江苏新高考2020-2021学年高二上学期数学期中考试复习题 Word版含解析

江苏新高考2020-2021学年高二上学期数学期中考试复习题
一、单选题
1、已知等比数列{a n }(a 1≠a 2)的公比为q ，且a 7，a 1，a 4成等差数列，则q 等于( ) A ．1或－3
2
B ．－3
2
C.3
2 D ．1
2、若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )＞0，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <c
D ．a <d <c <b
3、已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 9
2，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的
大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝Q
D ．无法确定
4、等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 2
11，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是
( )
A ．5
B ．6
C ．5或6
D ．6或7
5、若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )
A ．60
B ．－82
C ．182
D ．－96 6、对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如表：
数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 9的值为( )
A ．41
B ．42
C ．44
D ．48
7、已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 8、若a ＞0，b ＞0，则不等式－b <1
x
<a 的解集为( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x <－1b 或x ＞1a B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－1a <x <1b
C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x <－1a 或x ＞1b D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－1b <x <0或0<x <1a
9、若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋t ，则t ＋a 3的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．17 D ．18 10、对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1b
B ．ab ≤a 2＋b 2
2
C ．ab ≤2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+b a
D.2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22 11、2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D.1
2
12、如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一
13、已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，又b n ＝1
a n a n ＋1，则数列{
b n }的前n
项的和S n 为( ) A ．4（1－1
n ＋1 ）
B ．4（12－1
n ＋1）
C ．1－1
n ＋1
D.12－1n ＋1
14、已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c
ab 取最小值时，a ＋b －c 的最大值为( )
A ．2 B.34 C.38 D.1
4
15、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2}
16、已知等差数列前n 项和为S n ，且S 13<0，S 12＞0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
17、若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
18、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )
A ．16(1－4－
n ) B ．16(1－2－
n ) C.323
(1－4－
n ) D.323
(1－2－n ) 19、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
20、已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1
c 的最
小值是( )
A ．9
B ．8
C ．4
D ．2
二、填空题
21、在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n ＋1，则通项公式a n ＝________.
22、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．
23、已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1
n ＋a 1
＋
1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1
n ＋a n
(n ∈N *，且n ≥2)，则函数f (n )的最小值为________． 24、若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1
z 的最大值为________．
25、在1和17之间插入n 个数，使这n ＋2个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当1a ＋25
b
取最小值时，n ＝________.
26、当x ，y ，z 为正数时，4xz ＋yz
x 2＋y 2＋z 2的最大值为________．
三、解答题
27、解关于x 的不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0.
28、求数列1,3a ,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1
的前n 项和．
29、某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额72万元)． (1)该厂从第几年开始盈利？
(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
30、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n ，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1.
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
31、如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．
(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：平方米)关于x的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米？
32、解关于x的不等式：x2－(m＋m2)x＋m3<0.
33、设函数f(x)＝x2＋2ax＋3.
(1)解关于x的不等式f(x)<1；
(2)若函数f(x)在区间[－1，2]上有零点，求实数a的取值范围．
34、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范
围．
35、已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4(其中n ∈N *)． (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．
36、一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量p 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足p ＝3－
2
x ＋1
(其中0≤x ≤a ，a 为正数)．已知生产该产品还需投入成本(10＋2p )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20
p 元/件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
37、关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．
38、若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围.
1\答案 B
解析 在等比数列{a n }中，由a 1≠a 2，得q ≠1， 因为a 7，a 1，a 4成等差数列， 所以a 7＋a 4＝2a 1， 即a 4(q 3＋1)＝2a 4
q 3，
所以q 6＋q 3－2＝0， 解得q 3＝1(舍)或q 3＝－2. 所以q ＝－3
2. 2\答案 A
解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ， 因为(d －a )(d －b )＞0， 所以d <a <b 或a <b <d ， 又因为d <c ，所以d <a <b ， 综上可得d <a <c <b . 3\答案 A
解析 由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 9
2>a 3·a 9，因为a 3·a 9
＝a 5·a 7，所以P >Q . 4\答案 C
解析 由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6. 5\答案 B
解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42
＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.
6\答案 B
解析 因为数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上， x n ＋1＝f (x n )，所以x 1＝2，x 2＝4，x 3＝8，x 4＝2，x 5＝4，x 6＝8，x 7＝2，x 8＝4，…， 所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 9＝3×(2＋4＋8)＝42.
7\答案 D
解析 根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列， 故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D. 8\答案 A
解析 原不等式⎩⎨⎧
1
x
＞－b ，1
x <a ，即⎩⎨⎧
bx ＋1
x
＞0，ax －1
x ＞0，
可得⎩⎨⎧
x <－1
b
或x ＞0，
x <0或x ＞1
a
，
故不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x <－1b 或x ＞1a .
9\答案 C
解析 a 1＝S 1＝3＋t ， 由a 1＋a 2＝9＋t 得a 2＝6， 由a 1＋a 2＋a 3＝27＋t 得a 3＝18，
由a 1a 3＝a 22，得t ＝－1，故t ＋a 3
＝17. 10\答案 A
解析 当a ＞0，b ＞0时，因为21a ＋1b ≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，
故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确． 11\答案 C
解析 设x 为2＋1与2－1的等比中项， 则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 12\答案 A
解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )2
4，
所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立． 13\答案 A
解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n
2，
∴b n ＝1a n a n ＋1＝4
n (n ＋1)＝4⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1.
∴S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1
n ＋1.
14\答案 C
解析正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，可得
c ＝a 2－ab ＋4b 2，
c ab ＝a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b
＋4b
a
－1≥2a b ·4b a －1＝3.当且仅当a ＝2b 时取得等号，则a ＝2b 时，c
ab
取得最小值，且c ＝6b 2，∴a ＋b －c ＝2b ＋b －6b 2＝－6b 2＋3b ＝－6⎝⎛⎭⎫b －142＋38，当b ＝14时，a ＋b －c 有最大值3
8. 15\答案 D
解析 由题意知，－b a ＝1，c
a ＝－2，
∴b ＝－a ，c ＝－2a ，
又∵a <0，∴原不等式化为x 2－x －2≤0， ∴－1≤x ≤2. 16\答案 C
解析 由S 13＝13a 7，S 12＝6(a 6＋a 7)及S 13<0，S 12＞0， 知a 7<0，a 6＋a 7＞0，即a 6＞－a 7＞0，故|a 6|＞|a 7|.
又等差数列为递减数列，故|a 1|＞|a 2|＞…＞|a 6|＞|a 7|，|a 7|<|a 8|<…， 故|a 7|最小．
17\答案 C
解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2
b
≥2
2
ab
，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧
1a ＝2b
，1a ＋2b ＝
ab ，
即a ＝42，b ＝24
2时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.
18\答案 C
解析 依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝1
4，
两式相除可求得q ＝1
2
，a 1＝4，
又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列， 根据等比数列前n 项和公式可得 原式＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－4－
n )． 19\答案 B
解析 方法一 由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，
即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33，
∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪
⎧
a n ≥0，a n ＋1
<0，得n ＝20，故选B.
方法二 由方法一得到d ＝－2，则由a 3＝a 1＋2×(－2)＝35得a 1＝39，从而S n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，则S n 最大时，n ＝20，故选B. 20\答案 A
解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1
c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c ≥2
4c b ·b
c
＝4， 当且仅当4c b ＝b
c 时等号成立．
由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1
c 取得最小值9.
二、填空题
21\答案 ⎩
⎪⎨⎪
⎧
0，n ＝1，4n －5，n ≥2
解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n ＋1－[2(n －1)2－3(n －1)＋1]＝4n －5. n ＝1时，a 1＝2－3＋1＝0不适合上式．
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
0，n ＝1，4n －5，n ≥2.
22\答案 9
解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，
c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a
c
＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9. 23\答案
7
12
解析 由题意得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，
∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a n ＝n ，∴f (n )＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n
， ∴f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1
n ＋1＋n ＋1－⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n
＝
12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1
2n ＋2
>0， ∴{f (n )}(n ∈N *，n ≥2)为递增数列， ∴f (n )min ＝f (2)＝12＋a 1＋12＋a 2＝13＋14＝7
12.
24\答案 1
2
解析 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，
∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4y
x －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y
2，
令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t －1)2＋12≤1
2(当且仅当t ＝1，即y ＝1时等号成立)．
25\答案 7
解析 由已知得a ＋b ＝18，则1a ＋25b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋25b ×a ＋b 18＝118⎝⎛⎭⎫25＋1＋25a b ＋b a ≥1
18(26＋10)＝2，当且仅当b ＝5a 时取等号，此时a ＝3，b ＝15，可得n ＝7. 26\答案
17
2
解析 ∵x 2＋16
17z 2≥2
1617xz ，当且仅当x ＝41717z 时，取等号，y 2＋117
z 2≥21
17
yz ，当且仅当y ＝
17
17
z 时，取等号． ∴x 2＋y 2＋z 2＝⎝
⎛⎭⎫x 2＋1617z 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋1
17z 2≥216
17
xz ＋2117yz ＝21717
(4xz ＋yz )． ∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z
2≤172，当且仅当x ＝41717z ，y ＝17
17z ，即x ∶y ∶z ＝4∶1∶17时，取等号．
∴4xz ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为17
2.
三、解答题
27\解 不等式：mx 2－(m －2)x －2＞0化为(mx ＋2)(x －1)＞0.
当m ＝0时，不等式化为2(x －1)＞0， 解得x ＞1，
所以不等式的解集为(1，＋∞)； 当m ≠0时，不等式对应方程为
⎝⎛⎭
⎫x ＋2m (x －1)＝0， 解得实数根为－2
m ，1.
当m ＞0时，不等式化为
⎝⎛⎭⎫x ＋2m (x －1)＞0，且－2m
<1， 所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2
m ∪(1，＋∞)； 当－2<m <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2
m (x －1)<0， 且1<－2
m
，
所以不等式的解集为⎝
⎛⎭⎫1，－2m ； 当m ＝－2时，－2
m ＝1，不等式化为(x －1)2<0，
其解集为∅；
当m <－2时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x ＋2
m (x －1)<0， 且－2
m
<1，
所以不等式的解集为⎝⎛⎭
⎫－2
m ，1. 综上，m ＞0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－2
m ∪(1，＋∞)； m ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； －2<m <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，－2m ； m ＝－2时，不等式的解集为∅； m <－2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－2
m ，1. 28\解 当a ＝0时，S n ＝1.
当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝(1＋2n －1)n 2＝n 2
.
当a ≠0且a ≠1时，
aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －
1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有
(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －
1－(2n －1)a n ＝1＋2a (1－a n －
1)1－a －(2n －1)a n ，
此时S n ＝2a (1－a n －
1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n
1－a .
当a ＝0时，也满足此式．
综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n 2，a ＝1，2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.
29\解 (1)由题意知f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤
12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.
由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2<n <18， 由n ∈N *知，从第三年开始盈利． (2)年平均纯利润
f (n )
n
＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元． 30\解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 易知当n ≥2时，
b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n －1b n －1＝b n －1，①
b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1，②
②－①得，1
n b n ＝b n ＋1－b n ，
整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n
(n ≥2)，
所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 3
b 2·b 2＝n (n ≥2)，又b 1＝1也满足上式，所以b n ＝n .
(2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，
所以T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，
所以T n －2T n ＝－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋
1＝(1－n )2n ＋
1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋
1＋2.
31\解 (1)S ＝(x ＋20)×⎝⎛⎭⎫4 000x ＋8＝8x ＋80 000
x ＋4 160，x >0. (2)∵x >0，∴S ≥2
8x ×80 000
x
＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当8x ＝80 000
x
，即x ＝100时取等号．
故要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米． 32\解 方程x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3＝0的解为x 1＝m 和x 2＝m 2. 二次函数y ＝x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3的图象开口向上，所以 ①当m ＝0或1时，原不等式的解集为∅； ②当0<m <1时，原不等式的解集为{x |m 2<x <m }； ③当m <0或m >1时，原不等式的解集为{x |m <x <m 2}． 33\解 (1)由f (x )<1，得x 2＋2ax ＋3<1， 即x 2＋2ax ＋2<0，其中Δ＝4a 2－8.
当Δ＝4a 2－8≤0，即－2≤a ≤2时，不等式无解； 当Δ＝4a 2－8>0，即a <－2或a >2时， 解方程
x 2＋2ax ＋2＝0，可得
x 1＝－2a －4(a 2－2)2＝－a －a 2－2，x 2＝－2a ＋4(a 2－2)2
＝
－a ＋a 2－2，则不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． 综上所述，当－2≤a ≤2时，不等式无解；
当a <－2或a >2时，不等式的解集为(－a －a 2－2，－a ＋a 2－2)． (2)要使函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[－1，2]上有零点，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0，
－1≤－a ≤2，
f (2)≥0，f (－1)≥0
或f (2)·f (－1)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4a 2－12≥0，
－1≤－a ≤2，f (－1)＝1－2a ＋3≥0，f (2)＝2＋22a ＋3≥0
或(4－2a )(5＋22a )≤0，
解得a ≤－52
4
或a ≥2.
所以实数a 的取值范围为a ≤－52
4
或a ≥2.
34\解 方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a
x >0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成
立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立，故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．
方法二 f (x )＝x ＋a
x ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，当a <0时，函数
f (x )单调递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立．故实数a 的取值范围为{a |a >－3}．
方法三 由x ∈[1，＋∞)及题意可知a >(－x 2－2x )max ＝－3.故实数a 的取值范围为{a |a >－3}． 35\解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12， 得b 1(q ＋q 2)＝12.
而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0， 解得q ＝－3或q ＝2.
又因为q ＞0，所以q ＝2.所以b n ＝2n (n ∈N *)． 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2(n ∈N *)．
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)． (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n . 由a 2n ＝6n －2，得
T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，
2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋
1. 上述两式相减，得
－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋
1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1
＝－(3n －4)2n ＋
2－16， 所以T n ＝(3n －4)2n ＋
2＋16.
所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋
2＋16(n ∈N *)．
36\解 (1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p ·p －(10＋2p )－x ， 将p ＝3－2
1＋x 代入得
y ＝16－4
x ＋1
－x,0≤x ≤a .
(2)y ＝16－4
x ＋1－x ＝17－⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋x ＋1≤17－2
4x ＋1
·(x ＋1)＝13， 当且仅当4
x ＋1
＝x ＋1，即x ＝1时，等号成立．
当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当a <1时，y ＝17－⎝⎛⎭
⎫4
x ＋1＋x ＋1在[0，a ]上单调递增，
所以当x ＝a 时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．
综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．
37\解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， 若f (x )＝0在区间[0,2]上有一个实数解， ∵f (0)＝1>0，
∴f (2)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝0，－m －12≥2或⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝0，0<－m －1
2≤2. 又f (2)＝22＋(m －1)×2＋1＝2m ＋3， ∴m <－3
2
或m ＝－1.
若f (x )＝0在区间[0,2]上有两个实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，0<－m －12
<2，
f (2)≥0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
(m －1)2－4>0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m >3或m <－1，
－3<m <1，m ≥－32
，∴－3
2
≤m <－1.
综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}． 38\解 原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0(a >0)，
由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，
解不等式有2－a 4－a <x <2＋a 4－a ，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a
(2＋a )(2－a )，
亦即14<12＋a <12<12－a 且12＋a <x <1
2－a
，
要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.。