人教版高中数学推理与证明反证法教案
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
人教版高中数学必修1反证法教案
二简易逻辑（§1.7.3 四种命题）教学时间:第三课时课题: §1.7.3 反证法教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教具准备：投影片共3张教学过程：（I）复习回顾师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法.（II）讲授新课§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？生：(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。
”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。
请一同学证明。
生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。
所以∠B为锐角。
师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？生：上述证明推理不完整。
因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。
师：分析正确。
由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2） 例3：用反证法证明： 如果a>b>0,那么 。
（由学生回答，教师书写）证明：假设 不大于 ，即 或 。
∵ a>0,b>0∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)(推理利用了不等式的传递性)又由但这些都与已知条件a>b>0矛盾.∴ 成立。
人教版高中数学反证法教案
人教版高中数学反证法教案
教学内容：反证法
教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和原理；
2. 能够熟练运用反证法证明数学命题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：反证法的基本原理和运用。
教学难点：运用反证法证明数学命题。
教学准备：教案、黑板、粉笔、教学课件等。
教学过程：
Step 1：导入新知识（5分钟）
教师简单介绍反证法的基本概念和原理，引起学生对反证法的兴趣。
Step 2：学习反证法（15分钟）
教师通过具体案例，详细讲解反证法的基本原理和运用方法，引导学生理解反证法的逻辑推理过程。
Step 3：练习应用（20分钟）
教师设计一些练习题，要求学生用反证法证明数学命题，让学生在实践中掌握反证法的运用技巧。
Step 4：总结回顾（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结回顾，并再次强调反证法的重要性和实际应用价值。
Step 5：作业布置（5分钟）
布置相关作业，加深学生对反证法的理解和掌握程度。
教学反思：
本节课通过简单易懂的方式，引导学生了解反证法的基本原理和运用方法，培养了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
在后续的教学中，应多加练习，提高学生对反证法的应用能力。
人教版高中数学教案-反证法
2. 2.2反證法課前預習學案一、預習目標：使學生瞭解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟；學會用反證法證明一些典型問題.二、預習內容：提出問題：問題1：桌面上有3枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉2枚硬幣，那麼無論怎麼翻轉，都不能使硬幣全部反面朝上。
你能解釋這種現象嗎？學生嘗試用直接證明的方法解釋。
採用反證法證明：假設經過若干次翻轉可以使硬幣全部反面向上，由於每枚硬幣從正面朝上變為反面朝上都需要翻轉奇數次，所以 3 枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉 3 個奇數之和次，即要翻轉奇數次．但由於每次用雙手同時翻轉 2 枚硬幣， 3 枚硬幣被翻轉的次數只能是2 的倍數，即偶數次．這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確，即無論怎樣翻轉都不能使3 枚硬幣全部反面朝上．問題2：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。
則C必定是在撒謊，為什麼？分析:假設C沒有撒謊, 則C真.那麼A假且B假;由A假, 知B真. 這與B假矛盾.那麼假設C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.推進新課在解決某些數學問題時，我們會不自覺地使用反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。
三、提出疑惑疑惑點疑惑內容課內探究學案一、 學習目標（1）使學生瞭解反證法的基本原理； （2）掌握運用反證法的一般步驟； （3）學會用反證法證明一些典型問題.二、學習過程：例1、已知直線,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求證||a α。
解析：讓學生理解反證法的嚴密性和合理性； 證明：因為||a b ,所以經過直線a , b 確定一個平面β。
因為a α⊄，而a β⊂， 所以 α與β是兩個不同的平面． 因為b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下麵用反證法證明直線a 與平面α沒有公共點．假設直線a 與平面α有公共點P ，則P b αβ∈=，即點P 是直線 a 與b 的公共點，這與||a b 矛盾．所以 ||a α.點評：用反證法的基本步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論； 第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步 斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等利 變式訓練1.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.例2、求證：2不是有理數例3、設二次函數q px x x f ++=2)(， 求證：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21. 解析：直接證明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21.比較困難，我們應採用反證法證明：假設)3(,)2(,)1(f f f 都小於21，則 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案新人教版
§2.2.2 反证法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.（四）、知识应用，深化理解例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。
例2 已知三个正数 ,,a b c .证明：假设=即4a c b ++=，而2b ac =，即b =20∴==.从而a b c ==，与,,a b c .点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）/m n =（m ,n 为互质正整数），从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =不可能，是无理数.课堂练习：1、课本P91页 练习1、2（五）、归纳小结、布置作业反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.课本P91页 A 组4。
高中数学1-2 第二章 推理与证明 2.2.2反证法【教案】
反证法一、教学目标：1。
知识与技能:(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法;（2）了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题。
2.过程与方法：通过学生动手及简单实例，让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用。
3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式，体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点。
三。
教学难点：正确理解、运用反证法。
四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动。
教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法:综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因.(2)让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？(初中所学)间接证明：不是从正面证明命题的真实性,而是证明命题的反面为假,或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法.二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色,至少有5个球是同色的。
你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】(1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤:a、反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论:由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
反证法教学设计 -【完整版】
选修2-2 反证法教学设计一、教材内容分析:本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。
证明一般包括直接证明与间接证明。
“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。
所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。
二、学生学习情况分析：本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。
所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。
三、设计思想本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
过程与方法：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
反证法教案
〔二〕教学重点和难点
重点：1、理解反证法的概念；
2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；
3、用反证法证明简单的命题。
难点：1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用
2、理解反证法中的矛盾推导。
〔三〕教学方法
讲授法，比照归纳法，练习法。
〔四〕教学准备
多媒体课件、黑板
学生思考对话中蕴含的反证法思想，并结合自己的生活实际，消化这种思维。
1、方便学生理解反证法思想。
2、实例不仅体会了数学思想在生活中的广泛应用，也让学生明白数学来源于生活实际。
〔六〕、板书设计
反证法
主板副板
概念：…………例1、…………例2、…………思考………
步骤：〔1〕……………………………………
〔2〕……
乙：你说得太对了．要是下雨，肯定是不可能只下在马路上的．你刚刚这种说理的方法用的就是反证法．
甲：啊，这就是反证法．
乙：是的．你想，你刚刚在跟我争论的观点是不是要证明“昨晚没有下雨？”
甲：不错呀！
乙：你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的？
甲：“要是下雨，……”
乙：对．你一开始就用“要是下雨”，也就是说“假设下雨”，然后就会怎么样、怎么样，导出一个奇怪的现象或矛盾．你看，你没有直接说明“因为什么，所以没有下雨”，相反地却是先“假设下雨，然后会怎么样，最后导出一个矛盾”，这就是反证法．
所以 。
显然 与已知条件矛盾。
因此假设不成立。原命题成立。
〔肯定型命题，与条件矛盾〕
教师点明：1、否认的结论作为条件使用，以此进行推理论证。
2、强调反证法的答题步骤及书写标准。
例2、假设函数 在区间 上是增函数，那么方程 在区间 上至多只有一个实根。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 第3课时 反证法学案 新人教A版选修22
2.2 第三课时反证法一、课前准备1．课时目标（1）. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；（2）. 了解反证法的思考过程、特点;(3). 会用反证法证明问题.2．基础预探(1)．反证法.假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法． (2)．反证法常见矛盾类型.在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与、、、或矛盾，与矛盾．（3）应用反证法的原则：，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．（4）方法实质：反证法是利用的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同，通过证明一个命题的命题的正确，从而肯定原命题真实.二、学习引领1.反证法的基本思想反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面的程序来表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”“否定”———假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立．“推理”———从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理．“矛盾”———通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等．“肯定”———由于推理过程正确．故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．2. 反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
3．反证法解决的常见题型（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题；（4）“惟一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题．三、典例导析题型一否定型命题例1不是有理数。
思路导析:要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法教案 新人教
2.2.2 反证法 一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。
3．会用反证法证明简单的数学问题 二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。
三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。
四、新课学习1．反证法的逻辑依据【师生互动】【例7】证明：若R y x ∈,，且022=+y x ，则0==y x 。
分析：对于该命题的证明，从正面着手：∵R y x ∈, ∴0,022≥≥y x又∵022=+y x ， ∴0=x 且0=y ，即0==y x直接证明也可以。
但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。
如果采用了证明方法： 假设y x ,不全为0，不妨设0≠x ，则∵02>x ∴022>+y x这与已知的022=+y x 矛盾，故0==y x 。
就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。
【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p 则q ”的形式表述出来再看看合原来要证明的命题是什么关系吗？【生】后面要证明的命题写成“若p 则q ”的形式是：“若y x ,不全为0，则022>+y x ”原命题写成“若p 则q ”的形式是：“若022=+y x ，则0==y x ”。
它们两者之间互为逆否命题，真假一致。
【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。
2．反证法的概念通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法.关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.已知：如图，AB ∥EF ，CD ∥EF ，求证：AB ∥CD .证明：假设AB 不平行于CD ，即P CD AB =⋂，则∵AB ∥EF ，CD ∥EF ，于是经过点P 就将有两条直线AB 和CD 都与EF 平行，根据平行公理，这是不可能的.∴AB 与CD 不能相交，只能平行.3．反证法的主要步骤 仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否定——肯定，四个步骤，即⑴否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；⑵推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾； ⑶否定假设——由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对； ⑷肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况： ①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；① 推出与“暂时假设”相矛盾的结论；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.【例8】用反证法证明：如果0>>b a ，那么b a >. 证明：假设a 不大于b ，则或者b a <，或者b a =.∵0,0>>b a ，∴当b a <⇒a a <b a 与a b <b b ⇒ab a <与b ab <⇒b a <；a =b ⇒b a =.这些都同已知条件0>>b a 矛盾， ∴b a >.五、课堂小结：本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题A 的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明A 的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A 的反面是谬误的，那么论题A 就一定是正确的，至此，论题得证.六、作业布置：课本第8页习题1.1A 组第4题，B 组第1题。
高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修22
高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修222.2.2 反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“a<b”的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案]D2．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”，假设的内容应是________．[答案]3a≤3b3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否定性命题【例1】已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题x[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．用反证法证明“至多”“至少”问题1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？[提示]量词含义至少有一个有n个，其中n≥1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个n词吗？[提示]量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n－1个【例222＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a＋3)＜0，(a－1)2－4a2＜0，(2a)2＋4×2a＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，－2＜a＜0.∴－32＜a＜－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？[解]若三个方程都没有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4(3－4a)＜0，(a－1)2－4a2＜0，4a2＋8a＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a＜12，a＞13或a＜－1，－2＜a＜0，即－32＜a＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a⎪⎪⎪a≥－1或a≤－32.2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．[解]假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a＋3)≥0，(a－1)2－4a2≥0，(2a)2＋4×2a≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a2＋4a－3≥0，3a2＋2a－1≤0，a2＋2a≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－32或a≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a∈.所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a的取值范围为R.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b 与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明]假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
人教版高中数学必修1反证法教案
人教版高中数学必修1反证法教案二简易逻辑（§1.7.3 四种命题）教学时间:第三课时课题: §1.7.3 反证法教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤.教学难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法：讲练结合教学.教具准备：投影片共3张教学过程：（I）复习回顾师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法.（II）讲授新课§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？生：(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。
”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。
请一同学证明。
生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。
所以∠B为锐角。
师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？生：上述证明推理不完整。
因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。
师：分析正确。
由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确.下面看例题：（投影片2）（由学生回答，教师书写）证明：假设不大于，即或。
∵ a>0,b>0∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)(推理利用了不等式的传递性)又由但这些都与已知条件a>b>0矛盾.∴ 成立。
（投影片3）师分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP ，由平面几何知识可推出：生：OP ⊥AB 且OP ⊥CD 。
最新人教版高中数学教案-课题：反证法-公开课教案
难点：反证过程中的反设，以及如何推出矛盾。
教具：多媒体辅助教学
教学过程
设计意图
一、创设情境，引入新课
小故事：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事：王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地不动。有人问王戎为什么？
最新人教版高中数学教案-课题：反证法
授课教师：时间：班级：高二（4）班
教学目标：
1.知识与技能：理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤.
2.过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系.
3.情感、态度与价值观：培养学生独立思考、积极探索的学习态度，认识数学的科学价值，提高数学的学习兴趣.
证明步骤：
1反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
2归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
3结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
问3：反证法的思维方法及关键步骤是什么？
思维方法：正难则反
关键在与：从假设出发，在正确的推理下得出矛盾（与已知矛盾，与假设矛盾，与定义、定理、公理矛盾，与事实矛盾等）。
3、学习了哪些数学思想方法？从知源自角度、思维方法角度归纳总结这节课的收获
五、作业：
P91 A 1、4
六、板书：（略）
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。
问1：王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的思考问题的方法？
从小故事入手，不仅能激发学生的兴趣，也能更好的说明反证法的推理思想
二、探索新知，得出概念
问2：你能概括出反证法的定义及步骤吗？
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计教学目标•能够理解反证法的基本思想和特点•能够在解决问题时灵活运用反证法进行推理•能够掌握常见的反证法证明方法教学重点•反证法的基本思想和特点•反证法在数学中的应用•常见的反证法证明方法教学难点•反证法的具体运用•反证法证明的层层递进教学内容1.反证法的基本思想和特点–反证法的定义和基本特点介绍–通过反证法引出课堂问题并进行讨论，引导学生理解反证法的基本思想2.反证法在数学中的应用–反证法在等式证明中的应用–反证法在不等式证明中的应用3.常见的反证法证明方法–柿子法证明–最大化误差证明–原命题与反命题结合证明教学过程1.热身–回顾上节课所学知识：直接证明法、归纳证明法–引出课题：反证法2.讲解–介绍反证法的定义和基本特点，通过例子引导学生理解反证法的基本思想–介绍反证法在等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握等式证明中的常用反证法方法–介绍反证法在不等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握不等式证明中的常用反证法方法3.演示–指导学生进一步理解反证法的应用，通过实例演示反证法证明过程，强化学生认识和运用常见的反证法证明方法的能力4.练习–出示一些数学证明题目，让学生采用反证法的方法进行证明–学生们自主设计，采用反证法的方法证明一些有趣的数学问题，以培养学生的创造性思维能力5.总结–梳理反证法的基本思想和常见证明方法，强化学生对反证法的理解和应用6.作业–布置一些数学证明作业，让学生练习反证法的应用教学评价1.教师评价–通过学生作品的收集，对学生的反证法理解和运用能力进行评价–在教学过程中定期对学生进行课堂练习，了解学生的掌握情况2.学生评价–对学生自己的课堂表现进行自我评价，提高学生的学习自觉性–对学生的作业进行成绩评价，激励学生去认真对待学习教学反思1.教师反思–在反证法知识的讲解中，要注意把握好知识点的引入和引出，让学生更好地吸收和理解知识–在作业时，要设计适合学生能力水平的问题，让学生在巩固基础的同时，逐步提高自己的水平，激发学生的学习兴趣和学习动力2.学生反思–学生要认真听讲，对反证法的基本思想和技巧有清晰的认识，掌握复杂证明的方法–在练习和课后作业中，加强反证法的练习，培养自己的思维能力，提高自己的数学水平。
人教课标版高中数学选修2-2《反证法》教学设计
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P89-91，思考什么是反证法？反证法的逻辑依据是什么？2．预习自测1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可作为条件的是（）①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论A.①②B.②③C.①②③D.①②④解：C2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（）A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角中都不是钝角或至少有两个钝角解：B（二）课堂设计1．知识回顾（1）综合法的逻辑是由因索果．（2）分析法的逻辑是执果索因．2．问题探究问题探究 反证法●活动一 结合实例，体会反证思想实例体会：桌面上有3枚正面向上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面向上.你能解释这种现象吗？问题：什么是反证法？反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． ●活动二 运用反证思想，证明问题例1：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b ). 又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．点拨：反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的逻辑原理，通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以结论成立”的结果，是一种间接证明的方法.例2：求证：2、3、5不可能成等差数列.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设2、3、5成等差数列，则23=2+5.所以22)52()32(+=，化简得1025=，22)102(5=，即4025=，这是不可能的.所以假设不成立，从而原命题成立.点拨：反证法的难点在于如何由结论不成立去推导矛盾.这个矛盾常常是以下的三种情形：①与条件发生矛盾；②与已知的定义、公理、定理、事实等发生矛盾；③自相矛盾.3．课堂总结【知识梳理】反证法是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止；(3)断言假设不成立；(4)肯定原命题的结论成立.【重难点突破】反证法主要适用于以下两种情形①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语是——不是 有——没有 等——不等 成立——不成立都是——不都是，即至少有一个不是 都有——不都有，即至少有一个没有 都不是——部分或全部是，即至少有一个是 唯一——至少有两个 至少有一个有（是）——全部没有（不是） 至少有一个不——全部都4．随堂检测1．用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b =0没有实根B ．方程x 3+ax +b =0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b =0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b =0恰好有两个实根【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：A ．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．3. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．4. 下列命题不适合用反证法证明的是（ ）A ．同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知R y x ∈,，且2>+y x ，求证y x ,中至少有一个大于1【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．5．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．（三）课后作业基础型 自主突破1. 判断 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()【知识点：直接证明与间接证明】解：错；错；错；错；对；对.2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法【知识点：直接证明与间接证明】解：B3．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【知识点：直接证明与间接证明】解：B4．否定：“自然数a，b，c中恰有两个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是偶数或至少有两个奇数【知识点：反证法】解：D5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点：反证法】解：B6．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除【知识点：反证法】解：B能力型师生共研7．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数【知识点：反证法】解：B8.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．10. 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明 假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．探究型 多维突破11. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c . 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a >c .12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)证明 用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s . 由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．自助餐1．实数a 、b 、c 不全为零等价于( )A ．a 、b 、c 均不为零B ．a 、b 、c 中至多有一个为零C ．a 、b 、c 至少有一个为零D ．a 、b 、c 至少有一个不为零【知识点：反证法】解：D2．设a 、b 、c 均大于0，则三个数：b a 1+，c b 1+，ac 1+的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【知识点：反证法】解：D.3．(1)已知233=+q p ，求证2≤+q p .用反证法证明时，可假设2≥+q p .(2)已知R b a ∈,，1||||<+b a ，求证方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 满足1||1≥x .以下结论正确的是( )A ．（1）与（2）的假设都错误B ．（1）与（2）的假设都正确C ．（1）的假设正确，（2）的假设错误D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确【知识点：反证法】解：D （1）的假设应为2>+q p .4．设a 、b 、c 是正数，c b a P -+=，a c b Q -+=，b a c R -+=，则“0>PQR ”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：反证法】解：C ．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b【知识点：反证法】解：B “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【知识点：反证法】解：C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．【知识点：反证法】解：没有一个是三角形或四边形或五边形.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外10．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14. 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得：(1－a )b (1－b )c (1－c )a >143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题： f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a ) ⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程.根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用已知为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程.根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证.根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳.。
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P
l1
l3
l2
新知探究
证明:假设__l_3与__l_2 _不_相__交__.,那么 ___l_3∥__l2___.
假设
因为已知___l_1∥__l2___, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
推理
这与“__经__过__直__线__外_一__点__,_有_且__只__有__一__条_直__线_与_已__知__直的特点
练一练
下面我们用反证法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
求证：l3∥l2 证明：假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P 而l1∥l2,l3 ∥ l1
l1
l2
P
l3
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
进入我们今天学习的内容.
教学目标
【知识与能力】 1. 了解反证法的自身特点，从中体会反证法的思考过程和内涵. 2. 运用反证法解决数学问题.
【过程与方法】 1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会反证法的思想. 2. 结合实例，让学生们归纳总结应用反证法解题的情形.
【情感态度与价值观】 培养学生的逆向思维，使思维发散，培养学生观察的能力、归纳总结的能力.
课前导入
王戎的推理方法是:假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了, 这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.
课前导入
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理的例子吗？ 请大家结合《路边苦李》的故事及课本上的思考题，自己总结一下这些推理的共同点.
动动脑
新知探究
这些推理的共同点是： 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考.这种从 “正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种——反证法.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
求证：l3∥l2
l1
提示
l2
l3 你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？
如果选择反证法，先怎样假设？
假设l3∥l2，即l3与l2相交 下面我们用直接证明法和反证法来分别证明.
练一练
问题解决的四个基本步骤： 理解题意 画出图形，写出已知求证
制定计划 选择证明方法，找出证明思路
执行计划 写出证明过程
练一练
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
练一练
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
知识要点
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
知识要点
在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交.
练一练
下面我们用直接证明法来证明此题. 已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1， 求证： l3∥l2. 证明：作直线l交直线 l 1 于点P. ∵l 1∥ l 2，l3 ∥l1 （已知） ∴ 直线l必定与直线l2,l3相交
l1
l P1
l2
2
l3
3
练一练
（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交）
人教版高中数学选修1-2
第2章 推理与证明
2.2.2 反证法
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 1-2
讲解人：xx 时间：2020.6.1
课前导入
路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 如果当时你在场，你会怎么办？ 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?
课堂小结
1.反证法的概念： 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的一般步骤: (1)提出假设 (2)推理论证(3)得出矛盾 (4)结论成立 3. 反证法的关键： 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、事实矛盾等. 4.反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.