范德蒙行列式的推广及其应用论文——陈仁俊

分类号：__________ 学校代码：11059

学号：0907021021

Hefei University

本科毕业论文BACH ELOR DISSERTATI ON

论文题目：范德蒙行列式的推广及其应用

学位类别：理学学士

学科专业：数学与应用数学

作者姓名：陈仁俊

导师姓名：王敏秋

完成时间： 2013-04-12

范德蒙行列式的推广及其应用

摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在多项式理论中、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；多项式理论；线性变换理论；微积分

V ANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS

ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vander monde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vander monde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vander monde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vander monde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.

Key words: linear algebra，Vander monde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.

目录

摘要及关键词 (2)

一绪论 (5)

1.1范德蒙行列式定义 (5)

1.2范德蒙行列式的证明 (5)

1.2.1用定理证明范德蒙德行列式 (5)

1.2.2 新的证明方法：数学归纳法 (7)

1.3 范德蒙行列式的性质 (8)

二范德蒙行列式推广的应用 (9)

三范德蒙行列式的应用 (13)

1.范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (13)

2.范德蒙行列式在微积分中的应用 (18)

3.范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (23)

四、结束语…………………………………………………………（）

五、参考文献 (23)

第一章：绪论

1.1引言

我们称形如行列式

1

22

2212

1

1112

111n n n

n n n n

x x x D x x x x x x ---= (1)

称为n 阶的范德蒙（Vander monde ）行列式.

我们来证明，对任意的()2,n n n ≥=x ij ij D X 阶范德蒙行列式等于

123,x ,x ,,x n x

这n 个数的所有可能的差-x i j x （1≤j ＜i ≤n ）的乘积.

1.2 范德蒙德行列式的证明

1.2.1 用定理证明范德蒙德行列式

已知在n 级行列式

11

111

1

=j n i ij in n nj

nn

x x x x x x D x x x

中，第i 行（或第j 列）的元素ij x 除外都是零，那么这个行列式等于ij x 与它的代数余子式ij A 的乘

积=x ij ij D X ，在

1

22

2212

1

1112

111n n n

n n n n

x x x D x x x x x x ---=

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1x 倍得

2131122133112

222213*********()()(

)

0()()

()

n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x a a a a a a ------=------

根据上述定理

2131122131121311()()()

()

()

()

n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ------=

---

提出每一列的公因子后得

223

213112

22

3

111()()()n n

n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---=

最后一个因子是1n -阶范德蒙行列式，用1n D -表示，则有

21311()()

()n n D x x x x x x =---1n D -

同样可得

132422()()()n n D x x x x x x -=---2n D -

此处2n D -是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得