指数和对数不等式的解法

指数和对数不等式的解法
教学目的：
通过对指数及对数不等式的学习，复习回顾指数和对数函数的性质，从而使 学生对函数与方程这一数学思想有进一步的了解和认识。
教学重点和难点：
重点：利用指数和对数函数的性质，得出指数和对数不等式的同解不等式。 难点：定义域的要求。
教学过程：
一、 复习、回顾指数和对数函数的性质以及函数的图象。 二、 典型例题及习题：
( a 2, x log a 2 ； 1 a 2, x log a 2 ； a 2, x )
2
思考与提高：
不等式 x 2 log a x 0 在 x∈(0,1/2)内恒成立,则 x 的取值范围是 A.[1/16,1] B.(0,1/16) C.(1/16,1) D.[0,1/16]
5．当 0 a 1 ，求不等式： log a (log a x) 0 6． a 1,0 b 1 ，求证： a 7． log a
1
(-1<x<0)
2x
1 x 0, (a 0, a 1) 1 x
8． a 1 时解关于 x 的不等式 log a [ a
2
2 x (a x 2 x 1 ) 1] 0
9 log a x 2 2
∴a x
4
1 log a x 4 2 9 2 当 a>1 时原不等式化为： (log a x) log a x 2 2
∴ (log a x 4)( 2 log a x 1) 0 ∴ log a x 4或 log a x ∴原不等式的解集为
a
1 2
∴ x a 或0 x
4
a
{x | a 4 x a ,0 a 1} 或 {x | x a 4 或0 x a , a 1}
三、 总结与提高：
a f ( x ) a g ( x ) 当0 a 1时f ( x ) g( x );当a 1时f ( x ) g( x ).
∴当 a>1 时不等式的解集为
1 x 2； 2 当 0<a<1 时不等式的解集为 2 x 4
log a x
例题 5、 解不等式 x
x4 x a2
2
解：两边取以 a 为底的对数： 当 0<a<1 时原不等式化为： (log a x) ∴ (log a x 4)(2 log a x 1) 0
a f ( x ) b(b 0) 当0 a 1时f ( x ) log a b;当a 1时f ( x ) log a b
log a f ( x ) log a g( x ) 当0 a 1时0 f ( x ) g( x );当a 1时f ( x ) g( x ) 0
log a (4 3 x x 2 ) log a (2 x 1) log a 2, (a 0, a 1)
解：原不等式可化为 log a ( 4 3 x x ) log a 2( 2 x 1)
2
1 x 2 x 1 0 2 1 当 a>1 时有 4 3 x x 2 0 1 x 4 x 2 2 4 3x x 2 2(2 x 1) 3 x 2
例题 1、解不等式 2
x 2 2 x 3
1 ( ) 3( x 1) 2
x 2 2 x 3
解：原不等式可化为： 2
2
2 3( x 1)
2
∵底数 2>1
∴ x 2 x 3 3( x 1)
x 1
整理得： x x 6 0
解之，不等式的解集为{x|-3<x<2} 例题 2、解不等式 3
解：原不等式等价于
x 1 0 x 1 0 或 0 x 3 1 x 3 1 x 1 ( x 3) 2 x 1 ( x 3) 2
解之得：4<x≤5 ∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}
例题 4、 解关于 x 的不等式：
2
(当 a>1 时 x ( ,1) ( 4,) 2． log 1 ( x 3 x 4) log 1 (2 x 10)
3 3
3． ( ) 4． 2
1 2
x 2 3
4x
2 2
(-1<x<3)
3 x2 x2 2
1 ( x 1) 2
(a<x<1)
log b ( 2 x 1)
18 3 x 29
2x
解：原不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化为： 3 3
x x
29 3 x 18 0
解之： 3 9 或 3
x
即： (3 9)(3 3 2) 0 ∴x>2 或 x log 3
x
2 3
2 3 2 } 3
∴不等式的解集为{x|x>2 或 x log 3 例题 3、 解不等式 log x 3 ( x 1) 2
（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考。 ）
1 2 x 1 0 x 2 当 0<a<1 时有 4 3 x x 2 0 1 x 4 2 x4 4 3 x x 2 2(2 x 1) x 3或x 2
log a f ( x ) b 当0 a 1时, f ( x ) log a b;当a 1时f ( x ) log a b
四、 作业：
解下列不等式 1． a
x 2 2 x
a x 4 , (a 0且a 1)
当 0<a<1 时 x ( 1,4) ) (-2<x<1 或 4<x<7)