中值定理构造辅助函数.docx

微分中值定理证明中辅助函数的构造

1原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴.

例1：证明柯西中值定理.

分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得

'先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得

尸（兀）=/（兀）_

/丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数.

g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ¥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \

兔+q 无+匕2兀2

+…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根.

证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +・・・ + -^—兀"° +C 」 〜 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2

+ —x 3 +・・・ + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续

2） F （x ）在（0, 1）内可导

3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \

故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +・・・+qg" = 0・

/(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>

这说明方程6/() + a A x+tz2x2 + • • •+ci fl x n = 0在(0, 1)内至少有实根x = ^ .

2积分法

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数.

例3：设/(兀)在［1, 2］上连续，在(1, 2)内可导，/(1) = |, /(2) = 2.证明存在壮(1,2)使广⑷=琴2・

分析：结论变形为彳厂©-2/© = 0,不易凑成F,(x)|^ = 0・我们将§换为兀，结论变形为空2-2 = 0,积分得:ln/(x)-21nx = ln^ = lnc,即绰=。，从而/(X) X 对对

可设辅助函数为F⑴=绰，有F(1) = F(2) =丄.本题获证.

JT 2

例4：设函数/(x), g(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可微，f(a) = f(b) = 0.证

明存在介(恥)，使得：广© +0・

•厂©

证：将广© + /(0g'@) = O变形为广© = g)g@)=>

为「则*4 ‘两边关于兀积分’得

/(砂e双p (計)兀=)C e吠p(g = Ke x ~p您丿，其中K = expC{,由

/( x)= K e欢p (g可得K = /(x)exp(g(x))・由上面积分的推导可知，/(x)exp(g(x)) 为一常数K,故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的§的存在是不成问题的.因而令F(x) = /(x)exp(g(x)),易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.

3几何直观法

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数.

例5：证明拉格朗H中值定理.

分析：通过弦AB 两个端点的育•线方程

为 y = /⑷+理二型(…),则函数/(劝

与 b-a

直线 AB 的方程之差即函数

个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.

例6：若/(兀)在［a,b ］上连续且f(a) < a. f(b) >b •试证在(a,b)内至少有一点§ ,

分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连 续

函数y = /(x)的图形曲线必跨越)工兀这一条肓 线，而

两者的交点的横坐标「恰满足f(U 进 而还可由图知

道，对［a,b ］上的同一自变量值兀，这 两条曲线纵

坐标之差f(x)-x 构成一个新的函数 g(x),它满足

g(a)v0,gG)>0,因而符合介值定理的

条件.当歹为g ⑴的一个零点时，g© = 0恰等价于因此即知证明的关键

是构造辅助函数g(x) = f(x)-x ・

4常数k 值法

此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：

1) 将结论变形，使常数部分分离出来并令为R ・

2) 恒等变形使等式一端为。及/(a)构成的代数式，另一端为b 及/⑺)构成的代 数式. 3) 观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为x, 相应

的函数值改为/(%).

4) 端点换变量无的表达式即为辅助函数F(Q ・

例7：设/(尢)在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，(0 < a < /?),试证存在一点§ w(a,b), 使等式/0) - f(a) = 1详歹广©成立.

在两

F （務 * x ）

b

分析：将结论变形为［绻广©,令k 乂罗r,则有

1 rp- ia\ \ vb- len

f(b)-k\nb = f(a)-k\na ,令/? = x , 口J得辅助函数F(x) = /(x)-klnx .

例8：设广⑰在［d,b］上存在，在a

/(Q)| | g Y .

(ci一b) (a- c) (b- a) (4 c) (& a)(£ b) 2

分析：令一+ ------- b ------------- f(k , 于是有

(a一b)c) 一(b et) (b e)

(b- c) /( + a) -(a Z?)+ /( -e) (c =a) f(^ i,上式为关于a, b , c三点

的轮换对称式，令b = x ( or : c = x , or : a = x ),则得辅助函数F(x) = (x-c)f(a)十(d —x)f(c)十(c一tz)/(x) 一k(a-x\a一c)(x一c)・

5分析法

分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.

例9：设函数F(兀)在［0, 1］上连续，在(0, 1)内可导，证明在(0, 1)内存在一点C ,使得F(l) = F(()) + (』Y 一严)F(C).

分析：所要证的结论可变形为：F(l)-F(0> t c~e-c c r(,即

e

F⑴_F(0)= 中,因此可构造函数= 则对F(x)与G(劝在［0, 1］上应用柯e-1 e

西中值定理即可得到证明.

例10：设函数/(兀)在［0,1］上连续，在(0, 1)内可导，且/(0)=0,对任意XG(0,l)

有/(兀)工0・证明存在一点兵(0,1)使学◎=孕二冬5为自然数)成立.

f© /(I-歹)

分析：欲证其成立，只需证犷⑷/(I-歹)-广(1-歹)/@) = 0由于对任意xe(0,l)有/•仏)工

0 ,故只需证：— fe/)—歹”扌即