一般项级数.

的重排。将 vn uk ( n) ,
u
n 1

，则可将重排后的级数写作：
k (n)
vn
n 1 n

定理12.13
设级数
u 绝对收敛,且其和为S, 则任意重排后所得的级数 v
n 1 n 1 n
也绝对收敛,并且有相同的和(相当于加法的交换律).
2. 级数的乘积
设
u
A. 当 | x | 1 时, 该级数绝对收敛. B. 当 | x | 1 时, 该级数发散. C. 当 x 1 时, 该级数发散. D. 当 x 1 时, 该级数条件收敛.
1.级数重排
f : n k ( n) 自然数列{1，2，…，n，…}到它自身的映射：
称作自然数据的重排。数列 {uk ( n) } 称作原数列 {un }

un 0 满足条件：（1） un1 un (n 1, 2, ) （2）lim n
则该级数收敛， 且其和 S u1.
例6 判定下列级数的敛散性 (1)
n1 n1

n1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
1 1 为交错级数. un 解： (1) n n n1 1 1 un 显然 un1 n 1 n 1 lim un lim 0 n n n
n1
(1)
n1

n1
显然
1 un (2n 1)(2n 1)! 1 1 un un1 (2n 1)(2n 1)! (2n 1)(2n 3)!
1 (2n 1)(2n 1)!
n1
1 (2n 1)(2n 1)!
为交错级数.
1 lim un lim 0 故该级数收敛. n n (2n 1)(2n 1)!

(3)
xn n 1 n

解: (1)
n1


(1)n1 1 n n1 n
发散.
(1) n1 n n 1
收敛.
1 2 n
(1) n1 条件收敛. n n 1

(2)
故
cos n n2

1 而 2 n1 n

收敛.
cos n 2 n n 1
所以,该级数收敛.
定理3
n1 ( 1) un un 0, n 1, 2, 若交错级数 n1

un 0 满足条件：（1） un1 un (n 1, 2, ) （2）lim n
则该级数收敛， 且其和 S u1.
例6 判定下列级数的敛散性: (1) 解:

n 1

n
A, vn B,
n 1

u 与 v
n 1 n n 1


n
乘积可能的项为
u1v1 u1v2 u1v3 u2 v1 u2 v2 u2 v3 u3v1 u3v2 u3v3 un v1 un v2 un v3

u1vn u 2 vn u3 vn u n vn
定理12.14
§3 一般项级数
一 对交错级数
n1 ( 1) un un 0, n 1, 2, n1
定理12.11 n1 ( 1) un un 0, n 1, 2, 若交错级数 n1 un1 un (n 1, 2, ) 满足条件： （ 1） un 0 (2) lim n 则该级数收敛， 且其和 S u1.
二 绝对收敛与条件收敛
若 | un |收敛, 则称 un绝对收敛. 若 un 收敛,
n 1 n 1
而 | u
n 1

n 1
n
| 发散, 则称 un 条件收敛.
n 1

关系及有关判别法
定理4 若 | un |收敛, 则
n 1
u
n 1

n
收敛. (绝对收敛则收敛)
| un1 | , 定理5 设 un 为任意项级数, 若 lim n | u | n 1 n
则
(1)
当 1 时, 该级数绝对收敛.
(2)
当 1 时, 该级数发散.
例7 判定下列级数的敛散性:
(1)
(1) n n 1
n 1
cos n (2) 2 n n 1
绝对收敛.
例7 判定下列级数的敛散性:
(1)
(1) n n 1
n 1
cos n (2) 2 n n 1

(3)
xn n 1 n

解:
xn (3) un n
| un1 | | x |n1 n lim | x | lim n n | u | n n 1 | x | n
S2m1 u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ), S2m (u1 u2 ) (u3 u) (u2m1 u2m ).
注意到各括号均为非负的,故 {S2 m1}为单调减,{S2 m }为单调增, 且 0S S u 0(m ),
设 引理(分部求和公式，也称为阿贝耳变换) i , vi (i 1, 2, , n) 为两组实数，若令 k v1 v2 vk (k 1, 2, 则有如下分部求和公式成立
定理12.11(莱布尼茨判别法 ) 若交错级数 (1)n1 un un 0, n 1, 2, n1 un1 un (n 1, 2, ) (2) lim un 0 满足条件： （1） n 则该级数收敛， 且其和 S u1.
证: 设级数的部分和数列为 {Sn }, 则
若级数

u 与 v 都绝对收敛,
n 1 n n 1 n
且其和分别为A,B
则对表中所有的乘积
n
unv j 按任意顺序所得的级数
w 也绝对收敛,且其和等于AB.
n 1
三 用于级数
u v
n 1

阿贝耳判别法与狄利克雷判别法
n n
u1vn u2v2
un vn
的敛散性的判别.
2 m1 2m 2m
即{[S2m , S2m1 ]} 为区间套, 由区间套定理, 存在唯一S,使得
m
lim S 2 m 1 lim S 2 m S ,
m
故{Sn } 收敛, 即该级数收敛.
定理3
n1 ( 1) un un 0, n 1, 2, 若交错级数 n1