工程制图5(平面的投影及平面上的点)

(1)平面的迹线: 即平面与投影面的交线。
正面迹线—PV
V
水平迹线—PH
侧面迹线—PW
PX
X
Z
PZ
PV
W
PW O
H PH
PY
Y
(2) 迹线的投影性质
① 迹线是投影面上的直线。 因此, 迹线的一个投影与其本身 重合, 另外两个投影与相应的投影轴重合（一般不画出）。
Z
V
PZ
PV
W
Z PZ
PV
PW
PX
X
水平面--// H面的平面
p’
Z p”
X
O
YW
p
YH
A. 水平投影p反映平面P的实形； B. 正面投影p’和侧面投影p”都积聚为直线，
分别∥OX轴和OYW轴。
水平面的迹线表示法
V
Pv
Pv
P
X
x
(b)
H
水平面P可只用(a)它的正面迹线Pv表示。
正平面--// V面的平面
Z
q’ Q
q’
X
O
q’’
q”
YW
q
q YH
A. 正面投影q’反映平面P的实形；
B. 水平投影q和侧面投影q”都积聚为直线， 分别∥OX轴和OZ轴。
正平面的迹线表示法
a’
X
QH
a
正平面Q可只用它的水平迹线QH表示。
侧平面--// W面的平面
V r‘ R
r’
W
X r’‘
Z
r”
O
YW
r
r YH
A. 侧面投影r’’反映平面R的实形；
平面的投影可以由其中一组几何元素的投影 来表示。
不
在 同
a’
一
直
线x
上
的
三a
点
a’
平
行
两x
直
线
a
b’ c’
c b
b’ c’
c b
一
直 线
a’
和
直
线 外
x
的
一a
个
点
a’
任 意
平x
面 图
形a
b’ c’ c
b
a’
相 交
两x
直
线a
b’ c’ c
b
b’
用各组几何元
c’ 素所表示的同一
平面的投影图。
c
b
2.迹线表示法
例1 含直线AB (ab, a’b’) 作铅垂面 (用平面图形表示)。
分析：铅垂面的水平投影
a’
为斜交于X轴的直线，有积
聚性。
X
本题铅垂面用三角形表示。
a
b’
c’ b
c
2. 投影面平行面
平行于某一投影面的平面。
• // H面的平面--水平面 • // V面的平面--正平面 •// W面的平面– 侧平面
PW X
O
PX
பைடு நூலகம்
O
PYW
YW
H PH
(a)
PY
Y
PH
(b)
PYH
YH
②迹线是平面上的直线。因此，平面可用它的两 条迹线表示。
Z
PZ
PV
PV
PW
PX
X
PH
平面对一个投影面的投影特性
△ABC倾斜于P面
投影为小于原平面的 类似形
△abc＜△ABC
△ABC⊥P面 投影积聚为一直线
abc
△ABC∥P面
投影反映实形 △abc≌△ABC
正垂面的迹线表示法
QV有积聚性，它与X轴的夹角即α；QH⊥X轴。
Z
V
PZ
QV
QV
QW W
x
α
PX
X
O
QH H
QH
PY
Y
正垂面P可只用它的正面迹线Qv表示
侧垂面--仅⊥W面的平面 Z
r’ r’’
R
r
r’
X
r” β
α
O
YW
p rγ
YH
A.侧面投影r’’ 积聚为一倾斜线段，并反映α、 β角。 B.水平投影r 和正面投影r’ 都是小于原平面的类似形。
椭圆 投长影轴椭: 正圆垂的直长径、A短B的轴投是影圆a内b=一AB对 短轴:相正互平垂直直径D的E直的径投的影d投e=影D。Ecosα
正垂圆的投影作图
e’
a’(b’) γ O'
d’ α
X b
d
Oe
a
D
e”
O”
b”
a”
d” D
长轴: 正垂直径AB的投影 ab=a”b”=AB
短轴: 正平直径DE的投影 de=DEcosα d”e”=DEcos
γ
（2）铅垂圆的投影
铅垂直径CD
水平直径AB
长轴：铅垂直(a径) CD铅的垂投面影上圆c’的d投’=影D
(b)
短轴：水平直径AB的投影a’b’=Dcosβ
铅垂圆的投影作图
c’
c”
D D
a’
O' b’
O”
a”
b”
X a
d’
β
c’(d’) Oγ
b
d”
长轴：铅垂直径CD的投影 c’d’=c”d”=D
短轴：水平直径AB的投影 a’b’=Dcosβa”b”=Dcosγ
B. 水平面投影r和正面投影r’ 都积聚为直线， 分别∥OYH轴和OZ轴。
侧平面的迹线表示法
V
Rv
Rv
R
X
x
R
(b)
H
H
侧平面R可只用(a它) 的正面迹线Rv或RH表示 。
投影面平行面的投影特性：
（1）在所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线， 平行于相应的投影轴。
侧垂面的迹线表示法
z
V X
RV R
RZ
O RW W x
H
RH
RY Y
RV
RZ
RW
o
RY
yw
W
RYH
RH
YH
侧垂面R可只用它的侧面迹线RW表示 。
投影面垂直面的投影特性：
（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线， 它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的 倾角。 （2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面 的类似形。
垂直面上圆的投影特性：
（1）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线 段，长度等于圆的直径。 （2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长 轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短 轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。
三、平面上的点和直线
1.平面上取直线 2.平面上取点 3.平面上的特殊直线 4. 换面法
3
1
2
a
b
yH
可按已知点的两个投影求第三投影的方法作出△abc。
例10 已知一平面ABCD。(1)判别点K是否在平面上；
(2)已知平面上点E的正面投影，求作其水平投影。
b’
f’ a’
k’
g’
c’ e’
X
d’
f bk a
c
dg
e
∵ K点不在直线FC上，∴ K点不在平面上。
二、各种位置平面的投影特性
1. 投影面垂直面 垂直于一个投影面而对另外两个投影 面倾斜的平面。
铅垂面--仅⊥H面的平面 正垂面--仅⊥V面的平面 侧垂面--仅⊥W面的平面
铅垂面--仅⊥H面的平面
Z
p’
p”
X
O
YW
β
pγ
YH
A. 水平投影p积聚为一倾斜线段，并反映β、γ角。 B. 正面投影p’和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。
作法1: 在平面内的两 已知边上各取一点连成 直线。
作法2: 在平面内的一 已知边上取一点，再过 点作平面内另一直线的 平行线。
b’
1’
a’ X
a
2’ c’
c 2
1
b
直线ⅠⅡ即为所求。
2.平面上取点
点在平面上的几何条件: 点在该平面的一已知直线上。
B
P
∵直线L在P面上， A
M
∴M点在平面P上。
L
C
面的投影积聚为倾斜于投影轴的
直线，长度等于圆的直径。另外
O'
两个投影为椭圆。
X
O
圆平面为正垂面
（3）当圆倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似 形-- 椭圆。
圆的投影的作图方法
1）当圆∥投影面时
反映圆的实形
O'
X
O
长度=圆的直径 圆平面为正平面
2）当圆⊥投影面时（1）正垂圆的投影
正垂直径AB
正平直径DE 长轴和短轴
例3 含点A作△ABC// V面。
分 析: 正平面的水平投影
积聚为直线并∥OX轴，正
a’
面投影反映实形。
X
作法：作abc // OX轴。
作△a’b’c’≌△ABC。
a
b’ c’
bc
3.一般位置平面
与三个投影面都处于倾斜位置的平面。
s’ Z s”
a’
X
a
b’
a”
b”
O
Yw
s
b
YH
三个投影都是小于原平面的类似形。
在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作 辅助直线，然后在所作直线上取点。
例6 已知点D在△ABC所决定的平面上，求作
其正面投影d’。
A
a’
1’
d’
c’
Ⅰ
b’
D
C
c
B
空间分析
b
d1
a 作法1
D点一定在该平面的一条直线上。
例7 已知点D在△ABC所决定的平面内，求 作其正面投影d’。
a’
A
d’
2’
一 般 位 置 平 面
直角三角形法求平面的实形
b’
c’
a’
X
A0
a A0
b
c
实形对应的夹角是否是平 面和投影面的夹角呢？
A0
4. 圆的投影特性
（1）当圆∥投影面时，圆在该 投影面上的投影反映实形--圆, 另外两投影积聚为直线,长度等 于圆的直径。
圆平面为水平面 O’
X
O
（2）当圆⊥投影面时，它在该
1.平面上取直线
直线在平面上的几何条件：
(1) 通过平面上的两已知点。
B
P
M
A
N
C
直线MN在平面上
(2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一 直线。
E
M
D
F
N
P
直线MN在平面P上
结论 -- 要在平面上取直线，应先在平面上的已知 直线上取点，再过点作直线。
例5 在△ABC给定的平面上作一任意直线。
铅垂面--仅⊥H面的平面
铅垂面的迹线表示法
PH有积聚性，它与X轴 的夹角即β；Pv⊥X轴。
V
p
pv
pv
x
β
PH
(b)
X
X
β
PH
H
PH
(c)
(a)
铅垂面P可只用它的水平迹线PH表示。
正垂面--仅⊥V面的平面 Z
q’ Q
q’ γ
p”q”
α
X
O
YW
q’’
p qγ
q YH
A. 正面投影p’积聚为一倾斜线段，并反映α、γ角。 B. 水平投影p和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。
c’
b’
D
c
Ⅱ
C
b
B
2d
空间分析
a 作法2
例8 试完成平面四边形ABCD的水平投影。
c’
分析: 平面ABCD的 b’
k’
对角线一定相交。
d’
a’
X
a
d
b
k
C点一定在该平面的一条直线上。
c
例9 完成侧垂面△ABC的水平投影。
c’
3’
1’
2’
a’ X
c
z c”
3”
b’ O
1”(2”)
a”(b”) yw
3-3 平面的投影
一、平面的表示法 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线 四、直线与平面的相对位置 五、平面与平面的相对位置
一、平面的表示法 1.几何元素表示法 2.迹线表示法
1.几何元素表示法
一个平面的空间位置可以由下列任一 组几何元素来确定:
(1) 不在同一直线上的三个点； (2) 一直线和直线外的一个点； (3) 相交两直线； (4) 平行两直线； (5) 任意平面图形。