ｎｄ ） ＡＴＰ ｌ＋ Ｎａ ＣＮ １ １ ｃ ｗ． （ １ Ｔ － １ １ － － 其中 ， Ｎｄ ＝ Ｎａ Ｃ Ｎ Ｎａ 。 ｃＣ
： Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｓ ｂ ｒ ｉ ｅ ｆ ｌ ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ ｅ ｄ ． Ｂ ｅ ｓ ｉ ｄ ｅ ｓ － ｐ ｐ ｙ ｙ ｏ ｆ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｉ ｎ ａ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ － ｐ ｇ ｐ ， ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ． Ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｅ ｘ ｉ ｔ ｏ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｅ ｏ ｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｇ ｐ ｐ ｇ ｐ ｙ ｐ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｒ ｅ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｖ Ｃ Ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｅ ． ｑ ， ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍ ｅ ｄ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｏ ｎ ｅ ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｅ ｘ ａ ｍ ｌ ｅ ｉ ｓ ｔ ｏ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｆ ｏ ｕ ｔ ｃ ｏ ｍ ｅ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｐ ， ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｈ ａ ｄ ｄ ｉ ｎ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ． Ｆ ｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍ ｏ ｒ ｅ ｉ ｔ ｉ ｓ ｄ ｅ ｍ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｖ ｉ ｅ ｗ ｏ ｉ ｎ ｔ ｉ ｓ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ． ｒ ｏ ｏ ｓ ｅ ｄ ｇ ｇ ｐ ｐ ｐ ： ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｃ ｏ ｌ ｌ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｙ 线性观测方程参数的最优估计及其精度评定以 １］ ， 协 方差阵） 为 基 础［ 方差－协方 正确的随机模型 （ ， 差分量估计 （ Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ Ｃ ｏ ｍ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ Ｅ ｓ ｔ ｉ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ 就是确定 观 测 值 的 协 方 差 阵 ， Ｖ Ｃ Ｅ） Ｖ Ｃ Ｅ 在测量数 据处理中有着 重 要 的 地 位 。 从 １ ９ ２ ４年 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ提 出了利用预平差的 改 正 数 ， 按验后估计各类观测量 的验前方差的 方 法 开 始
（ ） Ｃ ｘ －ｗ ＝ ０． ２ 其中 ： ｌ 为ｎ×１ 观 测 向 量 ， ｘ 为ｔ×１ 参 数 向 量 ， ｓ为 ｕ×１信号向量 ， ｅ 为ｕ×１ 观 测 误 差 向 量 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ分 、 别为ｎ× ｔ ｎ× ｕ、 ｓ × ｔ 维的矩阵 ， ｗ 为ｓ×１ 维的列向 量。 假设ｓ、 和协方 差 矩 阵 分 ｅ 期望 （ Ｅ 为期望算子 ） 别为 ）＝ ０， Ｅ（ ｓ Ｅ（ ｅ）＝ ０，
［ ２］
采用 Ｍ Ｇ Ｐ Ｓ基 线 解 算 中， Ｉ ＮＱＵ Ｅ 方法同时估计协
１ ０］ ； 改善 了 基 线 结 果 ［ 杨元喜将方差分量估 方差阵 ，
； 於宗俦从概括平差模型出发 （ 附 ； Ｒ ａ ｏ 在方差 － 协方差估值满
， 有限制条 件 的 条 件 平 差 ） 导出了 Ｈ ｅ ｌ ｍ ｅ ｒ ｔ方 差 分 量估计的通用公式
＾ ｋ ｌ－Ａ ｘ） ． １ ＝ Ｐ（ －１ Ｔ －１ ） 。 其中 ， Ｐ＝ （ Ｐ ＋Ｂ Ｐ Ｂ ｓ ） ） 将式 （ 代入式 （ 得 ８ ７ １ － ＾ ｘ ＝ Ｎａ （ ＡＴＰ ｌ＋ＣＴ ｋ ． ２）
－１ ｅ
（ ） ８
（ ） ９
其中 ， Ｎａ ＝Ａ Ｐ Ａ。
Ｔ
） ） 将式 （ 代入式 （ 得 ９ ２
第２ １ 卷第 ４ 期 测 绘 工 程 Ｖ ｏ ｌ ． ２ １ №． ４ ， 年 月 ２ ０ １ ２ ８ Ｅ ｕ ．２ ０ １ ２ ｇ ＮＧ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ ＮＧ Ｏ Ｆ Ｓ ＵＲ Ｖ Ｅ Ｙ Ｉ ＮＧ ＡＮ Ｄ ＭＡ Ｐ Ｐ Ｉ ＮＧ Ａ
１ １２ ， ｕ ｎ ＸＵ Ｚ ｈ ｉ Ｓ ＨＥ Ｎ Ｙ ｕ ｎ ｚ ｈ ｏ ｎ － － ｊ ｇ ，
（ ， ， ； １． Ｄ ｅ ｔ ． ｏ ｆ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ Ｇ ｅ ｏ ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｔ ｏ ｎ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ２． Ｋ ｅ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｏ ｆ Ａ ｄ － － ｐ ｙ ｇ ｇ ｇ ｇ ｊ ｙ ｇ ｙ ｙ ， ） ｖ ａ ｎ ｃ ｅ ｄ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｏ ｆ Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｂ ｕ ｒ ｅ ａ ｕ ｏ ｆ Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｄ Ｍ ａ ｉ ｎ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｙ ｇ ｇ ｇ ｙ ｇ ｐ ｐ ｇ ｇ
１ 附有约束条件的拟合推估模型
附有约束条件的拟合推估模型观测方程表示为 （ ） １
） ） 将式 （ 代入式 （ 得 １ １ ８