贝塞尔函数基本知识和应用举例

都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ckxck k0
(C00)
Ck是展开系数， c是待定常数
y (x ) x c ( C 0 C 1 x C 2 x 2 C k x k )C k x c k k 0
y(x) Ck(ck)xck1 k0
y(x) C k(ck1)(ck)xck2 k0
xd
r2 x2 ydxdy
y2
rdrd
1 2 2 4 0 0 e (x 2 y 2 )dx 4 d 2 0r 0 e y r 2 rd 4 r 2 0 d 1 2 e r 2 0 d
其它结论 n122(22nnn)!!
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程： d dx(1x2)d dy x(21 m x 22)y0 m=0
勒让德方程： ddx(1x2)ddyx2y0
柱坐标下：
zrΒιβλιοθήκη xx cos y
sin
y
z z
2uk2u0
1 ( u)12 2u 2 2 zu 2k2u0
u (,,z ) R () ( )Z (z )
德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
代入贝塞尔方程
x2d d2y 2xxd dy x （ x2v2） y0
x 2C k ( c k 1 ) ( c k ) x c k 2 xC k ( c k ) x c k 1 ( x 2 v 2 )C k x c k 0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
定义：
(x) ettx1dt (x0)
0
基本性质： (x1)x(x)
证明：
(x 1 ） e ttx 1 1 d ttx d (e t) tx e t xe ttx 1 d x t (x ）
0
0
0
0
(1)
etdtet
1
(2)1(1)1
取：k (x ) 1 、 q (x ) 0 、 (x ) 1
d2y dx2
y
0
亥姆霍兹方程
取：k(x)x、 q(x)m 2、 (x)x
x
ddxxddyxm x2 yxy0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
ddxxddyxmx2 yxy0
贝塞尔方程
取： k(x)1x2 、 q0 、 1ddx(1x2)ddyxy0
(3)2 (2)2!
0
0
(4)3(3)3! (n1)n!
求证： 1 2
(x) ettx1dt
令t=u2
0
1 e tt 12d t e u2(u2) 12d(u2)2 e u2du
2 0
0
0
1 2 22 0eu2du 2 0ev2d v4 0 0e(x2y2)d
n1 21(222 nn 11 n)!!
三、贝塞尔方程的求解
x2d d 2y 2x xd d （ y xx22 ） y0 (x0 )
阶贝塞尔方程
变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数
y''1xy'x2x22 y0
不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的 正则奇点
对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)
设 u(r,,)R(r)()()，代入原方程
''()m2()0
s1 in d d sin d d (2sm i2 2n) 0
dr2dR (k2r22)R0
dr dr
k=0 d r2 dR2R0
dr dr
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
s1 in d d sin d d (2sm i2 2n) 0
贝塞尔函数基本知识和应用举例
本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外， 在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。
对u(r)，
得到： 2uk2u （ 0 亥姆霍兹方程）
球坐标下：
z
r
x
x r sin cos
y
r
sin
sin
y z r cos
2uk2u0
r 1 2 r r 2 u r r 2 s 1i n si u n r 2 s 1 2 i n 2 u 2 k 2 u 0
1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。
一、几个微分方程的引入
三维波动方程：
2 t2 a2 x 22 y22 z22a22
三维热传导方程： t a2 x22 y22 z22a22
分离变量： (r,t)u(r)T(t)
''()m2()0
Z''(z)2Z(z)0
2d d 2R 2d d R(k22)2m 2R0
x (k2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2d d2y 2xxd dy x x2m2y0
另一途径：
d d x k(x)d dx y q (x)y (x)y 0, (ax b )
Sturm-Liouville（ 施图 姆-刘维尔）型方程