合情推理与演绎推理

5．[课本改编]在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空 间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__1_∶__8___．
解析 因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面 体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.
2．特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理．
3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式：
①大前提——已知的 一般原理 ；
“三段论”的 ②小前提——所研究的特殊情况；
结构
③结论——根据一般原理，对 特殊问题
做出的判断.
①大前提—— M是P
.
“三段论”的
表示
②小前提—— S是M
.
③结论——S 是 P.
解析 A项中两条直线平行，同旁内角互补(大前提)，∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前 提)，∠A＋∠B＝180°(结论)，是从一般到特殊的推理，是演绎推理．而B、D是归纳推理，C是类比推 理．
2．[课本改编]已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的 表达式是( )
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推 出该类事物的 全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出 一般结论
由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的 已知特征 ， 推出另一类对象也具有这些特
的推理
征的推理
特点 由 部分 到 整体 、由个别到 一般 的推理 由 特殊到 特殊 的推理
4．[2016·滁州模拟]若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么
这个演绎推理出错在( )
A．大前提
B．小前提
C．推理过程
D．没有出错
解析 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有 这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确 的．
板块二 典例探究·考向突破
考向 归纳推理
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归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的
亮点，常以选择题、填空题的形式出现，主要考查数列、不等式、等式、函数、几何等问题.
命题角度1 数字的归纳
例1 [2015·湖北高考]设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，
[必会结论] 1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的 结论一定正确． 2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × ) 2．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ ) 3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) 4．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × ) 5．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结 论是错误的．( √ )
可猜想f2014(x)＝1＋2x014x.
命题角度3 图形的归纳 例3 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用 了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，……，则第2016个图形用的火柴根数为( )
二、小题快练 1．[2016·宜昌模拟]下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人 C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋an1－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
A．an＝3n－1 C．an＝n2
B．an＝4n－3 D．an＝3n－1
解析 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
3．观察图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的， 其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
第5讲 合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在 数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简 单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 合情推理
(1)找出两类事物之间的相似性
一般 步骤
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； 或一致性；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一 (2)用一类事物的性质去推测另
般性命题(猜想)
一类事物的性质，得出一个明
确的命题(猜想)
考点 2 演绎推理 1．定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
命题角度2 式子的归纳
例2 [2014·陕西高考]已知f(x)＝ 式为_f_2_01_4_(x_)_＝__1_＋__2x_0_1_4_x__．
x 1＋x
，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达
[Βιβλιοθήκη Baidu析]
x
x
由f1(x)＝1＋x x⇒f2(x)＝f1＋x x＝1＋1＋1＋xx x＝1＋x2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝1＋1＋1＋2xx2x＝1＋x3x，故
[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 由[t]＝1，得1≤t＜2；由[t2]＝2，得2≤t2＜3；[t4]＝4，得4≤t4＜5，所以2≤t2＜ 5 .由[t3]＝ 3，得3≤t3＜4，所以6≤t5＜4 5.由[t5]＝5，得5≤t5＜6，与6≤t5＜4 5矛盾，故正整数n的最大值是4.