2011年中国西部数学奥林匹克试题

2011年中国西部数学奥林匹克试题

江西 玉山

第一天 10月29日 上午 8:00~12:00

每题15分

1、已知0,1x y <<，求

(1)

()(1)(1)

xy x y x y x y --+--的最大值．

2、设集合{1,2,,2011}M ⊆，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元

素,a b 使得|a b 或|b a ．求||M 的最大值（其中||M 表示集合M 的元素个数）．

3、给定整数2n ≥， （I ）求证：可以将集合{1,2,

,}n 的所有子集适当地排列为122,,

,n A A A ，使得i A 与

1i A +的元素个数恰相差1，其中1,2,3,

,2n i =，且121n A A +=;

(II)对于满足（I ）中条件的子集122,,

,n A A A ，求21

(1)()n

i i i S A =-∑的所有可能值，其中

()i

i x A S A x ∈=∑，()0S ∅=.

4、如图，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 的交点为E ，⊙I

内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，使得EP EQ =．直线EF 与直线l 交于点M ，求证：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线．

第二天 10月30日 上午 8:00~12:00

每题15分

5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,,

,n p p p ，使得

111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数？请证明你的结论．

6、设,,0a b c >，求证：2222

222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c

----++≥++++++++．

7、如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点，AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L .

求证：,,,M L H K 四点共圆．

8、求所有的整数对(,)a b ，使得对任意正整数n ，都有1

|()n

n n a b ++．