2018届江西省高三六校联考数学(理)试题

2018年江西省六校高三联考理科数学试题命题学校：奉新一中 审题学校：南丰一中 考试时间：120分钟 总分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U 是实数集R ,函数)4ln(2-=x y 的定义域为M ,)3,1(=N ,则)(M C N U =（ ）A. {|21}x x -≤<B. {|22}x x -≤≤C. {|2}x x <D. {|12}x x <≤ 2.复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足221-=⋅z z ，则=||2z （ ）A 2．2 C 10．10 3．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数 是一个伟大创举,这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质 一样．如图的程序框图源于“辗转相除法”,当输入8102=a ,2018=b 时, 输出的=a （ ） A ．30B ．6C ．2D ．84．下列命题中：（1）“1>x ”是“12>x ”的充分不必要条件（2）定义在],[b a 上的偶函数b x a x x f +++=)5()(2最小值为5;（3）命题“＞0x ∀，都有21≥+xx ”的否定是“00≤∃x ,使得2100<+x x ” 第3题图正视图（4）已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在]3,3[-内随机地取一个数k ，则事件“直线y kx k =+与 圆()2211x y -+=有公共点”发生的概率为（ ）A.13 B.14 C.12６.一个四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A.11 B.12 C.13 D.16７.已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与12a 的等比中项为4， 则当5928a a +取最小值时,3a 等于（ ）A ．32B ．16C ．8D ．48.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，若目标函数2+=x y z 的取值范围],[n m 恰好是x y ω2sin 2=)0(>ω的一个单调递增区间，则ω的一个值为（ ）A ．21 B ．2π C. 4π D ．8π 9．若锐角ϕ满足22cos sin =-ϕϕ，则函数())(sin 2ϕ+=x x f 的单调增区间为（ ） A ．)(122,1252Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ．)(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C. )(1272,122Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D ．)(127,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 10.已知抛物线C: x y 322=，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P 、Q 两点，且P 、Q两点在准线上的投影分别为M 、N 两点，则S △MFN =（ ）A. 8B. 32C. 34D. 38第6题图FADBEC11. 已知函数⎩⎨⎧>≤=0|ln |0)(x x x e x f x ，则函数[]1)(1)()(2--=x f e x f f x F 的零点个数为（ ）个A. 8B. 7C. 6D. 512.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1):(2)f f的取值范围为（ ） A. (,2)e e B. 211(,)2e e C. (3,e e ) D.211(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知⎰-+-=22)2sin 3(cos ππdx x x x m ，则m xx 3)21(-的展开式中，常数项为14.双曲线C ：1422=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交双曲线左支于A 、B 两点，则22||||AF BF +的最小值为15. 如图，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且FA BF 21=，若DE 是圆A 中绕圆心A 转动的一条直径，则FE DA FA ⋅-)(的 值是16. 已知直三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ,1BB ,1CC 分别交于三点M ,N ,Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

第15题图17．（本小题满分12分）已知函数21)cos()sin(3cos )(2-+-+=x x x x f ππ，.（1）求函数)(x f 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3,1)(=-=a A f ，A a C b sin sin =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，延迟退休已成为人们越来越关心的话题.为了了解公众对延迟退休的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取50人进行调查，将调查结果整理后制成下表： 年龄 [20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)人数 46753年龄 [45,50)[50,55)[55,60)[60,65)[65,70)人数67444经调查，年龄在，的被调查者中赞成延迟退休的人数分别为4和3，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.（1）求年龄在[55,60)的被调查者中选取的2人都赞成延迟退休的概率；（2）若选中的4人中，两组中不赞成延迟退休的人数之差的绝对值为X ，求随机变量X的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，⊥=∠EB ABD ,90 平面13,1,3,2,//,====BC EF EB AB AB EF ABCD ，且M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ；（2）求二面角B FD A --的余弦值的大小.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率与双曲线112422=-y x 的离心率互为倒数，且过点3(1)2P ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 作两条直线12l l ，与圆2223(1)(0)2x y r r -+=<<相切且分别交椭圆于M 、N 两点．① 求证：直线MN 的斜率为定值；② 求△MON 面积的最大值（其中O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数21()2f x x =，()ln g x a x =. （1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若[1,]e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx 1（其中t 为参数），在以原点O 为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设M 是曲线C 上的一动点，OM 的中点为P ，求点P 到直线l 的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．江西省六校联考理科数学 参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

DACCA DBDBB CD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

13.1615 ； 14. 9 ； 15. 95- ； 16. 32 ． 三、解答题：本大题共70分。

17. 解(1) f(x)， ………………3分故其最小正周期, ………………4分 令，解得，即函数图象的对称轴方程为，. ………………6分 （2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得. ………………8分由正弦定理及，得. ………………10分故. ………………12分18. （1）212423==C C p . ………………４分（2）X ＝０，１，２， ………………５分9042)0(24261312142324=+==C C C C C C C X p ………………6分 9045)1(242613222312141324=++==C C C C C C C C C X p ………………7分 903)2(24262322===C C C C X p ………………8分 X 0 1 2P90429045 90390519069045)(=+=X E ………………12分（列表2分）19.解：（1）解法一：取AD 的中点N ，连接NF MN ,.在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以AB MN AB MN 21,//=， 又因为AB EF AB EF 21,//=，所以EF MN //且EF MN =. ………………２分 所以四边形MNFE 为平行四边形，所以FN EM //， ………………４分 又因为⊂FN 平面⊄EM ADF ,平面ADF ，故//EM 平面ADF .………………５分 解法二：因为⊥EB 平面BD AB ABD ⊥,，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -.由已知可得)3,1,0(),0,2,3(),3,0,23(-=-=-=→→→AF AD EM ，设平面ADF 的一个法向量是),,(z y x n =→.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AF n AD n 得⎩⎨⎧=+-=-03023z y y x 令3=y ，则)3,3,2(=→n .又因为0=⋅→→n EM ，所以→→⊥n EM ，又⊄EM 平面ADF ，故//EM 平面ADF . （2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是)3,3,2(=→n .………………６分 易得平面BFD 的一个法向量是)1,3,0(-=→m ………………９分 所以43||||,cos -=⋅⋅>=<→→→→→→n m nm n m ，又二面角B FD A --为锐角，………………１１分 故二面角B FD A --的余弦值大小为43. ………………１２分 20.（12分）（1）可得12e =，设椭圆的半焦距为c ，所以2a c =，………………１分 因为C 过点3(1)2P ，，所以221914a b +=，又222c b a +=，解得23a b ==，，……３分所以椭圆方程为22143x y +=． ………………４分（2）① 显然两直线12l l ，的斜率存在，设为12k k ，，()()1122,,M x y N x y ，，由于直线12l l ，与圆2223(1)(0)2x y r r -+=<<相切，则有12k k =-，………………５分直线1l 的方程为()1312y k x -=-， 联立方程组112232143y k x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 消去y ，得()()()22211114312832120x k k k x k ++-+--=， ………………６分因为P M ，为直线与椭圆的交点，所以()11121812143k k x k -+=+，同理，当2l 与椭圆相交时，()11221812143k k x k ++=+，所以112212443k x x k --=+，而()11211212112243k y y k x x k k --=+-=+， 所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==-． ………………８分 ② 设直线MN 的方程为12y x m =+，联立方程组2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得2230x mx m ++-=，所以MN = 原点O到直线的距离d =， ………………１０分OMN ∆面积为12S ==≤=当且仅当22m =时取得等号．经检验，存在r （302r <<），使得过点3(1)2P ，的两条直线与圆222(1)x y r -+=相切，且与椭圆有两个交点M ，N ．所以OMN ∆………………１２分 21.解：（1）由()21()ln 2y f x g x x a x =-=-，得()ay x x x'=-. ………………１分 由题意，322=-a，所以2a =-. ………………２分 （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+.因为对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-即()()112222h x x h x x ->-恒成立.问题等价于函数()()2F x h x x =-， 即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数， ………………４分 所以()20aF x x x'=+-≥在()0,+∞上恒成立.即22a x x ≥-在()0,+∞上恒成立. 所以()2max21a x x≥-=，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. ………………７分（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<.构造函数()1ln a m x x a x x+=-+， 由题意知，在[1,]e 上存在一点0x ，使得()00m x <.()()()2222111(1)1x a x a a x ax a m x x x x x--++--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+.①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[1,]e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-. ②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值. 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-. 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[1,]e 上单调递减，只需()10am e e a e+=-+<，解得211e a e +>-.综上所述，实数a 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞⎪-⎝⎭. ………………１２分 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）（1）由⎩⎨⎧=+=ty t x 1得l 的普通方程10x y --=． ………………２分 又由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=， 即()2224x y +-=． ……………４分（2）设(),P x y ，()00,M x y ，则2200(2)4x y +-=， 由于P 是OM 的中点，则0022x x y y ==，，所以22(2)(22)4x y +-=，得点P 的轨迹方程为()2211x y +-=，轨迹为以()0,1为圆心，1为半径的圆．……………６分圆心()0,1到直线l的距离d ==． ………………８分所以点P 到直线l1-． ………………10分23．解：（1）令()1,112{23,121,2x f x x x x x x -≤=---=-<<≥，则()11f x -≤≤，……………３分由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤ ………………５分（2）由（1）知，33log log 2m n +≥≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，………………７分根据基本不等式18222≥≥+mn n m 当且仅当3m n ==时取等号，所以22m n +的最小值18 ………………１０分。