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2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(新高考通用)专题2-3零点与复合嵌套函数-2

2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(新高考通用)专题2-3零点与复合嵌套函数-2

＝对称；)2,3,,n ；)2,3,,n 与内层函数()g x 图象的交点个数分别为、、()g x ⎤⎦的零点个数为123n a a a ++++.浙江嘉兴·高三阶段练习）0)0)≤>，则下列关于函数]()11(kx ++)()4,+∞17时，方程41,2),),),x x ππππ><−(g x 嵌套型零点：二次型因式分解统考一模）)1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭)()11,0,2e ⎛⎫− ⎪⎝⎭)()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭】（2020下·江苏无锡已知函数()21, 1ln , 1x x f x x x x⎧−<⎪=⎨≥⎪⎩)()()212x m f x +−⎤⎦个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（]{}±26 ){}−26 )()−x mf x121x，那么D．2,011⎛⎫− ⎪⎝⎭参考答案：180得到=()f x【详解】()f x 为定义在当0x 时，(f x 0x <时，(1)f x −()f x 图象：关于x 的方程的根转化为0(0a =<<，根据对称性得到零点的值满足4．C【详解】()f x 为定义在当0x 时，(f x 0x <时，(1)f x −()f x 图象：关于x 的方程的根转化为0(0a =<<，根据对称性得到零点的值满足5．B)(]2,6上图象交点横坐标之和，如下图所示：【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题关键，属于中档题. 9．C【分析】令()0f x =，得出22x x =−，令()0h x =，得出2log 2x x =−，由于函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =−垂直，利用对称性可求出a c +的值，利用代数法求出函数()38g x x =−的零点b 的值，即可求出a bc ++的值. 【详解】令()0f x =，得出22x x =−，令()0h x =，得出2log 2x x =−， 则函数2y x =−与函数2x y =、2log y x =交点的横坐标分别为a 、c .函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =−垂直， 如下图所示：联立2y x y x =⎧⎨=−⎩，得1x y ==，则点()1,1A ，由图象可知，直线2y x =−与函数2x y =、2log y x =的交点关于点A 对称，则2a c +=，由题意得()380g b b =−=，解得2b =，因此，4a b c ++=.故选：C.由图象可知方程2()log f x =方程()1f x =−和()3f x =各有即方程()12f f x =⎡⎤⎣⎦共有50)x ，函数要使函数时，函数[(y f f =上的图像如图：结合图像可得：①12526m m ⎧<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即125562m m ⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即5562m <<，②165m ⎧>⎪⎪⎨，即1065m ⎧<<⎪⎪⎨，即106m <<，由图可知，()0f t =得2t =或2t =−， 所以()2f x =和()2f x =−各有两个解，要使()2f x =和()2f x =−各有两个解，必须满足由()2f x =−，则2a ≥，由图可知，当26a ≤<时，()2f x =有两个解(由图象可知方程2()log f x =方程()1f x =−和()3f x =各有即方程()12f f x =⎡⎤⎣⎦共有5)()4,+∞.本题主要考查了函数与方程的综合应用，函数的图象与性质是解答的关键，能力，属于中档试题．,0单调递减，0,单调递增，t =即(f m 有四个实数根，必须m =有两个不等实根，且2,单120f ，可得其零点及函)1b =−−和()2f x =−b 的取值范围.0fx，()f x 0>时，()f x '<120f ，∴函数有两个零点分别为函数若()1t g x π==+，则由图象知，直线1y π=+与函数图象知，直线4y π=与函数()g x 的图象有四个交点；1π−与函数()g x 的图象没有交点，⎛⎫− ⎪⎝⎭.)()11,0,2e2如图画出函数图象：1因为[2()()()1g x f x af x a =+−−=故()0g x =时，即()1f x =或()f x 则()g x 在[8,8]x ∈−上恰有八个不同的零点，即等价于设()t f x =，由图象知，当1t >或0t <，方程3⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出由图象知当t＞3时，t＝f（x）有3个根；)(22,log 5}(]0,2时，(]10t ∈−，时，方程10=的根；0的根，则此时方程()1f x =4af x的解析式并画出图象，先求得()的取值范围.a.4a431．D【分析】由题可知直线l的性质，利用数形结合可得f x，上递增．[]1,2−上的图象如下：由于直线1:l y kx=−过定点10,A⎛−⎫⎪．对于A ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与24+n 对于B ，函数()=−y f x kx 有4个零点，即()y f x =与又222357log 2,log 4,log 8222πππ><<下证：当[],0x π∈−，()(y f x g =−此时1sin 2y x x =−+，而11cos 2y '=−+f x 是奇函数，当2x ≥时，有1()2f x =()()12002f f ∴==，若()2,0x ∈−，则(x −∈即()sin()2f x x π=，x ∈)()0f b，还必须结合函数的图象与性质:即利用图象交点的个数，画出函数f x的零点个数；将函数就是函数()＝h x g0()即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函，观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数()()3g x f x =−故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题主要考查零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画出函数图像是关键。

高考数学热点必会题型第8讲 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

高考数学热点必会题型第8讲 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

高考数学热点必会题型第8讲 导数中的极值和极值点偏移——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求已知函数的极值 【题型】二、根据极值点求参数【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系 【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系 【题型】五、求已知函数的极值点 【题型】六、函数最值与极值的关系 【题型】七、导数中的极值偏移问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求已知函数的极值例1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中的项1a ，105a 是函数()32692f x x x x =-+-的极值点，则53a =（ ）A ．3B ．C ．D 【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105a a ⋅，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，()()()23129313f x x x x x =-+=--'，则(),1x ∈-∞时0fx ，函数单调递增，()1,3x ∈时()0f x '<，函数单调递减，()3,x ∈+∞时0fx，函数单调递增，于是x =1和x =3是函数的两个极值点，故1a ，105a 是()231290x x f x =-+='的两个根，所以11053a a ⋅=，所以25311053a a a =⋅=，又110540a a +=>，所以10a >，1050a >，设公比为q ，525310a a q =>，所以55a =故选：D.例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（ ） A ．1y x= B ．e x y x =- C ．2y = D ．3y x =【答案】B【分析】对每个选项求导，然后判断即可 【详解】对选项A ，210y x '=-<，故没有极值点； 对选项B ，1e x y '=-，则极值点为0x =，故正确； 对选项C ，0y '=，故没有极值点； 对选项D ，230y x '=≥，故没有极值点； 故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22e e x a f x a x =-至多有2个不同的零点，则实数a 的最大值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．e【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到20e a a =或224e e a a ≥，再次构造关于a 的函数()2e a a h a =，研究其单调性，解出不等式，求出数a 的最大值.【详解】令()22e e 0x a f x a x =-=，得到22e e x ax a =，函数()22e e xa f x a x =-至多有2个不同的零点，等价于22e ex a x a=至多有两个不同的根，即函数2e x x y =与2e a a y =至多有2个不同的交点令()2ex x g x =，则()22e xx x g x -'=，当02x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当0x <或2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =与2x =为函数()g x 的极值点，且()()2400,2e g g ==， 且()20e x x g x =≥在R 上恒成立，画出()2ex x g x =的图象如下：有图可知：20e a a =或224e ea a ≥时，符合题意， 其中20e aa=，解得：0a = 设()2e a a h a =，则()22e aah a -'=， 当1a <时，()0h a '>，当1a >时，()0h a '<， 所以()2e aah a =在()1-∞，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，由224e e a a ≥可得：()()2h a h ≥，所以2a ≤， 综上：实数a 的最大值为2 故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ）A ．1B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B【题型】二、根据极值点求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，()2e xf x x a '=+，因为函数()()2e 1xf x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根， 亦即2e xxa -=有两个不等实根. 令()2e x xg x =，则()()21e xx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 21eg x g ==， 又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<， 即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于ω的不等关系，即可求得参数范围. 【详解】因为()f x 在[)0,π有2个极值点，也即()f x 在区间[)0,π取得一次最大值，一次最小值；又0ω>，则当[)0,x π∈，,333x πππωωπ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，要使得()f x 满足题意，只需35232ππωππ<+≤，解得713,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C.例7．（2023·全国·高三专题练习）若2x =是函数21()2ln 2f x ax x x =--的极值点，则函数（ ）A ．有最小值2ln2-，无最大值B ．有最大值2ln2-，无最小值C ．有最小值2ln2-，最大值2ln 2D ．无最大值，无最小值【答案】A【分析】对()f x 求导，根据极值点求参数a ，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，2()1f x ax x '=--且(2)0f '=，∴220a -=，可得1a =.∴2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--=且0x >，当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增； ∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值. 综上，有最小值2ln2-，无最大值. 故选：A例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】1k ≥-【分析】先求函数()f x 的导函数2(e )(1)()xk x f x x+-'=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明e 0x k +=在,()0x ∈+∞上无解，或有唯一解1x = ，求实数k 的取值 【详解】e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为(0,)+∞222(1)e 11(e )(1)()()x x x k x f x k x x x x -+-'∴=+-+=1x =是函数()f x 的唯一极值点1x ∴= 是导函数()0f x '=的唯一根 （Ⅰ）e 0x k +=在(0,)+∞无变号零点令()e x g x k =+ ，则()e 0x g x '=> ，即()g x 在(0,)+∞上单调递增 此时min ()10g x k =+≥ 1∴≥-k（Ⅱ）当()e x g x k =+ 在(0,)+∞有解1x = 时，此时e 0k += ，解得e k =- 此时()f x 在(0,1) 和(1,)+∞ 上均单调递增，不符合题意 故答案为：1k ≥-第二天学习及训练【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系例9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d【答案】C【分析】根据导函数的图象确定()f x 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当x c ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 在,c 上单调递增，又a <b <c ，所以()()()f a f b f c <<，故A 不正确． 因为()0f c '=，()0f e '=，且当x c <时，0f x；当c <x <e 时，()0f x '<；当x >e 时，0fx．所以函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e 处取得极小值，不一定是最小值，故B 不正确，C 正确．由题图可知，当d x e ≤≤时，()0f x '≤，所以函数()f x 在[d ，e ]上单调递减，从而()()f d f e >，所以D 不正确． 故选：C ．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3-是()f x 的极小值点B ．1-是()f x 的极小值点C ．()f x 在区间(),3-∞上单调递减D ．曲线()y f x =在2x =处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC 选项，根据导数的定义和几何意义即判断D 选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当3x <-或3x >时，0fx，()f x 单调递增，当33x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在区间(),3-∞-，()3,+∞内单调递增，在区间()3,3-内单调递减， 3-是()f x 的极大值点，3是()f x 的极小值点，故ABC 错误；又因为()20f '<，所以曲线()y f x =在2x =处切线斜率小于零，故D 正确. 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 定义域为(),a b ，其导函数'()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据导函数的图象可判断出()f x 的单调性，结合极小值点的概念即可得结果. 【详解】由()f x '的图象可得：函数()f x 在()1,a x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()24,x x 上单调递增，在()4,x b 上单调递减，故2x x =为函数()f x 的极小值点，即()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是1， 故选：A.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在[,]a b 上的函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题： ①函数()y f x =在区间[]24,x x 上单调递减； ②若45x m n x <<<，则()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭；③函数()y f x =在[,]a b 上有3个极值点；④若23x p q x <<<，则[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】B【分析】根据()y f x '=图象判断函数()y f x =单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.【详解】①中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，在区间[]34,x x 上，()0f x '≤，故函数()y f x =在区间[]24,x x 上先增再减，①错误；②中，看图知，在区间[]45,x x 上，()y f x '=是下凸的，任意连接两点()(),(),,()m f m n f n ''，中点为()(),22m n f m f n M ''++⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段一定在()y f x '=图象上方，故中点也在图象上方，即()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭，故②正确；③中，看图知，在区间[]3,a x 上，()0f x '≥，在区间[]35,x x 上，()0f x '≤，在区间[]5,x b 上，()0f x '≥，所以()y f x =有一个极大值点3x 和一个极小值点5x ，故③错误；④中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，且()f x '递减，故()y f x =单调递增，故()(),()()f p f q f p f q '<'>，故[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<，即④正确.综上，正确命题的序号是②④. 故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数判断函数()f x 的单调性和极值的方法：①写定义域，对函数()f x 求导()f x '；②在定义域内，令 ()0f x '>的区间即是增区间，令()0f x '<的区间即是减区间，③根据单调区间，判断极值点即可.【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系例13．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋323cbx +的单调递增区间是（ ）A ．(－∞，－2]B ．1[,)2+∞C ．[2,3)D ．9[,)8+∞【答案】D【分析】由图象知0a >，0d =，不妨取1a =，先对函数32()f x x bx cx d =+++进行求导，根据2x =-，3x =时函数取到极值点知(2)0f '-=，(3)f '0=，故可求出b ，c 的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案． 【详解】解：不妨取1a =，32()f x x bx cx =++，2()32f x x bx c '∴=++由图可知(2)0f '-=，(3)f '0=1240b c ∴-+=，2760b c ++=， 1.5b ∴=-，18c =-2964y x x ∴=--，924y x '=-，当98x >时，0'>y2964y x x ∴=--的单调递增区间为：9[8，)∞+故选：D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在(),a a -上存在唯一极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2424ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2424ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求函数()f x 的解析式，再根据平移公式，求解函数()g x 的解析式，结合函数的图象，列式求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=，∴()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()5sin 2sin 23412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，作出()g x 的图象如图所示，数形结合可知0112424a a a ππ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩ ，解得：112424a ππ<≤∴实数a 的取值范围是11,2424ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D例15．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在()3,1-内()f x 是增函数B ．在()4,5内()f x 是增函数C ．在1x =时()f x 取得极大值D ．在2x =时()f x 取得极小值【答案】B【分析】根据()'y f x =图象判断()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，()f x 在区间()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x <递减；在区间()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x >递增.所以1x =不是()f x 的极值点，2x =是()f x 的极大值点. 所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()x af x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（ ）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点C ．当e a >时，()f x 有两个零点D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点 【答案】ABC【分析】选项A ，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B ，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C ，结合选项A 中的新函数进行判断；选项D ，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D ．【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即eln 1e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔≤，设()ln x g x x=， 则()21ln xg x x-'=，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()()ln e 1e e eg x g ≤==，故A 正确； 对于B 选项，当01a <<时，()x af x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，因此()f x 只有一个零点，故B 正确；对于C 选项，()0ln ln x af x a x x a a x =⇔=⇔=，即ln ln x ax a=，当e a >时，由A 选项可知，()10eg a <<，因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确； 对于D 选项，()1ln xa f x a a ax-'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则()1ln a h x a x -'=-，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,ln a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC.第三天学习及训练【题型】五、求已知函数的极值点例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题： ①函数()f x 有2个极值点 ②函数()f x 有3个零点③点(0,1)是函数()f x 的对称中心 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】利用导数研究()f x 的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据()()2f x f x +-=判断对称中心.【详解】令2()310f x x '=-=，可得x =所以(,-∞、)+∞上()0f x '>，()f x 递增；(上()0f x '<，()f x 递减；所以x =是()f x 的极值点，又(2)50f -=-<，(10f =>，10f =->，所以()f x 在(2,-上存在一个零点，所以()f x 有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，故(0,1)是函数()f x 的对称中心，③正确.故选：C例18．（2023·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（ ）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D【分析】由题知0()0f x '=，可得01cos26x =，由二倍角公式可算得207cos 12x =，进而有205sin 12x =，所以205tan 7x =.【详解】()2001112cos2,cos22cos 1366f x x x x =-∴=∴-='，∴207cos 12x =，∴22005sin 1cos 12x x =-=， ∴220020sin 5tan cos 7x x x == 故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()8sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所有极值点的和为（ ） A ．223πB ．13πC ．17πD ．503π【答案】D【分析】根据已知条件，令()0f x '=，求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得极值点，从而可求解()f x 所有极值点的和.【详解】解：()16cos 26f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()16cos 206f x x π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈， 因为()f x '在,23k x k Z ππ=+∈两侧异号，所以,23k x k Z ππ=+∈是函数()f x 的极值点， 又(]0,4x π∈，所以极值点54117171023,,,,,,,36363636x ππππππππ=，所以()f x 所有极值点的和为5411717102350,363636363πππππππππ++++++=， 故选：D.例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+= B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x x f x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-=+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，0f x ，函数单调递增，所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，，()13n ππ+-，又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确；故选：ABD.【题型】六、函数最值与极值的关系例21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数222()xx x f x e +-=，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()f x 有极小值也有最小值B ．函数()f x 存在两个不同的零点C ．当260k e -<<时，()f x k =恰有三个实根 D ．若[0,]x t ∈时，max 26()f x e=，则t 的最小值为2 【答案】C【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案.【详解】由222()x x x f x e +-=，得()22'2(22)(22)4()x x x x x e x x e x f x e e +-+--+==， 令'()0f x =，则2x =-或2x =，当<2x -或2x >时，'()0f x <；当22x -<<时，'()0f x > ， 所以()f x 在(,2)-∞-和(2,+)∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增， 所以()f x 有极小值()2244222f e e ---==--，有极大值()224+4262f e e-==， 当x →-∞时，()f x →+∞， 当x →+∞时，()0f x →， 故函数的图象如图，由图像可知A ，B ，D 正确，C 错误. 故选：C例22．（2022·全国·高三专题练习）对函数()242()ln 1f x x a x x =+++(x R ∈，a R ∈且0a ≠)的极值和最值情况进行判断，一定有（ ） A ．既有极大值，也有最大值 B ．无极大值，但有最大值 C ．既有极小值，也有最小值 D ．无极小值，但有最小值【答案】C【分析】先求出导数，34242()21x x f x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，然后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，进而判断各选项【详解】34242()21x x f x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，下面讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况.令2[0,)u x =∈+∞，2()(21)1g u u a u a =++++， （1）当(0)10g a =+<时(即1a <-)，()g u 仅有一个唯一的正零点，不妨设为0u ，此时()f x '有三个不同零点，分别为0 （2）当(0)10g a =+=时(即1a =-)3422()(1)(1)1x f x x x x x =+-++'；满足既有极小值，也有最小值；（3）当(0)10g a =+>时(即1a >-且0a ≠)，若2102a u +=-≤(即12a ≥-且0a ≠)，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0，若212a u +=-1012a ⎫⎛>-<<- ⎪⎝⎭，结合22Δ(21)4(1)43a a a =+-+=-分析可知：当1a -<<时，()g u 有两个不同的正零点(令为1u ，2u 且12u u <).此时()f x 在(,-∞，()，上单调递减，当12a ≤<-时，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析， 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当(0)10g a =+<；（2）当(0)10g a =+=；（3）当(0)10g a =+>，进而判断各选项，属于难题例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()x f x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【答案】C【解析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且e 0x >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解， 所以220x x a ++=有两个不等实根， 所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f e f d f c <<C ．x c =时，()f x 取得最大值D ．x d =时，()f x 取得最小值【答案】AB【分析】由()f x '图象可确定()f x 的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由()f x '图象可知：当()(),,x c e ∈-∞+∞时，0fx；当(),x c e ∈时，()0f x '<；f x 在(),c -∞，(),e +∞上单调递增，在(),c e 上单调递减；对于A ，a b c <<，()()()f a f b f c ∴<<，A 正确； 对于B ，c d e <<，()()()f e f d f c ∴<<，B 正确；对于C ，由单调性知()f c 为极大值，当>x e 时，可能存在()()0f x f c >，C 错误； 对于D ，由单调性知()()f e f d <，D 错误. 故选：AB.第四天学习及训练【题型】七、导数中的极值偏移问题例25．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】C【分析】对于A ，分析()f x 导函数可作判断；对于B ，考查函数()y f x x =-的单调性可作判断；对于C ，分离参数，再分析函数()f x x最值情况而作出判断；对于D ，构造函数()()(4)(02)g x f x f x x =--<<讨论其单调性，确定()0g x >即可判断作答.【详解】对于A 选项：()f x 定义域为(0,)+∞，22212()x f x x x x'-=-+=， 02x <<时,()0,2f x x '<>时()0f x '>，2x =是()f x 的极小值点，A 正确；对于B 选项：令222()(),()0x x h x f x x h x x -+'=-=-<， ()h x 在(0,)+∞上递减，(1)1,(2)ln 210h h ==-<， ()h x 有唯一零点，B 正确；对于C 选项：令23()2ln ln 4(),()f x x x x x x x x x x x ϕϕ-+'==+=-， 令()ln 4F x x x x =-+，()ln ,(0,1)F x x x '=∈时,()0,(1,)F x x '<∈+∞时,()0F x '>， ()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，则min ()(1)30F x F ==>，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,)+∞上递减，()ϕx 图象恒在x 轴上方，与x 轴无限接近，不存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，C 错误； 对于D 选项：由A 选项知，()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增， 因正实数1x ，2x ，且12x x >，()()12f x f x =，则2102x x <<<，02x <<时，令()()(4)g x f x f x =--，()()()()2222404x x g x f x f x x x --=+-'+-''=<，即()g x 在(0,2)上递减，于是有()()20g x g >=，从而有()()122(4)f x f x f x =>-， 又242x -> ，所以124x x >-，即124x x +>成立，D 正确. 故选：C.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x <C ．ln 2>D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y > 【答案】AD【分析】A ：代入2,5直接计算比较大小；B ：求()f x 的导函数，分析单调性，可得当()f x m=有两个不相等实根时1x 、2x 的范围，不妨设1x 2x <，则有10e x <<2x <，比较()211,e f x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，因为()()12f x f x =，可构造()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0e)x <<，求导求单调性，计算可得()0F x <成立，可证212e x x >；C ：用()f x 在()0,e 上单调递增，构造ln 2ln e2e<可证明；D ：令23x y t ==，解出lg lg 2t x =，lg lg 3ty =，做差可证明23x y >.【详解】解：对于A ：()()12ln 52525n f f ====又105232==1025=，3225>>()()25f f >，A 正确；对于B ：若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x >，故B 不正确；证明如下：函数()ln x f x x =，定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=， 当0fx时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >；所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()max 1ef x =且e x >时，有()0f x >，所以 若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，有10em <<，不妨设1x 2x <，有10e x <<2x <，要证212e x x >，只需证221e x x >，且221e e x x >>，又()()12f x f x =，所以只需证()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()()2e F x f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(0e)x << 则有()()()22241111e ln e F x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0e x <<时，1ln 0x ->，24110e x ->，所以有()0F x '>，即()F x 在(0,e)上单调递增，且()0e F =，所以()0F x <恒成立，即()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即212e x x >.对于C ：由B 可知，()f x 在()0,e 上单调递增，则有()()2e f f <，即ln 2ln e2e<，则有2ln 2e <<C 不正确； 对于D ：令23x y t ==，则1t >，2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3ty t ==， 2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y -∴-=-=>⋅， 23∴>x y ，故D 正确；故选：AD.【点睛】知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()(0).e xaxf x a =≠(1)若对任意的x R ∈，都有1()ef x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设,m n 是两个不相等的实数，且e m n m n -=．求证： 2.m n +> 【答案】(1)(0,1] (2)证明见解析【分析】（1）先判断a<0不成立，当0a >时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；（2）设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，可得()0h x >恒成立，从而可证不等式. (1)当a<0时，111e af a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为10e e a<<，所以111e e a>，即11e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，不符合题意；当0a >时，(1)()e xa x f x -'=， 当(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 所以()(1)eaf x f ≤=． 由1()e f x ≤恒成立可知1e ea ≤，所以1a ≤．又因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1]． (2)因为e m n m n -=，所以e e m n m n --=，即e e m nm n=． 令()e xxg x =，由题意可知，存在不相等的两个实数m ，n ，使得()()g m g n =．由（1）可知()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． 不妨设m n <，则1m n <<．设()()(2)(1)h x g x g x x =-->， 则2221e 1()()[(2)](1)e (1)0e e x x x xx h x g x g x x x ----'''=--=+-=-⋅>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()0h x >，即()(2)g x g x >-在区间(1,)+∞上恒成立． 因为1n >，所以()(2)g n g n >-． 因为()()g m g n =，所以()(2)g m g n >-． 又因为1m <，21n -<，且()g x 在区间(,1)-∞上单调递增， 所以2m n >-，即2m n +>．【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭． (1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1xx f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1xF x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明. (1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1xx f x x x -=∈-+， 则221()e 0(1)xx f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增，所以1()e (0)11xx f x f x -=<=-+． (2)e ()(1)1xf x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ；设函数e ()1xF x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>， 故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>． 设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11x xh x x x -=++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'，由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，由（1）有1e 01xx x ++>-，故()0h x '<， 即函数()h x 在(1,0)-上单调递减， 所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-，由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增， 所以21x x >-， 所以120x x +>．【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.。

高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类(原卷版)

高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类(原卷版)

高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求曲线切线的斜率与倾斜角例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（ ） A ．2B ．-2C ．0D ．1例2．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行例3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()ln 2f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的定义域是()0,∞+ B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增【题型】二、求在曲线上一点处的切线方程或斜率例4．（2023·上海·高三专题练习）2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ） A ．290x y ++= B ．290x y +-= C ．290x y -++=D ．290x y -+-=例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MNB ．FNC ．PMD ．ON例7．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（ ） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 例8．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()()e e x xf x x -=- ，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()=y f x 在点()()ln 2,ln 2f 处切线的 斜率为35ln 222+D ．()f x 是奇函数第二天学习及训练【题型】三、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例10．（2023·全国·高三专题练习）已知点M 是曲线()22ln 5f x x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 例11．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））若()ln f x x x =，则()f x 图像上的点的切线的倾斜角α满足（ ） A ．一定为锐角B ．一定为钝角C ．可能为0︒D ．可能为直角例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0sin 0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，，， ()020x kx x g x x >⎧=⎨≤⎩，，，若x 1、x 2、x 3，x 4是方程()()f x g x =仅有的4个解，且x 1<x 2<x 3<x 4，则（ ） A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2>1 C ．43πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【题型】四、求在过一点的切线方程例13．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3例14．（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例15．（2023·全国·高三专题练习）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ） A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =例16．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是________．例17．（2023·全国·高三专题练习）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是___________第三天学习及训练【题型】五、利用导数值求出参数值例18．（2023·上海·高三专题练习）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞例19．（2023·全国·高三专题练习）若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e例20．（2023·全国·高三专题练习）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =--D ．2364x y =-+例21．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例22．（2023·上海·高三专题练习）设函数()ln f x x x =，()1x g x x =+. (1)若直线12y x b =+是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)证明：①当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-； ②0x ∀>，()()2e-<g x f x .（e 是自然对数的底数，e 2.718≈） 【题型】六、已知切线的斜率求参数方程例23．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()2e ,<1=e ,1x x x f x x -≥⎧⎨⎩若方程()0f x x a --=有三个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,e 1-C ．()1,eD ．()e 1,e -例24．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知0a >，0b >，直线2e y x b-=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16B ．12C ．8D ．4例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12B C D ．34例26．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是曲线23ln y x x =-上任意的一点，则点P 到直线2230x y ++=的距离的最小值是（ ）A ．74B ．78C ．2D例27．（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________第四天学习及训练【题型】七、两条切线平行、垂直、重合公切线问题例28．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例29．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切，则直线l 的条数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．无数条例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与函数()e x f x =，()ln g x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2例31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x a x =，()e x g x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例32．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例33．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．2【题型】八、已知某点处的导数求参数或自变量例34．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin f x m x b =+在6x π=处的切线方程为1y x =+，则实数b 的值为（ ）A ．12B C ．1 D 例36．（2023·全国·高三专题练习）若实数a ，b ，c ，d 满足ln ,1a b c d =+=，则()()22a cb d -+-的最小值为______.。

专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。

第03讲 整式的加减(9类热点题型)(原卷)-2023-2024学年七年级数学上册学与练(北师大版)

第03讲 整式的加减(9类热点题型)(原卷)-2023-2024学年七年级数学上册学与练(北师大版)

第03讲整式的加减1.理解同类项的概念.2.了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并，解决一些实际问题.3.在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号.4.总结去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题.5.会进行整式的加减运算，并能说明其中的道理.知识点01同类项1.同类项概念：所含_______相同，并且相同字母的_______也相同的单项式是同类项.2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.【答案】字母；指数知识点02去（添）括号法则去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；（3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号；（4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项；（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.知识点3整式的加减1.整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．（2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．（3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.2.整式加减的一般步骤（1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；（4）合并同类项.题型01同类型的判断【典例1】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各组单项式中，是同类项的是()A ．423x y 与244x y -B ．258m n -与528n mC ．325a b c 与329a b -D ．27m n 与62mn -【变式1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列单项式中，与3a b 是同类项的是（）A ．abB ．32ab C ．34a b-D ．333a b 【变式2】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）下列说法正确的是（）A ．23xyz 与23xy 是同类项B ．1x与2x 是同类项C ．320.5x y -与222x y 是同类项D ．25m n 与22nm -是同类项题型02已知同类型求指数中字母或代数式的值【典例2】（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）若单项式13m xy -与13n x y --是同类项．则m n -的值是．【变式1】（2023春·青海海东·七年级统考阶段练习）如果12313a a x y ++与2213b x y --是同类项，则()b a -的值为．【变式2】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知单项式2332m m na b -+与23n a b -是同类项，则代数式2262025m m -+的值是．题型03合并同类型【典例3】（2023秋·全国·七年级专题练习）合并同类项：5334a b a b +--=．【变式1】（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）化简：23x x x +-=.【变式2】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）计算573ab ab ab -+的结果等于．题型04去括号【典例4】（2023秋·七年级课前预习）化简：()x y z ---的结果是．【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简：()()17372x x ---=．【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）化简：()()323a b a b --+=．题型05添括号【典例5】（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）下列多项式的变形中，正确的是（）A ．()y x x y -=--B ．()x y x y --=--C ．()x y x y -+=-+D ．()y x x y +=-+【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）等式() a b c a -+=-，括号内应填上的项为（）A ．b c+B ．b c-C ．b c-+D ．b c--【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各式中添括号正确的是（）A ．()33x y x y --=--B ．()22x y x y -=-+C ．()2881m m m m -=-D ．()3443x x -=--题型06整式的加减运算【典例6】（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）化简：()222485525ab ab ab ab a ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭．【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：(1)3333134422a b ab a b ab +-+；(2)()22222313x x x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭．【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：(1)()()2222232242a ab b a ab b -++-+-；(2)()()224522a ab ab a --+-．题型07整式的加减中化简求值【典例7】（2023春·甘肃定西·七年级统考期末）先化简，再求值：222342565x x x x x +---+-，其中2x =-．【变式1】（2023春·宁夏银川·七年级校考开学考试）先化简，再求值：()()2222322a b ab a b ab ---；其中2a =-，1b =．【变式2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）先化简，再求值：()()222324a ab a ab --+，其中1a =-，35=b ．【变式3】（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）先化简，后求值：22113122323x x y x y ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12,33==-x y ．题型08整式的加减的应用【典例8】（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）某公园里一块草坪的形状如图中的阴影部分(长度单位：m )．(1)用整式表示草坪的面积；(2)若4a =，求草坪的面积．【变式1】（2023秋·广东韶关·七年级统考期末）今年暑假小明家买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，这套住宅的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示（图中长度单位：米）．(1)求出用含x 、y 的代数式表示这套房的总面积是多少平方米?(2)当3x =， 1.5y =时，若铺1平方米地砖平均费用120元，求这套住宅铺地砖总费用．【变式2】（2023秋·广西南宁·七年级校考期末）如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD ，其中3EF =，最小的正方形的边长为x ．(1)FG =________，DG =__________；（用含x 的代数式表示）(2)用含x 的代数式表示长方形ABCD 的周长；(3)当4x =时，求长方形ABCD 的周长．题型09整式的加减中的无关型问题【典例9】（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）若代数式2233295x axy y xy -+-+不含xy 项，则=a ．【变式1】（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）若关于x ，y 的多项式()223x axy y bx xy ++---不含二次项，则2a b -的值为．【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）当m =时，关于x 的多项式2835x x -+与多项式223453x mx x +-+的和中不含2x 项．一、单选题1．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）下列各组属于同类项的是（）A ．23x y -与2xy B ．2x y 与2x zC ．2mn 与3nm-D ．0.5ab -与0.5abc-2．（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）下列计算正确的是（）A ．325a b ab+=B ．532y y -=C ．277a a a +=D ．22232x y yx x y-=3．（2023春·河南周口·七年级统考期中）若3a b x y +-与2a b x y +是同类项，则a b -的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列变形中错误的是（）A ．()2222m m n p m m n p---+-=+B ．()m n p q m n p q -+-=-+-C ．()()35123521m n p m n p --+=-----⎡⎤⎣⎦D ．()()11m n p n m p +--+=----+5．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）在矩形ABCD 内，将一张边长为a 和两张边长为()b a b >的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（）A ．AB B ．ADC ．aD ．b二、填空题6．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）计算：42m m m +-=．7．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）如果单项式1245m x y --与31n x y +是同类项，则m n =．8．（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）若关于x 、y 的多项式222369x kxy y xy -++-中不含xy 项，则k =．9．（2023秋·湖北黄冈·七年级统考期末）若代数式23a a -的值是4，则213522a a --的值是．10．（2023春·河南郑州·七年级校考期中）一个底面是正方形的长方体，高为3cm ，底面正方形边长为5cm ．如果它的高不变，底面正方形边长增加了cm a ，那么它的体积增加了3cm ．三、解答题11．（2023秋·全国·七年级专题练习）化简：(1)()()225214382a a a a +--+-；(2)22135322x x x x ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．12．（2023秋·全国·七年级专题练习）先化简，再求值2222332232xy xy xy xy xy x y ⎡⎤⎛⎫---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中2x =，12y =-．13．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）化简求值(1)化简∶()()2252343x x x x ---+-；(2)先化简，再求代数式的值∶22112323a ab a ab ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12,2a b ==．14．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）（1）化简：()()23231239123a b a b +--．（2）先化简，再求值：()()3222363532a ab a b ab a -+---，其中1,82a b =-=-．15．（2023秋·河南周口·七年级校考期末）（1）计算：()13212x x x ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭；（2）计算：()222222526353a b ab a b ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（3）先化简，再求值()22543133a a a a ---+⎡⎤⎣⎦，其中12a =-．16．（2023秋·全国·七年级专题练习）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务：已知2a =，自行给b 取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值．()()222221526323212a b aba ab a ab a b ⎛⎫-+--++- ⎪⎝⎭．小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b 取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果．17．（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）已知：223A a ab b =--，2226B a ab b =+-．(1)计算2A B -的表达式；(2)若代数式()()22262351x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式2A B -的值．18．（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，AB a =，线段AB 上一点P ，分别以AP BP AB ，，为边做正方形．(1)设AP x =，求阴影部分的面积(用含有a ，x 的代数式表示)；(2)当13AP a =时，阴影部分面积为1S ，当P 为线段AB 中点时，阴影部分面积为2S ，比较1S 与2S 的大小．。

高考数学热点题型

高考数学热点题型

热点题型1.已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为: .A 1 .B 1-.C 1± .D 22.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线的两支于P Q 、两点，交l 于R 点．则 A. PFR QFR ∠>∠ B. PFR QFR ∠=∠C.PFR QFR ∠<∠D.PFR ∠∠与QFR 的大小不确定3.已知点P 是椭圆2212516x y +=(0)y ≠上的动点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，01=⋅MP M F ，取值范围是A.[)5,0B.[)4,0C.[)3,0D.()5,34.设非零向量a →,b →,c →,若p →=a →|a →| + b →|b →| + c →|c →|,则|p →|的取值范围A ．[0,1]B .[0,2]C .[0,3]D .[-3,3]5.已知不等式0x -≥（的解集为{}|01x x x =≥或，则有 A.,0a R b ∈= B.01,0a b ==或 C.1,0a b ≤= D.01,0a a b =≥=或6.设a 、b 是方程2cot cos 0x x θθ+-=的两个不相等的实数根，那么过点2(,)A a a 和点2(,)B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.随θ的值变化而变化7.定义在区间[2，4]上的函数m x y m x (3)(-=是常数）的图象过点（2，1）， 则函数)(x F )()]([2121x f x f ---=的值域为A.[2，5]B.),1[+∞C.[2，10]D.[2，13]8.已知F 1,F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点,P 为双曲线左支上任意一点,若122PF PF 最小值是8a ,则双曲线离心率e 的取值范围是A.),1(+∞B.(]3,0C.(]3,1D.(]2,19.已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝｜a －b ＋c ｜＋｜2a ＋b ｜，N ＝｜a ＋b ＋c ｜＋｜2a －b ｜，则M 与N 的大小关系是 A M ≥N B M ≤N C M ＜ND M ＞N10.函数y =______________.11.已知对称中心为原点的双曲线与椭圆2212x y +=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为 _________ ．12.已知函数2()21f x x x =++,当[1,]x m ∈时,(1)15f x +≤恒成立,则实数m 的取值范围是___________.13.类比椭圆性质的研究，试写出一个关于曲线42:1C x y +=的性质： 14.已知空间三个平面,,αβγ两两垂直，直线l 与平面,αβ所成的角都是30o ，则直线l 与平面γ 所成角的余弦值是_________. 15.将矩形ABCD 绕AB 边旋转11(0)2πθθ<<得矩形11ABC D ,再将11ABC D 绕边1BC 旋转得22(0)2πθθ<<得112A BC D , ,求面ABCD 与面112A BC D 所成的锐二面角.新 题:1.某楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级台阶，走完该楼梯n 级台阶共有()f n 种不同的走法，则(8)f =2.给出下列四个命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱。

2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破： 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】(解析版)

2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破： 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】(解析版)

1/45热点题型：基本不等式及其应用【题型1】基本不等式的直接使用...............................................................................................................2【题型2】常规凑配法求最值......................................................................................................................3【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法.........................................................................................................5【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换.......................................................................................................6【题型5】二次比一次型................................................................................................................................8【题型6】分离常数型..................................................................................................................................10【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题.........................................................................................11【题型8】利用对勾函数..............................................................................................................................13【题型9】判断不等式是否能成立...........................................................................................................16【题型10】换元法（整体思想）...............................................................................................................19【题型11】基本不等式的实际应用问题....................................................................................................22【题型12】与a +b 、平方和、ab 有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）...........................26【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题...........................................................................................28【题型14】消元法........................................................................................................................................31【题型15】因式分解型................................................................................................................................33【题型16】同除型（构造齐次式）...........................................................................................................35【题型17】万能“k ”法..................................................................................................................................36【题型18】三角换元法（利用三角函数）...............................................................................................38【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题...............................................................................40【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）...........................................................................42【题型21】多次运用基本不等式 (43)2/45【题型1】基本不等式的直接使用如果00a b >>，2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，的算a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用不等式：若a b ∈，R，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式：若a b ∈，R +，则2a b+≥（或a b +≥），当且仅当a b =时取等号．1．若0a >，0b >，且41a b +=，则2216a b +的最小值是________【答案】12【详解】221624a b ab ≥+⨯，则()()2222221616244a b a b ab a b +≥++⨯=+，所以()222411622a b a b +≥+=，当且仅当142a b ==时，等号成立，所以2216a b +有最小值122．若00>>y x ，，10=xy ，则yx 52+的最小值为______．【答案】2【简析】252x y +≥=【巩固练习1】若00>>y x ，，1410x y+=，则xy 的最小值为______．【答案】425【简析】14441052525xy x y xy +=≥⇒≥⇒≥⇒≥【巩固练习2】已知0x >，0y >，且21x y +=，则24x y +的最小值是________3/45【答案】当且仅当【题型2】常规凑配法求最值配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．常见的配凑法求最值模型(1)模型一：)0,02>>≥+n m mn x n mx ，当且仅当mn x =时等号成立；(2)模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma a x n a x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立3．若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.4．已知>2，则2+8K2的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为>2，所以−2>0所以2+8K2=2−2+8K2+4≥216+4=12，当且仅当2−2=8K2，即=4时，等号成立．所以2+8K2的最小值为12.4/45【巩固练习1】函数()4321x x f x =+++（0x >）的最小值为．【答案】1【解析】因为0x >，所以11x +>，所以()44323311111x x x x x f =++=++-≥-=++，当且仅当()4311x x +=+时，即13x =-时，等号成立，故()f x 的最小值为1.【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可．【详解】因为正数a ，b 满足34a b +=，所以()()1318a b +++=，所以()()()()31311311311311011811811b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+⋅+++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦()1110106288⎡⎢≥+=+=⎢⎣，当且仅当()()313111b a a b ++=++即1a b ==时，等号成立，所以1311a b +++的最小值为2．【巩固练习3】已知0t >，则3321t t t +++的最小值为.1【解析】因为0t >，所以()()()33212133221212221231t t t tt t t t +++++=+=+++++11≥+=，当且仅当()()2321221t t +=+，即t =.所以3321t t t +++1.5/45【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．主要解决形如“已知x +y =t (t 为常数),求的最值”的问题，先将再用基本不等式求最值注意：验证取得条件．5．（2023·广东广雅中学校考）若正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值是________【答案】9【详解】121222()(2)5529b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当2213b a a b a b =⇒==时等号成立6．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112y x+=，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭313332222222xy xy =++≥+=+⨯=+当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.6/45【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号．所以2x y +的最小值为8【巩固练习2】若0,0x y >>，且25x y +=，则92x y+的最小值为．【答案】5【解析】因为0,0x y >>，且25x y +=，则2155x y+=，可得9292218213135555555x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当18255y xx y=，即33x y ==时，等号成立，所以92x y+的最小值为5．故答案为：5．【巩固练习3】已知0x >，0y >，且122x y +=，则21x y +的最小值为．【答案】16【解析】()212182228816,y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当82y x x y =时等号成立.即当11,48x y ==时，21x y +取得最小值为16.【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．7/45【分析】利用基本不等式求得1aa b+的最小值．【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=．当且仅当12a b ==时等号成立．【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．【详解】由条件1x y +=可得2212()()232244x y x y y x y y x x xy x xy x y x xy+++=+=++++=++≥+．当且仅当+=13=x y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时等号成立【巩固练习2】正实数x ，y 满足1x y +=，则11y x y++的最小值是（）A ．3+B ．2+C ．5D ．112【答案】B 【分析】11y x y++中的“1”用“x y +”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．8/45【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1122y x y y x y y x x y x y x y +++++=+=++22≥+=+当且仅当1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即21==x y 时等号成立．故11y x y ++的最小值是2+．【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．4B．C．1D．1【答案】D【分析】由21x y +=，可得221y x y xxy x y +=++，再利用基本不等式计算即可得.【详解】2122111y x y y x y y x xy x y x y x y ++=+=+=++≥+=，当且仅当2y x x y =，即1,12y x =-=-时，等号成立.【题型5】二次比一次型基本模型：)0,0(2112>>+≤++=++c a b ac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立9．已知>0，则2−r4的最小值为（）A ．5B ．3C ．−5D ．−5或3【解题思路】由已知可得2−r4=+4−1.【解答过程】由>0，得2−r4=+4−1≥2−1=3，当且仅当=4，即=2时等号成立，所以2−r4的最小值为3．9/4510．函数()2322x x y x x ++=>-的最小值为．【答案】11【分析】将函数化为9252y x x =-++-，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由2(2)5(2)992522x x y x x x -+-+==-++--，又20x ->，所以511y ≥+=，当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立，所以原函数的最小值为11.【巩固练习1】已知1x >-，则函数241x x y x ++=+的最小值是．【答案】3【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为1x >-，()()221(1)44411111x x x x y x x x x +-++++===++-+++13≥-=当且仅当()411x x +=+，即1x =时，等号成立.所以函数241x x y x ++=+的最小值是【巩固练习2】已知正数x ，y 满足23x y +=，则8xyx y+的最大值为．【答案】16【解析】∵正数x ，y 满足23x y +=，∴()()181181161121010210863333x y x y y x y xy x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+=⨯+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当16y xx y=，即42x y ==时取等号，则111886xy x y y x=≤++，其最大值为16．10/45【巩固练习3】已知x ，y 为正实数，且+=1，则r6r3B的最小值为（）A ．24B ．25C ．6+42D ．62−3【解题思路】把r6r3B变为9+4，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.【解答过程】因为x ，y 为正实数，且+=1，所以r6r3B==4r9B=9+4=+=13+9+4≥13+=25，当且仅当9=4+=1即=35=25时，等号成立，所以r6r3B的最小值为25.【题型6】分离常数型方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数例1：2121124x x y x x x xxxx+=+=++=++≥（x >0）例2：()()222222212121111x x y x x x x x x x -=+=-++=+++----11．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（）A ．4B ．5C D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->，所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()4421323711x x x x =++=-++≥=--，当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号，所以函数221x y x x +=+-的最小值为7；故选：C【巩固练习1】已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【分析】将已知条件等式化为()227x y ++=，整体代入结合基本不等式即可得解．11/45【详解】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+=，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y ++++的最小值为6，故选：B ．【答案】[,]35【分析】将函数变形为2()24xf x x x =+++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解．【详解】函数()222224238()24442x x x x f x x x x x x x x x ++++===++++++++，当0x =时，()2f x =；当0x ≠时，11()24f x x x=+++，根据对勾函数的性质可知：当0x >时，44x x +≥，则110451x x<≤++，所以112()5f x <£，当0x <时，44x x +≤-，则110431x x -≤<++，所以5()23f x £<，综上所述，函数22238()4x x f x x x ++=++在x ∈R 上的值域是511[,]35．【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解12．（多选）已知2102105ab ==，则下列结论正确的是（）12/45【分析】由题意可知lg 2a =，b =，根据对数函数的单调性可知D错误；2101010a b ⋅=，可知A 正确；利用基本不等式可知2a b +B 正确；在根据lg 2b =>，利用不等式的性质，即可判断C 正确．【详解】由题可知lg 2a =，1lg52b ==2>，所以a b <，D 错误；因为2210101010a b a b +⋅==，有21a b +=．所以A 正确；由基本不等式得2a b +≥18ab ≤，当且仅当2a b =时，取等号；又因为lg 2a =，2lg5b =，所以2a b ≠，故18ab <，B 正确；由于lg 20a =>，lg 2b =>，所以2lg 2ab >，C 正确13．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2ab +≥-D≤【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+≤++=，，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确【详解】22422a b a b +=+≥=222,a b =即11,24a b ==时等号成立13/45【巩固练习2】已知实数x y ，满足32x y +=，则3271x y z =++的最小值是________．【答案】7【解析】33271331117x y x y z =++=++≥==，当且仅当333x y =，即1x =，13y =时取等号．所以3271x y z =++的最小值为7【分析】对于A ，根据对数函数的性质分析判断，对于C ，由已知可得34log 12,log 12x y ==，从而可得111x y +=，对于D ，利用基本不等式判断，对于B ，由111x y+=，得x y xy +=分析判断．【详解】对于A ，因为3412x y ==，所以34121211log 120,log 120log 3log 4x y ==>==>，因为1212log 4log 30>>，所以121211log 3log 4>，所以x y >，所以A 正确；对于C ，由3412x y ==，得34log 12,log 12x y ==，所以121212341111log 3log4log 121log 12log 12x y +=+=+==，所以C 错误；对于D ，因为0x y >>，所以111x y=+>，得4xy >，所以D 正确；对于B ，因为111x y+=，所以4x y xy +=>，所以B 错误．【题型8】利用对勾函数当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值14/4514．当2x ≥时，42x x ++的最小值为.【答案】3【分析】根据对勾函数的单调性求最值.【详解】设2x t +=，则4422x t x t+=+-+，又由2x ≥得4t ≥，而函数42y t t=+-在[)4,+∞上是增函数，因此4t =时，y 取得最小值44234+-=15．已知函数()|lg |f x x =．若0a b <<，且()()f a f b =，则4a b +的取值范围是（）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】C【分析】根据函数图象得lg lg a b -=，则1b a=，令1()44g b a b b b =+=+，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围．【详解】由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =．根据函数|lg |y x =的图象及0a b <<，则lg lg a b -=，即lg 1ab =，可得01a b <<<，1b a=，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数可得()g b 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)5g b g >=．所以4a b +的取值范围是(5,)+∞【巩固练习1】函数y ＝x ＋51x +（x ≥2）取得最小值时的x 值为．【答案】2【分析】令x ＋1＝t (t ≥3)，则有()f t ＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，当t ＝3时，即可求解.【详解】依题意，y ＝x ＋51x +＝x ＋1＋51x +－1(x ≥2)，15/45设x ＋1＝t (t ≥3)．因为f (t )＝t ＋5t－1在[3,＋∞)上单调递增，所以当t ＝3，即x ＝2时，y ＝x ＋51x +(x ≥2)取得最小值．【巩固练习2】已知函数()lg 2f x x =+，若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则2a b+的取值范围是_______．【答案】(3,+∞）【分析】易知()lg 2lg 2lg lg 11a b a b ab a +=+⇒=⇒=，＜22a b a a+=+≥()22=a b a a ++∈+∞3，【巩固练习3】若对任意[]1,2x ∈，()2110mx m x -+-≤恒成立，求实数m 的取值范围法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质当1x =时，20-<，成立；当(]1,2x ∈时，由题可得21x m x x+≤-对任意(]1,2x ∈恒成立，令21x y x x+=-，则有min m y ≤，(]1,2x ∈，()()21121312131x y x x x x +==+-++++-+，令211t x x =+++，(]12,3x +∈，根据对勾函数的性质可得113,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以13,32y t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢-⎣⎭，所以当2x =时，min 32y =，故实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；法二：分类讨论令()()211f x mx m x =-+-，①当0m =时，()1f x x =--，对任意[]1,2x ∈，()()120f x f ≤=-<恒成立；16/45②当0m >时，函数()f x 图象开口向上，若对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立，只需()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得32m ≤，故当302m <≤时，对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立；③当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，()()()11220f x mx x =---≤-<恒成立；综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【题型9】判断不等式是否能成立（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC ，根据复合函数最值求法求解判断D ．【详解】对于A ，114x y x =++，当4x =-时，104y =-<，不符合要求，错误；对于B，2y ==时取等号，=得241x +=显然不成立，所以等号取不到，即y 的最小值不是2，错误；对于C ，因为01x <<，所以10x ->，211111112212(1)212y x x x x ⎛⎫=+=⋅≥⋅= ⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，17/45当且仅当12x =时取等号，最小值是2，正确；对于D，y =22x -≤≤，0y ≥，则2224y x x =-+++=+，当240x -=即2x =或2-时，2y 有最小值4，即y 有最小值2，故D 正确．【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（）A ．若,R a b ∈，则2b a a b +≥=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg x y +≥C ．若x ＜0，则4x x+4≥-=-D ．若x ＜0，则222x x -+>=【答案】D【解析】∵,b a a b 可能为负数，如1b aa b ==-时，2b a a b+=-，∴A 错误；∵lg ,lg x y 可能为负数，如lg lg 1x y ==-时，lg lg 2,2x y +=-=，∴B 错误；∵40,0x x <<，如441,x x =-=-时，544x x+=-<-，∴C 错误；∵0x <，2(0,1)x ∈，21x ->，∴222x x -+>=，当且仅当22-=x x ，即0x =等号成立，∴D 正确．【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题．【详解】解：对于A ，()22212110x x x x x x -≥-⇒-+=-≥ 恒成立，则x ∀∈R ，都有21x x x -≥-，A 选项正确；对于B ，当(1,)x ∈+∞时，1(0,)x -∈+∞，18/4544111511x x x x ∴+=-++≥=--（当且仅当3x =时取等号），4[5,)1x x ∴+∈+∞-，(1,)x ∴∃∈+∞，使得461x x +=-，B 选项正确；对于C ，当0a b <<时，0b aa b+<，C 选项错误；对于D ，当(2,)x ∈+∞)+∞，令)t =+∞，4y t t=+在)+∞上单调递增，44t t ∴+>，4，D 选项错误【分析】利用基本不等式求最值判断ABD ，结合二次函数的性质判断C ．【详解】12x <时，120x ->．112212xx -+≥=-，当且仅当11212x x -=-，即=0x 时等号成立，所以11212x x -+-的最小值是2，即1212x x-+-的最小值是1，从而1221x x +-的最大值是1-，A 正确；2y ==+≥1=1=无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B 错；1[,2]2x ∈时，11[,2]2x ∈，y ===，因为1122x ≤≤，所以112x =时，y =，12x=时，y =，19/45154x =时，4y ==．所以值域是4，C 正确；0x >，0y >且2x y +=，13x y ++=，31x y x ++23333311111y y x y x y x-=+=-+=+-+++，则33111(1)()224111x y x y y x y x y x ++=+++=++≥+=+++，当且仅当11x y y x +=+，即1x y =+时等号成立，所以31x y x++的最小值是4－1＝3，D 正确．【题型10】换元法（整体思想）对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元17．（单分母换元）已知20<<a ，则aa 21421-+的最小值是________A ．6B ．8C ．4D ．9【解题思路】可以设12b a =-，则有21a b +=，求142a b+的最小值，用乘“1”法即可【答案】9【解答过程】解：设12b a =-，则有21a b +=，()91414252122a b a a a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当1−22=81−2，即a =16时取等号，所以12+41−2的最小值是9．18．（双分母换元）已知正数b a ，满足2=+b a ，则141+++b ba a 的最大值是（）A ．29B ．411C ．1D ．3720/45【解题思路】设1,1x a y b =+=+，则有4x y +=，求144145x y x y x y ⎛⎫--+=-+ ⎪⎝⎭最小值，结合乘1法即可【解答过程】解：+1+4+1=1−1+1+4−4+1=5﹣（1+1+4+1），∵a +b ＝2，∴a +1+b +1＝4，1+1+4+1=14（1+1+4+1）（a +1+b +1）=14（1+4++1+1+4(+1)+1），+1+1+4(+1)+1≥24=4（当且仅当+1+1=4(+1)+1，即a =13，b =53时，等号成立），故14（1+4++1+1+4(+1)+1）≥14×9，即1+1+4+1≥94，故+1+4+1=5﹣（1+1+4+1）≤11419．已知x ，y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】x ，y 为正实数，利用基本不等式求162y x x x y++的最小值．【详解】x ，y 为正实数，则2161622622yx y xx x x yx x y ++=+-≥=++，当且仅当2162x y xx x y+=+，即2y x =时等号成立．最小值为6【巩固练习1】已知1a b c ++=，其中a ，b ，0c >，则19a b c++的最小值为．【答案】16【解析】因为1a b c ++=，,,0a b c >，则19199[()]()10b c a a b c a b c a b c a b c ++=+++=+++++1016≥+=，当且仅当9b c a a b c +=+，即13,44a b c =+=时取等号，所以19a b c++的最小值为16【巩固练习2】已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【解析】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。

热点：关于多种在实际问题中求比的题型-2024年小升初数学(学生版)

热点：关于多种在实际问题中求比的题型-2024年小升初数学(学生版)

热点：关于多种在实际问题中求比的题型一、填空题。

1一本书已经看了310，把()看着单位“1”，剩下的占全书的()，看了的页数与剩下的页数比是()。

2把10克盐溶解于40克水中，盐与盐水的质量比为()，盐与水的比值是()。

3从甲地到乙地，快车用了36分钟，慢车用了54分钟，快车与慢车所用时间的比是()，速度的比是()。

4小正方形的边长是3厘米，大正方形的边长是5厘米，小正方形和大正方形的周长比是()，面积比是()。

5从书架的上层取出16放到下层，这时两层的本数相等。

原来上层和下层的本数比是()。

6甲筐梨的58与乙筐的47相等，则甲乙两筐梨的重量之比是()。

7甲、乙两个正方形边长的比是3∶2，这两个正方形的周长比是()，面积的比是()。

8叶平和王军一共有1020元。

若叶平的钱数增加14，王军的钱数增加19，则两个人拥有的钱数相等。

叶平有()元，王军有()元。

9张老师买了9支圆珠笔和6支钢笔，买两种笔所花钱数相等。

圆珠笔与钢笔的单价之比是()。

若圆珠笔的单价是4元，则钢笔的单价是()元。

10植树队要种300棵树。

甲队单独种，种完需要8天；乙队单独种，种完需要10天。

甲、乙两队的工作效率比是()；现在两队合种，几天能种完吗？列综合算式是()(只列式不计算)。

11从甲地到乙地，小李用了4小时，小张用了5小时。

小李和小张所用的时间比是()，小李和小张的速度比是()。

12客车23小时行40千米，货车56小时行25千米。

客车与货车的速度比是()。

13图①中，长方形长与宽的比是()，比值是()。

图②中，正方形的周长与边长的比是()，比值是()。

14加工同一种零件，李师傅15分钟可以完成，张师傅20分钟可以完成。

李师傅和张师傅加工这种零件所用时间的比是()，李师傅和张师傅工作效率的比是()。

15苹果的重量比橘子重15，那苹果的重量相当于橘子重量的 ，橘子相当于苹果的，苹果和橘子的重量比是()。

16完成一份稿件，甲用23小时，乙用25小时，甲、乙的工作效率的最简整数比是()，甲、乙的工作时间的最简整数比是()。

小升初数学热点题型 【数的运算】

小升初数学热点题型 【数的运算】

小升初数学热点题型二数的运算一、要点归纳：重点：四则运算的计算方法1.加减法的计算方法：都是把相同位数上的数相加减。

2.乘法的计算方法：计算小数乘法时，先按着整数乘法的计算方法算出积，再看两个因数中共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。

如果小数的数位不够，就在前面用“0”补足。

计算分数乘法时，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。

3.除法的计算方法：除数是整数时，按着整数除法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先移动小数点变成整数，被除数的小数点同时移动相同位数(位数不够时，用“0补足”)，然后按着整数除法计算。

难点：四则混合运算的计算顺序的掌握。

（一）复杂的分数、百分数应用题重点：难点：如何找出标准量与比较量（二）复合应用题的类型及解题步骤重点：1.行程问题--类型及数量关系如表类型数量关系式同时异地相向而行两地路程=速度和×相遇时间同时同地背向而行路程=速度和×时间同时异地同向而行(速度慢前、快后)追及路程=速度差×追及时间同时同地同向而行相差路程=速度差×时间基本类型已知甲、乙两数，求甲数比乙数多百分之几？已知甲、乙两数，求乙数比甲数少百分之几？已知一个数，求比这个数多(少)几(百)分之几的数是多少？已知比一个数多(少)几(百)分之几的数是多少，求这个数。

基本公式(甲数-乙数)÷乙数(甲数-乙数)÷甲数标准量×[1±几(百)分之几]比较量÷[1±几(百)分之几]2.工程问题的基本数量关系式如下：工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率1”。

难点：如果把工作总量看作单位“1”，那么工作效率可以表示为“工作时间3.倍数应用题：已知各数量间的倍数关系及其他条件,求各个数量大小的问题,叫倍数问题。

2024年浙江省中考数学热点题型五 归纳推理问题

2024年浙江省中考数学热点题型五 归纳推理问题

2024年浙江中考数学热点题型五归纳推理问题核心素养一杨辉三角与两数和的乘方【题源】七下P91阅读材料(回归教材)例1[中考预测]我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着a+b³=a³+3a²b+ 3ab²+b³展开式中的系数.请你猜想(a+b)⁵的展开式中含a³b²项的系数是1A.10B.12C.9D.8角”.它是古代重要的数学成就，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.请仔细观察，计算该图中第n行所有数字之和为()A.2ⁿ⁻²B.2n-1C.2nD.2n+12.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)"(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”，1a+b⁰=111a+b¹=a+b121a+b²=a²+2ab+b²1331a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³14641a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b¹1510105a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵……则(a+b)9展开式中所有项的系数和是A.128B.256C.512D.10243.把小于10的正整数按一定规律排列成如图所示的数表.若根据行列分布，正整数6对应的位置记为(2，3)，则位置(3，1)对应的正整数是.4.[中考预测]杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一行都表示((a+b)n(此处n=0, 1,2,3,4,…)的展开式中的系数.杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于其肩上的两数之和.a+b⁰=1a+b¹=a+ba+b²=a²+2ab+b²a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵(1)请你直接写出a+b⁶=_______________________________________________________________________;(2)杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数都是上一行组成的数与11的积，如121就是它的上一行组成的数11与11的积.按照这个规律，你可以直接写出11⁵=________________.5.如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的两数之和.表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a₁，第二个数记为a ₂，第三个数记为a₃，…第n个数记为a n，则a₄+a200=.6.杨辉三角形，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项和的乘方展开式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如下图的三角形解释二项和的乘方规律a+b¹=a+ba+b²=a²+2ab+b²a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴利用“杨辉三角”所蕴藏的规律，解决下列问题：(1)(a+b)6展开后的多项式为；(2)运用：若今天是星期四，则经过8⁴天后是星期，经过8100天后是星期.7.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的.如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的两数之和；图二是二项和的乘方(a+b)"(n为正整数)的展开式(按b的升幂排列).经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得：s+x15=a0+a1x+a2x2+⋯+a15x15.图一图二111a+b¹=a+b121a+b²=a²+2ab+b²1331a+b³=a³+3a²b+3ab²+b³14641a+b⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴15101051a+b⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab¹+b⁵……依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1,则a₂=;(2)若s=2,则a0+a1+a2+⋯+a15=___________________.核心素养二图形变化规律型问题【题源】七上P104第6题、P110第11题(回归教材)例2[中考预测]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接.若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要的张数为A.21B.22C.23D.248.[中考预测]根据图中箭头的指向规律,从11到12再到13,箭头的方向是以下图示中的9.观察前三个图形，利用得到的计算规律，计算第4个图形的结果为A.8B.2C.1D.1610.把灰色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个灰色三角形，第②个图案中有3个灰色三角形，第③个图案中有6个灰色三角形，…按此规律排列下去，则第⑤个图案中灰色三角形的个数为A.10B.15C.18D.21核心素养三实验与归纳推理【题源】七下P135阅读材料(回归教材)例3、观察下列各式的规律：①1×3−2²=3−4=−1;②2×4−3²=8−9=−1;③3×5−4²=15−16=−1.请按以上规律，写出第4个算式为：；用含有n的式子表示第n个算式为：.11.按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,…,第n个单项式是A.−2ⁿ⁻¹aB.(-2)n aC.2ⁿ⁻¹aD.2n a12.[中考预测]给定一列分式:3,−52,73,−94,(其中≠0),，用任意一个分式去除以它前面一个分式得到的结果是；根据你发现的规律，试写出第6个分式为.13.[中考预测]已知:₁=+1(≠0且≠−1),2=11−1,3=11−2,⋯,=11−K1,则₂₀₂₀=.14.[中考预测]观察以下等式:−1×12=−1+12,−2×23=−2+23,−3×34=−3+34,−4×45=−4+45,(1)依此规律进行下去，第5个等式为，猜想第n个等式为(n为正整数)；(2)请利用分式的运算，证明你的猜想.15.先阅读下面的材料，然后回答问题.方程+1=2+12的解为1=2,2=12;方程+1=3+13的解为1=3,2=13;方程+1=4+14的解为1=4,2=14;(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程+1=2019+12019的解是.(2)猜想关于x的方程−1=−13+3的解，并验证你的结论.(3)请仿照上述方程的解法，对方程+2r5r2=265进行变形，求出方程的解.核心素养四推理与论证例4、如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1,2,3,4,5,6的铁片.若把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的任意位置，则铁环上的铁片(无论沿铁环如何滑动)不可能排成的情形是16.如图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的张数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，则写出一种满足条件的购票先后顺序为.。

切线问题综合十一类题型(学生版)2025年高考数学热点题型

切线问题综合十一类题型(学生版)2025年高考数学热点题型

切线问题综合近5年考情(2020-2024)考题统计考点分析考点要求2024年甲卷第6题，5分考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参(1)求在某处的切线(2)设切点求过某点的切线以及公切线(3)利用切线的条数求参数范围2024年新高考I 卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I 卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I 卷第7题，5分热点题型解读（目录）【题型1】求在曲线上一点的切线【题型2】求过某点的切线【题型3】已知切线斜率求参数【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值【题型5】奇偶函数的切线斜率问题【题型6】切线斜率取值范围问题【题型7】公切线问题【题型8】由切线条数求参数范围【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题【题型11】牛顿迭代法核心题型·举一反三【题型1】求在曲线上一点的切线函数y =f (x )在点A (x 0 ，f (x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0)，抓住关键y 0=f (x 0)k =f (x 0)1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线f x =x6+3x-1在0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-322.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.233.已知曲线f x =x ln x在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为()A.-2B.-1C.1D.24.(23-24高三·福建宁德·期末)已知函数f x 在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0，则f -1+ f-1=()A.-1B.0C.1D.2【题型2】求过某点的切线【方法技巧】设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值．5.(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条6.(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．7.已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为()A.1e ,-1B.e,1C.1e,1D.0,18.(2024·山西吕梁·二模)若曲线f x =ln x在点P x0,y0处的切线过原点O0,0，则x0=.9.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.10.(23-24高三·广东·期中)过点P1,1作曲线y=x3的两条切线l1，l2.设l1，l2的夹角为θ，则tanθ= ()A.513B.713C.913D.1113【题型3】已知切线斜率求参数已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．11.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知曲线f x =ln x +x 2a 在点1,f 1 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.12.(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线y =x 2-3ln x 的一条切线方程为y =-x +m ，则实数m =()A.-2B.-1C.1D.213.(2024·全国·高考真题)若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln (x +1)+a 的切线，则a =.14.(23-24高三·山西晋城·期末)过原点O 作曲线f (x )=e x -ax 的切线，其斜率为2，则实数a =()A.eB.2C.e +2D.e -215.(2024·四川·模拟预测)已知m >0,n >0，直线y =1ex +m +1与曲线y =ln x -n +3相切，则m +n =．16.(23-24高三·安徽合肥·期末)若函数f x =ln xx与g x =e x -a -b 在x =1处有相同的切线，则a +b =()A.-1B.0C.1D.217.(2024·河北沧州·模拟预测)已知直线l :y =kx 是曲线f x =e x +1和g x =ln x +a 的公切线，则实数a =．【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.18.(23-24高三·安徽·阶段练习)已知P 是函数f x =e x +x 2图象上的任意一点，则点P 到直线x -y -9=0的距离的最小值是()A.32B.5C.6D.5219.(23-24高三·广东惠州·阶段练习)已知点P 在函数f x =e 2x +x +9的图象上，则P 到直线l :3x -y -10=0的距离的最小值为．20.(23-24高三·河南南阳·阶段练习)点P 是曲线f (x )=x 上一个动点，则点P 到直线x -y +2=0的距离的最小值是()A.728B.74C.324D.3421.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)曲线y =ln (3x -2)上的点到直线3x -y +7=0的最短距离是()A.5 B.10C.35D.122.(23-24高三·河南·阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点P 是曲线y =3ln x -12x 2上任意一点，则P 到直线4x -2y +5=0的距离的最小值为.23.(2024·山西朔州·模拟预测)已知A ，B 分别为曲线y =2e x +x 和直线y =3x -3上的点，则AB 的最小值为.【题型5】奇偶函数的切线斜率问题奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.24.已知f x 为奇函数，且当x <0时，f x =xe x，其中e 为自然对数的底数，则曲线f x 在点1,f 1 处的切线方程为．25.(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f x 是偶函数，当x >0时，f x =x 3+2x ，则曲线y =f x 在x =-1处的切线方程为()A.y =-5x -2B.y =-5x -8C.y =5x +2D.y =5x +826.(2024·湖北·一模)已知函数f x 为偶函数，其图像在点1,f 1 处的切线方程为x -2y +1=0，记f x的导函数为f x ，则f -1 =()A.-12B.12C.-2D.227.已知f x 是奇函数，当x <0时，f x =xx +2，则函数f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.2x -y +1=0B.x -2y +1=0C.2x -y -1=0D.x +2y -1=028.(23-24高三·河南洛阳·期末)已知函数g x 为奇函数，其图象在点a ,g a 处的切线方程为2x -y +1=0，记g x 的导函数为g x ，则g -a =()A.2B.-2C.12D.-1229.(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (-x )+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是()A.3x -y -2=0B.3x +y -2=0C.3x +y +2=0D.3x -y +2=030.(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-231.(23-24高三·广东深圳·期中)已知函数f x =e x ln x 与偶函数g x 在交点1,g 1 处的切线相同，则函数g x 在x =-1处的切线方程为()A.ex -y +e =0B.ex +y -e =0C.ex -y -e =0D.ex +y +e =0【题型6】切线斜率取值范围问题利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率32.点P 在曲线y =x 3-x +23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.0,π2B.π2,3π4C.3π4,π D.0,π2∪3π4,π33.(2021·河南洛阳·二模)已知点P 在曲线y =x 3-x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是.34.过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为()A.0,3π4B.0,π2 ∪3π4,π C.3π4,πD.π2,3π435.(22-23高三·江苏镇江·阶段练习)点P 在曲线y =x 3-33x +14上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.5π6,π B.2π3,π C.0,π2 ∪5π6,π D.-π6,π2【题型7】公切线问题公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．公切线问题主要有以下3类题型(1)求2个函数的公切线解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解(2)2个函数存在公切线，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题36.(浙江绍兴二模T 15)与曲线y =e x和y =-x 24都相切的直线方程为.37.(2024·广东茂名·一模)曲线y =ln x 与曲线y =x 2+2ax 有公切线，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-12B.-12,+∞ C.-∞,12D.12,+∞ 38.(2024·福建泉州·模拟预测)若曲线y =x 2与y =te x t ≠0 恰有两条公切线，则t 的取值范围为()A.0,4e 2B.4e 2,+∞C.-∞,0 ∪4e2,+∞D.-∞,0 ∪4e 239.(23-24高三·江西吉安·期末)函数f(x)=2+ln x与函数g(x)=e x公切线的斜率为()A.1B.±eC.1或eD.1或e240.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f x =e x与曲线g x =ln x+2的公切线，则a+b的值为.41.已知直线l与曲线C1:y=x2和C2:y=-1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42.已知函数f x =mx+ln x,g x =x2-mx，若曲线y=f x 与曲线y=g x 存在公切线，则实数m的最大值为．43.(2024·湖南长沙·三模)斜率为1的直线l与曲线y=ln x+a和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为()A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或144.(长沙雅礼中学月考(六))已知函数f x =2ln x，g x =ax2-x-12a>0，若直线y=2x-b与函数y=f x ，y=g x 的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则a的取值范围是【题型8】由切线条数求参数范围设切点为P(x0 ， y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值，有多少个解对应有多少条切线．45.(2022年新高考全国I卷数学真题)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．46.(2024·河南信阳·模拟预测)若过点1,a仅可作曲线y=xe x的两条切线，则a的取值范围是. 47.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数f(x)=-x3+2x2-x，若过点P1,t可作曲线y=f x 的三条切线，则t的取值范围是48.(23-24高三·湖北武汉·阶段练习)已知过点A a,0可以作曲线y=x-1e x的两条切线，则实数a的取值范围是()A.1,+∞B.-∞,-e ∪2,+∞C.-∞,-2 ∪2,+∞D.-∞,-3 ∪1,+∞49.(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点3,0 作曲线f x =xe x 的两条切线，切点分别为x 1,f x 1 ，x 2,f x 2 ，则x 1+x 2=()A.-3B.-3C.3D.350.(2024·宁夏银川·二模)已知点P 1,m 不在函数f (x )=x 3-3mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与f (x )的图象相切，则实数m 的取值范围为()A.0,14 ∪14,12B.(-∞,0)∪14,+∞ C.0,14 ∪14,+∞ D.-∞,14 ∪12,+∞ 51.(2024·内蒙古·三模)若过点a ,2 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则a 的取值范围为()A.-∞,e 2B.-∞,ln2C.0,e 2D.0,ln252.已知点A 在直线x =2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y =x 3-x 相切，则点A 的轨迹长度为()A.2B.4C.6D.853.若曲线f x =xe x有三条过点0,a 的切线，则实数a 的取值范围为()A.0,1e 2B.0,4e 2C.0,1eD.0,4e54.若过点a ,b 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则()A.e b >0>aB.ln a >0>bC.e b >a >0D.ln a >b >055.(2024高三·辽宁本溪·期中)若过点1,b 可以作曲线y =ln x +1 的两条切线，则()A.ln2<b <2B.b >ln2C.0<b <ln2D.b >1【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.56.(2024·河北邢台·二模)已知函数f x =x 2+2ln x 的图像在A x 1,f x 1 ，B x 2,f x 2 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()A.x1+x2=2B.x1+x2=103C.x1x2=2 D.x1x2=10357.已知函数f x =a-3x3+a-2x2+a-1x+a若对任意x0∈R，曲线y=f x 在点x0,f x0和-x0,f-x0处的切线互相平行或重合，则实数a=()A.0B.1C.2D.358.(2024·辽宁·二模)已知函数y1=x12的图象与函数y2=a x(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a=，切线方程为.59.(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x+a2+ln x的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线y=f x 在点A,B处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是()A.-∞,1-2B.1-2,0C.-∞,1+2D.0,1+260.(23-24高三·辽宁·阶段练习)已知函数f x =x m-e x，曲线y=f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=x平行，则实数m的取值范围是()A.1-e-2,1B.-1-e-2,-1C.-e-2,0D.1-e-2,+∞61.(2024·河南·三模)已知函数f(x)=x+12e x,x>0,x3,x<0,点A，B在曲线y=f(x)上(A在第一象限)，过A，B的切线相互平行，且分别交y轴于P，Q两点，则BQAP的最小值为．62.(2024·北京朝阳·一模)已知函数f x =12sin2x.若曲线y=f x 在点A x1,f x1处的切线与其在点B x2,f x2处的切线相互垂直，则x1-x2的一个取值为.【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.63.(2024·全国·模拟预测)若直线y=2x-b与曲线f(x)=e2x-2ax(a>-1)相切，则b的最小值为()A.-eB.-2C.-1D.064.(2024·重庆·模拟预测)已知直线y=ax+b与曲线y=e x相切于点x0,e x0，若x0∈-∞,3，则a+b的取值范围为()A.-∞,eB.-e 3,eC.0,eD.0,e 365.(2024·广东广州·模拟预测)已知直线y =kx +b 恒在曲线y =ln x +2 的上方，则bk的取值范围是()A.1,+∞B.34,+∞C.0,+∞D.45,+∞66.已知直线y =kx +b 与函数f x =12x 2+ln x 的图象相切，则k -b 的最小值为．67.对给定的实数b ，总存在两个实数a ，使直线y =ax -b 与曲线y =ln x -b 相切，则b 的取值范围为.【题型11】牛顿迭代法数形结合处理68.(23-24高三·河南郑州·期中)“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r 是函数f x 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r 的实数x 0，x 1，x 2，⋯，x n ，其中x 1是f x 在x =x 0处的切线与x 轴交点的横坐标，x 2是f x 在x =x 1处的切线与x 轴交点的横坐标，⋯，依次类推．当x n -r 足够小时，就可以把x n 的值作为方程f x =0的近似解．若f x =115x 3-35x 2+2x -125，x 0=4，则方程f x =0的近似解x 1=．69.(2024·山东潍坊·三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0,f x 的图象在点x 0,f x 0 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1,f x 的图象在点x 1,f x 1 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1,x 2,⋯,x n ，它们越来越接近r ．设函数f x =x 2+bx ，x 0=2，用牛顿迭代法得到x 1=1619，则实数b =()11A.1B.12C.23D.3470.牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0，f x 的图象在横坐标为x 0的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1，f x 的图象在横坐标为x 1的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1，x 2，⋯，x n ，它们越来越接近r ．若f x =x 2-2x >0 ，x 0=2，则用牛顿法得到的r 的近似值x 2约为()A.1.438B.1.417C.1.416D.1.37571.(2023·湖北咸宁·模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton -Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r 是f x =0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，过点x 0,f x 0 作曲线y =f x 的切线l ：y -f x 0 =f x 0 x -x 0 ，则l 与x 轴交点的横坐标为x 1=x 0-f x 0 f x 0f x 0 ≠0 ，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x n +1=x n -f x n f x nf x n ≠0 ，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f x =ln x +x -3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)A.2.207B.2.208C.2.205D.2.20472.(多选)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法--牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是f x =0的根，首先选取x 0作为r 的初始近似值，在x =x 0处作f x 图象的切线，切线与x 轴的交点横坐标记作x 1，称x 1是r 的一次近似值，然后用x 1替代x 0重复上面的过程可得x 2，称x 2是r 的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数x 0,x 1,x 2,⋯,x n ,⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x n-1,x n n∈N∗近似值相等时，该值即作为函数f x 的一个零点r，若使用牛顿法求方程x2=3的近似解，可构造函数f(x)=x2-3，则下列说法正确的是()A.若初始近似值为1，则一次近似值为3B.x4=x0-f x0f x0-f x1f x1-f x2f x2-f x3f x3C.对任意n∈N∗，x n<x n+1D.任意n∈N∗，x n+1=12x n+32x nx n≠012。

七年级数学下册-两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)(解析版)

七年级数学下册-两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)(解析版)

第01讲两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01相交线1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O2.对顶角的概念及性质对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.3.互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点02垂线1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线l的距离，此时线段AB叫垂线段.题型01对顶角的定义【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，1∠为对∠，2顶角的是（）A．B．C．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【详解】解：根据对顶角的定义，只有B 选项正确，故选：B ．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．【详解】解：A 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意；B 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不符合题意；C 、1∠的两边分别是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠是对顶角，故该选项符合题意；D 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意．故选：C ．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，1∠和2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．【详解】解：根据对顶角的定义：A ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；B ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；C ．1∠和2∠的两边互为反向延长线，是对顶角；D ．1∠和2∠的顶点不同，不是对顶角；故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．题型02利用对顶角相等求角度A．145︒B【答案】D【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到A．20︒B【答案】C【分析】首先根据AOC∠【答案】40︒/40度【分析】本题考查了对顶角的知识，根据∠【详解】解：1，3∠题型03求一个角的余角、补角题型04垂线的定义的理解与应用【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ⊥于点B ，90APC ∠=︒，则下列结论中正确的是（）①线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离；②线段AP 是A 点到直线PC 的距离；③在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长度是点P 到直线l 的距离A ．①②③B ．③④C ．①③D ．①②③④【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．【详解】解：∵PB l ⊥于点B ，∴线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离，故①正确，④错误；∵90APC ∠=︒，∴线段AP 的长度是A 点到直线PC 的距离，故②错误；根据垂线段最短，在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短，故③正确；故选：C ．【变式训练】1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l 是起跳线，则需要测量的线段是（）A ．AEB ．AC C ．AD D ．BE【答案】B 【分析】利用垂线段最短求解．【详解】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是AC ，故选：B ．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（）A ．点B 到AC 的垂线段是线段ABB ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、点B 到AC 的垂线段是线段AB ，正确，故此选项不符合题意；B 、点C 到AB 的垂线段是线段AC ，正确，故此选项不符合题意；C 、线段AD 是点A 到BC 的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；D 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段，正确，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．题型05利用垂线的定义求角的度数【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线、AB CD 相交于点O ，EO OF ⊥，且OC 平分AOE ∠，若36BOF ∠=︒．(1)求AOC ∠的度数；(2)写出DOF ∠的度数是________°【答案】(1)63AOC ∠=︒(2)27【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义；（1）先由垂直求出∠BOE ，再由平角求出1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：OA OB ⊥，射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，OD 平分BOC ∠．(1)如图，若40BOC ∠=︒，求AOD ∠．同理得AOD AOB ∠=∠+综上所述，AOD ∠的度数为2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线(1)图中与1∠相等的角是(2)若155AFD ∠=︒，求∠【答案】(1)23∠∠，；(2)115︒．（2）∵155AFD ∠=︒，∴180********BFD AFD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵EF AB ⊥，∴90BFE ∠=︒，∴2590115DFE BFD BFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．题型06作垂线与求点到直线的距离(1)画线段AB ，画直线(2)过点D 画直线AC 的垂线，垂足为(3)点D 到直线AC 的距离为线段【答案】(1)见解析(2)见解析（3）点D到直线AC的距离为线段DE的长度．故答案为：DE．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．(1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G；(2)过点A作直线AH AB⊥，垂足为A，直线AH交BC于点H；(3)点A到直线BC的距离等于__________个单位长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；（2）根据垂线的定义作出图形即可；（3）线段AG的长即为点A到直线BC的距离．【详解】（1）解：如图，直线AG即为所求．（2）解：如图，直线AH即为所求．（3）解：由（1）中图可得：点A到直线BC的距离等于2个单位长度．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．∠的边OB上的一点2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是AOB（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．(1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点E ；过点P 画OA 的垂线，垂足为F ；(2)线段PF 的长度是点P 到______的距离，线段______的长度是点E 到直线OB 的距离，所以线段PE PF OE 、、这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【答案】(1)图见解析(2)OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短【分析】（1）如图，找点C ，连接PC ，与OA 交点即为E ，过P 点作竖直的线，与OA 交点即为F ；（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：由题意作图如下，PE 是OB 的垂线，PF 是OA 的垂线．（2）解：线段PF 的长度是点P 到OA 的距离，线段PE 的长度是点E 到直线OB 的距离，由垂线段最短可知，PF PE OE <<，故答案为：OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短．【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，75BOC ∠=︒，射线ON 将AOD ∠分成两个角，且:2:3AON NOD ∠∠=．(1)求AON ∠的度数；(2)若OM 平分BON ∠，则OB 是COM ∠的平分线吗？判断并说明理由．【答案】(1)30AON ∠=︒(2)OB 是COM ∠的平分线，理由见解析1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点O ，OM CD ⊥，垂足为O ，28BOD =︒∠(1)求AOM ∠的度数．(2)若OA 平分MOE ∠，求∠BOE 的度数．【答案】(1)62︒(2)118︒【分析】（1）由垂直的定义和对顶角相等，求解即可；（2）由角平分线的定义，邻补角的性质，即可求解．【详解】（1）解：因为OM CD ⊥，所以90MOC ∠=︒因为28AOC BOD ∠=∠=︒，所以902862AOM ∠=︒-︒=︒．（2）因为OA 平分MOE ∠，所以62EOA AOM ∠∠==︒．因为180BOE AOE ∠+∠=︒，所以18062118BOE ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了垂线，对顶角相等，邻补角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于O ，OF ，OD 分别是AOE ∠，∠BOE 的平分线．(1)写出DOE ∠的两个补角；(2)若62BOE ∠=︒，求AOD ∠和EOF ∠的度数；(3)试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？【答案】(1)COE AOD∠∠，(2)14959AOD EOF ∠=︒∠=︒，(3)垂直，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义结合邻补角的性质即可解答；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质解答即可；（3）根据角平分线的定义和邻补角的性质可得90DOF ∠=︒，即可得出结论．【详解】（1）∵OD 是∠BOE 的平分线，∴DOE BOD ∠=∠，∵180,180DOE COE BOD AOD ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DOE ∠的两个补角为：COE AOD ∠∠，；（2）∵OD 是∠BOE 的平分线，62BOE ∠=︒，∴31BOD DOE ∠=∠=︒，180118AOE BOE ∠=︒-∠=︒，∴180149AOD BOD ∠=︒-∠=︒；∵OF 是AOE ∠的平分线．（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：∵OF，OD分别是AOE∠∴1,2DOE BOE EOF ∠=∠∠∴DOF DOE EOF∠=∠+∠即射线OD与OF互相垂直．【点睛】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和垂直的定义，属于基础题型，熟练掌握角平分线的定义等基本知识是关键．一、单选题1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对顶角的定义判断即可．【详解】解：A、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；B、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；C、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；D、1∠与2∠是对顶角，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是关键．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOC ∠，若:2:5BOD BOE ∠∠=，则AOE ∠的大小为（）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．105︒【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到COE BOE ∠∠=，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出BOD ∠，根据对顶角相等求出AOC ∠，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设2BOD x ∠=，:2:5BOD BOE ∠∠=，5BOE x ∠∴=，OE 平分BOC ∠，5COE BOE x ∠∠∴==，255180x x x ∴++=︒，解得，15x =︒，即30BOD ∠=︒，75COE ∠=︒，30AOC BOD ∠∠∴==︒，105AOE COE AOC ∠∠∠∴=+=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为180︒是解题的关键．3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，则下列说法正确的是（）A ．线段AC 的长表示点C 到AB 的距离B ．线段CD 的长表示点A 到CD 的距离C ．线段BC 的长表示点B 到AC 的距离D ．线段BD 的长表示点C 到DB 的距离【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、线段AC 的长表示点A 到BC 的距离，故A 不正确，不符合题意；B 、线段CD 的长表示点C 到AB 的距离，故B 不正确，不符合题意；C 、线段BC 的长表示点B 到AC 的距离，故C 正确，符合题意；D 、线段BD 的长表示点B 到CD 的距离，故D 不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离．4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，DOE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．56︒【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，角度的计算，余角定义，邻补角定义．根据题意先计算出56EOF ∠=︒，再利用角平分线性质得到112BOE ︒∠=，即可计算出本题答案．【详解】解：∵DOE ∠是直角，34COF ∠=︒，直线AB 和CD 相交于点O ，∴90EOC ∠=︒，∴56EOF EOC COF ∠=∠-∠=︒，∵OF 平分AOE ∠，∴56AOF EOF ∠=∠=︒，∴112AOE ∠=︒，∴=180112=68BOE ∠︒-︒︒，∴906822BOD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知OA OB ⊥，直线CD 经过点O 且40AOC ∠=度，则BOD ∠等于（）A ．130︒B ．50︒C ．130︒或50︒D ．40︒【答案】C【分析】根据垂线的定义结合题意，分OC 在AOB ∠的内部时，OC 在AOB ∠的外部时，求解即可．【详解】解：当OC 在AOB ∠的内部时，∵40AOC ∠=︒，OA OB ⊥，∴90904050BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180********BOD BOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．当OC 在AOB ∠的外部时，180180409050∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BOD AOC AOB故选C．【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．二、填空题【答案】1.74【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是故答案为：1.74．【答案】70︒【分析】利用对顶角相等可得【详解】解：20BON ∠= ，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠-∠如图，，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠+∠综上所述，COE ∠的度数是故答案为：50︒或130︒．（1）AOM ∠的度数为（2）若OA 平分MOE ∠【答案】62︒/62【分析】（1）根据垂直的定义得出三、解答题(1)求AOM ∠的度数；(2)作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，求【答案】(1)25︒(2)65︒或165︒1306565COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=当射线OP 在BOC ∠外部时，如图：180********AOP BOP ∠=︒-∠=︒-︒=11550COP AOP AOC ∠=∠+∠=︒+︒=综上可知，COP ∠的度数为65︒或165︒12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，(1)已知35AOC ∠=︒，求(2)若:BOC BOD ∠∠=【答案】(1)55BOE ∠=(2)135AOE ∠=︒．∵90COE ∠=︒，∴9045135AOE COE AOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线AB 上有一点M ，请选择适当的工具作图，完成以下问题：(1)过点M 作射线AC 的垂线，垂足为点H ；(2)在线段HC 上任取一点N （不与H ，C 重合），连接MN ；(3)在线段MA ，MH ，MN 中，线段______最短，依据是__________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)MH ，垂线段最短【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；（2）根据平行线的作法作出平行线即可；（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，直线HM 即为所求；（2）解：如图所示，线段MN 即为所求；（3）解：∵MH ⟂AC ，∴MH AM <，MH MN <，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．故答案为MH ，垂线段最短．【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是BOC ∠的平分线，且::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=．(1)若BOC x ∠=︒，则DOF ∠=______︒，AOC ∠=_______︒；（用含x 的式子表示）(2)求AOD ∠的度数；(3)若:1:4,BOE BOF ∠∠=试判断OE 与OF 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)()2x ，()4x (2)36︒(3)垂直，见解析【分析】（1）根据::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=求解即可；（2）根据:1:4BOC AOC ∠∠=以及BOC ∠与AOC ∠互补可求出BOC ∠度数，最后根据对顶角的性质求解即可；（2）根据角平分线的定义求出∠BOE 的度数，结合:1:4BOE BOF ∠∠=求出BOF ∠的度数，即可求解．(1)图中AOF ∠的余角是（把符合条件的角都填出来）(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．(3)①如果160AOD ∠=︒．那么根据可得②如果4AOD EOF ∠=∠，求。

期末复习重要考点02 《整式的加减》十二大考点题型(热点题型+限时测评)(原卷版)

期末复习重要考点02 《整式的加减》十二大考点题型(热点题型+限时测评)(原卷版)

（人教版）七年级上册数学期末复习重要考点02《整式的加减》十二大重要考点题型【题型1用含字母的式子表示数量关系】1．（2023秋•和平区校级月考）某班有x个男生，其中女生人数占45%，那么这个班级共有（）人．A．45%B．（1﹣45%）x C．45%D．1−45%2．（2023秋•梁子湖区期中）某商店举行促销活动，其促销的方式为“消费超过100元时，所购买的商品按原价打九折后，再减少30元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（）A．90%（x﹣30）B．90%x﹣30C．10%x﹣30D．10%（x﹣30）3．（2023秋•梁子湖区期中）如图，池塘边有一块长为a米，宽为b米的长方形土地，现将其余三面都留出宽是1.5米的小路，中间余下的长方形部分做菜地，则菜地的周长为（）A．（a+2b﹣4）米B．（a+2b﹣12）米C．（2a+2b﹣9）米D．（2a+2b）米4．（2022秋•高新区期末）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（）A．25a元B．（25a+10）元C．（25a+50）元D．（20a+10）元5．（2022秋•靖远县期末）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（）A．11a﹣20B．11a+20C．11a﹣2D．11a+26．（2023•南岗区校级三模）随着通讯市场竞争的日益激烈，某品牌的手机价格春节期间降低了a元，五一前后又下调了25%，该手机现在的价格是b元，则原来的价格是元．7．（2023秋•临平区月考）一件商品每件成本a元，原来按成本价增加20%定出价格，现在由于库存积压减价，按原价打九折出售，现在每件可以盈利元．8．（2023秋•盐湖区期中）某公园准备修建一块长方形草坪，长为35m，宽为25m．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x m，则修建的十字路的面积是m2．（用含x的代数式表示）【题型2单项式、多项式、整式相关概念】1．（2023秋•娄底期中）在﹣a，2，2，2+3，m3n2，xy﹣1，0，52中，是单项式的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个2．（2023秋•梁子湖区期中）下列关于单项式−B23的说法中，正确的是（）A．系数是﹣3，次数是2B．系数是﹣3，次数是3C．系数是−13，次数是2D．系数是−13，次数是3 3．（2023秋•通道县期中）多项式2xy2−3237−1的次数是，常数项是．4．（2023秋•镇赉县校级期末）在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，5，x2+1r1，5x中，整式有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．（2022秋•市中区期末）下列叙述，错误的是（）A．单项式2x2y3的次数是5B．32是三次单项式，系数是3C．252−22+1是四次三项式D．有理数与数轴上的点一一对应6．（2023秋•南关区期末）将多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的升幂排列的结果是（）A．x3﹣9y﹣x2y3+3xy3B．x3﹣x2y3+3xy3﹣9yC．﹣9y+x3+3xy3﹣x2y3D．﹣9y+3xy3﹣x2y3+x37．（2022秋•富平县期末）多项式6x2+5xy2﹣4xy﹣3y2中所有二次项系数的和是（）A．4B．3C．2D．﹣18．下列说法：①2的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在1，2x+y，132，54，0中，整式有3个．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型3综合利用单项式、多项式的相关概念求值】1．若单项式−35B3的系数是m，次数是n，则m+n＝（）A．75B．115C．175D．1952．已知﹣4x2yz m是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（）A．1B．2C．3D．4 3．（2022秋•甘谷县校级期末）若52|U−14(+1)2−3是关于x、y的三次三项式，则m＝．4．（2023秋•双峰县期中）若x n+1+（m﹣1）x+8是关于x的三次二项式，则m＝，n＝．5．（2023秋•邹城市期中）已知m，n为常数，代数式2x2y+mx3﹣n y+xy化简之后为单项式，则m+n＝．6．（2022秋•秦都区期末）若关于x，y的多项式3x2﹣2x m+1y﹣1的次数是5，单项式﹣x的系数是n，求m+n的值．7．（2022秋•南江县校级月考）已知多项式﹣3x m+1y3+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，单项式3x3n y2的次数与这个多项式的次数相同．（1）求m，n的值；（2）把这个多项式按x降幂排列．8．已知：−12a2n b2﹣m是关于a，b的六次单项式，23a2b n+1+ab﹣2a2+b﹣5是关于a，b的四次多项式，求|m2﹣2m+n2|的值．【题型4合并同类项与去括号】1．（2022秋•南浔区期末）下列各式中是同类项的为（）A．5x2y与﹣3xy2B．xyz与﹣4xyC．﹣32与x2D．﹣3x2y与3x2y2．（2022秋•灵宝市期末）下列各组中的两项，不是同类项的是（）A．﹣x2y和2x2y B．23和32C．﹣m3n2与12m2n3D．2πR与π2R3．（2022秋•市中区期末）若﹣5a4b m﹣1与﹣a n b是同类项，则m﹣n的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣24．（2023秋•贵州期末）下列合并同类项的结果中，正确的是（）A．﹣3ab﹣3ab＝0B．y﹣3y＝﹣2yC．2m3+3m3＝5m6D．3a2﹣a2＝35．（2022秋•新会区期末）下列计算中，去括号正确的是（）A．﹣2（3x+1）＝6x﹣2B．﹣2（3x+1）＝6x+2C．﹣2（3x+1）＝﹣6x﹣2D．﹣2（3x+1）＝﹣6x+26．（2022秋•嵩县期末）下列各式中，去括号或添括号正确的是（）A．a2﹣（﹣b+c）＝a2﹣b+cB．﹣2x﹣t﹣a+1＝﹣（2x﹣t）+（a﹣1）C．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1D．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1）7．先去括号，再合并同类项：（1）3a﹣b+（5a﹣3b+3）；（2）（2b﹣3a）﹣（2a﹣3b+1）；（3）4x2+2（x2﹣y2）﹣3（x2+y2）．8．（2023秋•沙坪坝区校级月考）化简：（1）（m+n）﹣[3m+2（﹣m+n）]；（2）（4a2b2﹣5ab2）﹣（3a2b2+4ab2）；（3）3x2﹣{6xy+[4x2﹣8y2﹣（4xy﹣6y2）]﹣3x2}．【题型5整式的化简求值---直接代入求值】1．（2022秋•保亭县期末）先化简，再求值：3x2y2﹣（4xy2﹣3）+（﹣5xy2﹣3x2y2），其中x＝3，y＝﹣1．2．（2023秋•东丰县期末）先化简，后求值：3（a2﹣ab+7）﹣2（3ab﹣a2+1）+3，其中a＝2，b=13．3．（2023秋•昌邑区期中）先化简，再求值：3x2y﹣[3x2y﹣（2xy2﹣x2y）﹣4x2y]﹣xy2，其中x＝1，y＝﹣1．4．（2023秋•利辛县期中）先化简，再求值：32−[22−2(B−322)+B]+32，其中a为最小的正整数，b为最大的负整数．5．（2022秋•澄城县期末）先化简，再求值：5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]，其中a、b满足|a﹣2|+（b+1）2＝0．6．（2023秋•建昌县期中）求−13−2(+132)−(23+132)的值，其中（x﹣2）2+|y+1|＝0．7．（2022秋•安新县期末）已知A＝x2﹣3xy﹣y，B＝﹣x2﹣xy+3y．（1）①化简A+B；②当﹣ab y与122是同类项时，求A+B的值；（2）若x是﹣2的倒数，y是最大的负整数，求A﹣3B的值．【题型6整式的化简求值---整体代入求值】1．（2023秋•东丰县期末）已知3m2﹣2m＝1，则代数式9m2﹣6m﹣5的值是．2．（2023秋•天长市期中）若a2﹣2b2﹣2＝0，则﹣3a2+6b2+2023的值为．3．（2023秋•宝鸡期中）已知当x＝﹣3时，ax3﹣bx+5＝9，则x＝3时，ax3﹣bx+9的值为．4．（2023秋•北碚区校级期中）已知实数a，b，x，y满足a+b＝2，x+y＝3，ax+by＝4，则（a2+b2）xy+ab （x2+y2）＝．5．（2023秋•永福县期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（1）化简：2A﹣3B；（2）若+=−67，xy＝1，求2A﹣3B的值．6．已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求(7+4+B)−6(56+−B)的值．7．（2022秋•平定县期末）综合与探究【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）．【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题：（1）化简8（a+b）+6（a+b）﹣2（a+b）的结果是．（2）化简求值，9（x+y）2+3（x+y）+7（x+y）2﹣7（x+y），其中+=12．【拓展探索】（3）若x2﹣2y＝4，请求出﹣3x2+6y+2的值．【题型7整式加减中的错看问题】1．（2022秋•离石区期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+62．（2022秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（）A．x2+8x﹣4B．﹣x2+3x﹣1C．﹣3x2﹣x﹣7D．x2+3x﹣73．（2022秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（）A．8x2﹣2x﹣6B．14x2﹣12x﹣5C．2x2+8x﹣8D．﹣x2+13x﹣94．（2023秋•长春期末）有这样一道题目：“先化简，再求值：（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣2（x3﹣xy2+y3）+3（x2y﹣y3），其中=13，y＝﹣2．”粗心的龙龙在计算时把“x=13”错抄成“x=17”，但他计算的结果却是正确的．请通过计算说明理由，并求出这个代数式的值．5．（2023春•楚雄州期末）已知A＝3x﹣4xy+2y，小明在计算2A﹣B时，误将其按2A+B计算，结果得到7x+4xy﹣y．（1）求多项式B．（2）求2A﹣B的正确结果是多少？6．（2022秋•台山市期末）小红做一道数学题“两个整式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+2B的值“．小红误将A+2B看成A﹣2B，结果答案（计算正确）为﹣7x2+10x+12．（1）求整式A；（2）求出当x＝﹣3时，A+2B的值．【题型8整式加减中与某个字母（某项）无关问题】1．（2023秋•十堰期中）若代数式x2+ax﹣（bx2﹣x﹣3）的值与字母x无关，则a﹣b的值为（）A．0B．﹣2C．2D．12．（2023秋•禹州市期中）若多项式（2k+3）x2y+3x﹣7x2y﹣5y+1中不含x2y的项，则k的值为．3．（2022秋•蚌埠期末）已知A＝3a2﹣ab+b+2，B＝3a2﹣2ab+4b﹣1，若A﹣B的值与b无关，则a的值为．4．（2023秋•清苑区期中）已知代数式A＝4x2﹣mx+2m，B＝2x2﹣mx+x，若A﹣2B的值与x的取值无关，则m的值为（）A．3B．2C．1D．05．（2022秋•烟台期末）若代数式3x2+ax+4﹣（bx2+2x）的值与x的取值无关，化简求值：2（a2b+ab2）﹣3（a2b﹣3）﹣2ab2﹣1．6．（2023秋•天长市期中）已知：A＝2a2﹣5ab+3b，B＝4a2+6ab+8a．（1）化简：2A﹣B；（2）若a＝﹣2，b＝1，求2A﹣B的值；（3）若代数式2A﹣B的值与a无关，求此时b的值．【题型9整式加减与数轴、绝对值的结合】1．（2023秋•宁江区期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|的结果（）A．a﹣b B．b+c C．0D．a﹣c2．（2022秋•洪山区校级期末）数轴上，有理数a、b、﹣a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c﹣b|的结果为（）A．2a+2c B．2a+2b C．2c﹣2b D．03．（2023秋•东丰县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，求|a﹣b|﹣|b+c|+|a﹣b|﹣|c﹣b|的值．4．（2023秋•禹州市期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，若a＜0，b＜0，|a|＜|b|，c 为最小的正整数．（1）请在数轴上标出A，B，C三点的大致位置；（2）化简：|a﹣b|﹣2|b﹣a﹣c|+|b﹣2c|．5．（2022秋•黔西南州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：（1）用“＞”或“＜”填空a0，b0，c﹣b0，ab0．（2）化简：|a|﹣|b+c|﹣|a﹣c|．6．（2023秋•江都区期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|．（1）求a+b和的值；（2）填空：a0；a+b0；c﹣a0；c﹣b0；﹣2b0；（3）化简：|a|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|﹣|﹣2b|．【题型10利用整式加减解决实际问题】1．（2022秋•侯马市期末）长方形一边的长为3m+2n，与其相邻的另一边的长比它长m﹣n，则这个长方形的周长是（）A．7m+3n B．7m+5n C．14m+10n D．14m+6n2．（2023秋•临沭县期中）已知B，C，D三个车站的位置如图所示，B，C两站之间的距离是2a﹣b，B，D两站之间的距离是72a﹣2b﹣1，则C，D两站之间的距离是（）A．112a﹣3b﹣1B．32a+b+1C．32a﹣b﹣1D．32a﹣3b﹣13．（2022秋•涧西区校级期末）如图，两个矩形的一部分重叠在一起，重叠部分是面积是4的正方形，则阴影部分的面积为（）A．ab+cd﹣4B．ab+cd+4C．ab+cd﹣8D．ab+cd+84．（2023•青羊区校级自主招生）如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形得到一个如图2所示的图形，再将剪下的两个小长方形拼成如图3所示的一个新的长方形，则图3中的长方形的周长为（）A．2m﹣3n B．4m﹣8n C．2m﹣4n D．4m﹣10n5．（2022秋•安乡县期末）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为2a米，宽为b米，小正方形的边长为a米．（1）求剩余铁皮的面积；（2）当a=23，b＝1时，求剩余铁皮的面积．6．（2022秋•碑林区校级期中）某超市销售茶壶、茶杯，每只茶壶定价20元，每只茶杯定价4元．今年“双十一”期间开展促销活动，向顾客提供两种优惠方案：方案一：每买一只茶壶就赠一只茶杯；方案二：茶壶和茶杯都按定价的90%付款．某顾客计划到这家超市购买6只茶壶和x只茶杯（茶杯数多于6只）．（1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？（2）当x＝25时，若规定每位顾客只能在以上两种方案中任选一种，请通过计算说明该顾客选择上面两种购买方案中哪一种更省钱？7．（2022秋•安定区期末）某家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）．（1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？（2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？（3）当x为何值时，按两种优惠方案购买付款金额相同？【题型11利用整式加减进行新定义运算】1．现规定一种新的运算：=ad﹣cb，则B−32−2−2B−2−5的值是．2．（2023•任城区校级三模）定义：若a+b＝ab，则称a、b是“西溪数”，例如：3+1.5＝3×1.5，因此3和1.5是一组“西溪数”，若m、n是一组“西溪数”，则2mn﹣（3mn﹣m﹣n﹣6）的值为．3．（2023秋•长清区期中）定义新运算“⊗”与“⊕”：a⊗b＝2a+b，a⊕b＝a﹣2b．（1）请分别计算1⊗3和2⊕（﹣1）的值；（2）化简：[m⊗（﹣n）]﹣[（﹣n）⊕m]．4．（2023•陈仓区三模）一个三位数整数，a代表这个整数最左边的数，b代表这个整数最右边的数．若r2正好为剩下的中间数，则这个三位数就叫平衡数，例如：357满足3+72=5，357就是平衡数．（1）判断：468平衡数；（填“是”或“不是”）（2）证明：任意一个三位数的平衡数一定能被3整除．5．（2022秋•工业园区校级月考）定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7；3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11；5⊙4＝5×4+4＝24；4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．（1）请你想一想：a⊙b＝；（2）若a≠b，那么a⊙b b⊙a（填“＝”或“≠”）；（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．6．（2023秋•乐至县校级期中）对于任何数，我们规定：=ad﹣bc．例如：1234=1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．（1）按照这个规定，请你化简：−5284；（2）按照这个规定，当a2﹣4a+2＝0时，求+23−1−3的值．【题型12整式中的规律探究问题】1．（2023秋•天长市期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣2x，4x2，﹣6x3，8x4，﹣10x5，12x6，…按照上述规律，第2023个单项式是（）A．﹣4046x2022B．4046x2022C．﹣4046x2023D．4046x20232．（2022秋•舒城县期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为a1，记第二个数为a2，…，记第n个数为a n.通过计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…发现它们有一定的规律，由此规律推算a100的值应为（）A．5152B．5051C．4951D．48523．（2023秋•贵州期末）如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第⑲个图形中小圆圈的个数为（）A．60B．63C．66D．694．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．5．（2023•白银模拟）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第1个图形的周长为5，那么第个图形的周长为32．6．（2023秋•盐湖区期中）由白色小正方形和灰色小正方形组成的图形如图所示，则第n个图形中白色小正方形和灰色小正方形的个数总和为个．（用含n的代数式表示）7．（2023秋•连山区期中）下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第4个图形共有个★，第7个图形共有个★；（2）第n个图形中有★个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2023个★？1．（2022秋•岱岳区期末）一种商品进价为每件m元，按进价增加40%出售，后因库存积压降价，按售价的八折出售，此时售价为（）A．1.25m元B．1.12m元C．1.32m元D．0.98m元2．（2023秋•桐城市期中）下列说法正确的是（）A．2x3+1是单项式B．﹣a3的系数是1C．3m2﹣1是三次多项式D．2是单项式3．（2022秋•烟台期末）若﹣5x a+1y b﹣2与7x3y2是同类项，则a、b的值分别是（）A．a＝2，b＝4B．a＝4，b＝0C．a＝2，b＝﹣4D．以上都不对4．（2023秋•水城区期中）下列去括号正确的是（）A．﹣（a+b﹣c）＝﹣a+b﹣c B．﹣（a+b﹣c）＝﹣a﹣b+cC．﹣（﹣a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b﹣c5．（2023秋•灞桥区校级期中）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若A+2B的值与a的取值无关，则b的值为（）A．23B．13C．25D．356．（2022秋•河池期末）若A＝2x2+x+1，B＝x2+x，则A、B的大小关系（）A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．不能确定7．（2023秋•德惠市期末）某同学上学时步行，回家时乘车，路上共用a小时．如果往返都乘车，则共需b小时，那么往返都步行需要小时．8．（2022秋•海阳市期末）若多项式﹣2x|m|﹣（m﹣2）x﹣1是关于x的二次三项式，则m的值为．9．（2022秋•潍坊校级期末）已知x2﹣x﹣4＝0，则2﹣3x2+3x的值．10．（2023秋•温江区校级期中）化简下列式子：（1）3x﹣2y﹣x﹣6y+2；（2）（2a2+1）﹣（2﹣3a2）；（3）3（x2﹣2xy）﹣2（﹣3xy+y2）；（4）3m2n﹣[2m2n﹣（2mn﹣m2n）﹣4m2]．11．（2023秋•咸宁期中）已知关于x，y的多项式15r12+B−43+1（m是自然数）．（1）当m＝1时，该多项式是次项式；（2）该多项式的次数最小是次；（3）若该多项式是八次多项式，且单项式182K3与该多项式的次数相同，求（﹣m）3+2n的值．12．（2023秋•恩施市校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简|2b+c|+|a﹣2c|﹣|b+c﹣a|﹣|b﹣a|．13．（2022秋•仁怀市期末）先化简，再求值：3B2−2(2+32B2−2)，其中a，b满足：|+1|+(−12)2=0．14．（2023秋•靖江市校级期中）已知代数式A＝2m2+3my+2y﹣1，B＝m2﹣my．（1）化简3A﹣2（A+B）；（2）若（m﹣1）2+|y+2|＝0，求3A﹣2（A+B）的值；（3）若3A﹣2（A+B）的值与y的取值无关，求m的值．15．（2023秋•信丰县期中）【教材呈现】如图是人教版七年级上册数学教材76页的部分内容．把（a+b）和（x+y）各看作一个整体，对下列各式进行化简：4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（2+3﹣1）（a+b）＝4（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．（1）【问题解决】把（x﹣y）2看成一个整体，求将2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2合并的结果；（2）【简单应用】①已知a2+a＝1，则2a2+2a+2020＝；②已知a+b＝﹣3，求5（a+b）+7a+7b+11的值；（3）【拓展提高】已知a2﹣2ab＝﹣5，ab+2b2＝﹣3，求代数式32−92B+32的值．16．（2022秋•宁强县期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x＞20且为整数）．（1）用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算；（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．。

高考中函数与导数问题的热点题型

高考中函数与导数问题的热点题型

题型1
题型2
题型3
解
题型 3 利用导数研究不等式的有关问题 例 3 (2023·全国甲卷)已知 f(x)＝ax－csoins3xx，x∈0，π2. (1)若 a＝8，讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)＜sin2x 恒成立，求 a 的取值范围．
题型1
题型2
题型3
解
(1)f′(x)
＝
a
－
cosxcos3x＋3sinxcos2xsinx cos6x
题型1
题型2
题型3
解
当 b≥0 时，e2>4，4a<2，f(2)＝e2－4a＋b>0， 而函数 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数 f(x)在区间(0，＋∞) 上有一个零点． 当 b<0 时，令 H(x)＝ex－x－1，则 H′(x)＝ex－1， 当 x∈(－∞，0)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 当 x∈(0，＋∞)时，H′(x)>0，H(x)单调递增， 注意到 H(0)＝0，故 H(x)≥0 恒成立， 从而有 ex≥x＋1，
题型1
题型2
题型3
解 (1)当 a＝－2 时，f(x)＝ln x－2x－1x，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以 f′(x)＝1x－2＋x12＝－2x2x＋2 x＋1＝（2x＋1）x（2 －x＋1）. 令 f′(x)>0，解得 0<x<1，令 f′(x)<0，解得 x>1， 所以 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
当 a>12时， 若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0，f(x)单调递增，
若 x∈(0，ln (2a))，则 f′(x)<0，f(x)单调递减，

高考数学热点必会题型第9讲 导数处理双变量问题和双变量不等式(原卷版)

高考数学热点必会题型第9讲 导数处理双变量问题和双变量不等式(原卷版)

高考数学热点必会题型第9讲 导数处理双变量问题和双变量不等式——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、双变量不等式转化为单变量问题 【题型】二、双变量不等式中点型【题型】三、双变量不等式极值和差商积问题 【题型】四、双变量不等式主元法 【题型】五、同构函数法与双变量不等式 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、双变量不等式转化为单变量问题例1．（2022·全国·高三专题练习）若12ln xe x =，令21t x x =-，则t 的最小值属于（ ）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例2．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知函数()e 2xf x x =+-和()ln 2g x x x =+-，若()()120f x g x ==，则（ ）A ．122x x +=B ．110x 2<<C．12x x ⋅D ．1221ln ln x x x x <- 例3．（2022·北京十四中高三阶段练习）关于函数2()ln f x x x=+，给出如下四个命题：①2x =是()f x 的极大值点；②函数()y f x x =-有且只有1个零点； ③存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；④对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>； 其中的真命题有___________.例4．（2022·北京十四中高三阶段练习）关于函数2()ln f x x x=+，给出如下四个命题： ①2x =是()f x 的极大值点；②函数()y f x x =-有且只有1个零点； ③存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；④对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>； 其中的真命题有___________.例6．（2022·上海·上外附中高三阶段练习）已知函数()ln ,04,0x x x f x x e x ->⎧=⎨+≤⎩，若存在120,0x x ≤>，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的最小值为__________.【题型】二、双变量不等式中点型例7．（2021秋•山西期末）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． 例8．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数2()22(0)f x x ax lnx a =-+>． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()g x lnx bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，212()x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且1212()()2x x y x x g +=-'的取值范围是[31ln -，)+∞，求实数a 的取值范围． 例9．（2021秋•巴南区校级月考）已知函数()(f x lnx ax a =-为常数）．（1）当1a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）当322a时，设函数2()2()g x f x x =+的两个极值点1x ，212()x x x <满足1212lnx lnx t x x -=-，求121222()()3y x x t x x =--++的最小值．第二天学习及训练【题型】三、双变量不等式极值和差商积问题例10．（2022·全国·高三专题练习）若直线y ax =与曲线:ln C y x =相交于不同的两点11(,)A x y ，11(,)B x y ，曲线:ln C y x =在点A ，B 处的切线相交于点00(,)P x y ，则（ ）A ．1a e≤B ．120ex x x =C ．2AP BP k k a +>D ．2AP BP k k a +≤例11．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数1()ln 12f x x ax =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()()g x xf x =，若()g x 有两个极值点12,x x ，证明：212e x x >．【题型】四、双变量不等式主元法例12．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）若实数,x y 满足()24ln 2ln 284x y x y +≥+-，则（ ）A．xy =B．x y +=C．21x y +=+D ．21x y =例13．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x ，y ，使得等式2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．112e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．20e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．()20e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， D ．112e ⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，， 例14．（2022·全国·高三专题练习）已知大于1的正数a ，b 满足22ln a nb b e a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．11例15．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________． ①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2e xx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-第三天学习及训练【题型】五、同构函数法与双变量不等式例16．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知()()12()ln ,()e ,x a f x x x a g x x f x g x +=+-=+=，若121x x ≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,e]-∞ C ．(,1]-∞D ．[e,)+∞例17．（2022·江苏南京·高三开学考试）若函数()1e xf x x -=，()1ln xg x x =+，存在1x 、2x 使得()()12f x g x =，则下列说法不正确的是（ ） A ．若12x x >，则21x < B ．若12x x <，则11<x C ．存在12x x =D ．存在0x ，使得当10x x >，20x x >时，21x x -的值随着1x 、2x 的增大而增大 例18．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）若实数,x y 满足()24ln 2ln 284x y x y +≥+-，则（ ）A．xy =B．x y +=C．21x y +=+D ．21x y =例19．（2022·全国·高三专题练习）设实数0λ>，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．10eλ<≤B ．01e λ<≤-C ．0e λ<≤D ．20e λ<≤例20．（2022·全国·高三专题练习）若12ln xe x =，令21t x x =-，则t 的最小值属于（ ）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例21．（2022·全国·高三专题练习）若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 2x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．1eD ．12。

高考数学热点必会题型第5讲 导数中含参讨论问题总结(解析版)

高考数学热点必会题型第5讲 导数中含参讨论问题总结(解析版)

高考数学热点必会题型第5讲 导数中含参讨论问题总结——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结【题型】一、由函数的单调区间求参数第一天学习及训练例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞【答案】B【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到12和1是方程()0f x '=的两个根，代入解方程即可.【详解】由()2ln x ax f xx =++得()221x ax f x x++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12和1是方程2210x ax x++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A．1a > B ．1a ≥ C ．1a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32f x x ax bx c =+++，()g x 为()f x 的导函数．若()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ）A ．23a b -有最小值3B ．23a b -有最大值C ．()()010f f ⋅≤D ．()()010g g ⋅≥【答案】D【分析】由()f x 在(0，1)上单调递减，得到()00g b =≤，()1230g a b =++≤，即可判断D ；求出()()()2011f f c a b c ⋅=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅>，可否定C ；记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，利用数形结合求出，判断A 、B.【详解】由题意可得()()232g x f x x ax b ='=++.因为()f x 在(0，1)上单调递减，所以()0g x ≤在(0，1)上恒成立，即()00g b =≤，()1230g a b =++≤，所以()()010g g ⋅≥， 因为()()0,11f c f a b c ==+++，()f x 在(0，1)上单调递减， 所以1c a b c >+++，即10a b ++<，所以()()()()20111f f c a b c c a b c ⋅=+++=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅> 所以C 错误，D 正确. 记23z ab =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，作出可行域如图示：由2300a b b ++=⎧⎨=⎩解得：3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当抛物线21133a z b -=，经过点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时94z =最小，没有最大值.故A 、B 错误.故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 【答案】AD【分析】由条件可得()f x 在(1,)+∞上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a 的范围，由此确定正确选项.【详解】设1ln (1)y x x x =-->，则110y x'=->， 所以1ln y x x =--在(1,)+∞上单调递增，所以1ln 0x x -->， 所以ln 1,(1,)x x x <-∈+∞，∴0ln 1x x <<-， ∴110ln 1x x >>-． 又11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()21()1e 0x f x a x -=--≥'对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即211ex x a --≥恒成立．令111(),()ee x x xxg x g x ---='=，当1x >时，()0g x '<，故()(1)1g x g <=， ∴211a -≥，解得a ≥a ≤所以a 的值可以为， 故选：AD.【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先求出函数的定义域(0,)+∞，则有210k -≥，对函数求导后，令()0f x '=求出极值点，使极值点在(21,21)k k -+内，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以210k -≥，即12k ≥， 2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==， 令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去）， 因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数， 所以121212k k -<<+，得4143k -<<， 综上，1324k ≤<， 故选：D例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()324f x x ax x =-++在区间()0,2上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】将问题转化为()0f x '≥在()0,2上恒成立，采用分离变量法可得423a x x ≥-，由434x x-<可构造不等式求得结果. 【详解】()f x 在()0,2上单调递增，()23240f x x ax '∴=-++≥在()0,2上恒成立，即234423x a x x x-≥=-在()0,2上恒成立， 又43y x x =-在()0,2上单调递增，43624x x ∴-<-=，24a ∴≥，解得：2a ≥，即实数a 的取值范围为[)2,+∞. 故选：A.例7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）A ．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是[]1,2 B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x <D ．“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件【答案】BD【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出参数a 的范围，即可判断A ，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C ，求出函数的导数，由()0f x '≥恒成立求出a 的取值范围，再根据集合的包含关系判断D 即可； 【详解】解：对于A ：当B =∅，即23a a >+，解得3a >时满足B A ⊆， 当B ≠∅，因为B A ⊆，所以352223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得12a ≤≤，综上可得[][)1,23,a ∈+∞，故A错误；对于B ：由1a >，1b >则1ab >，故“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，即B 正确； 对于C ：命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤，故C 错误；对于D ：因为()()e 23xf x a x -=--，所以()()e 2x f x a =-'-，若()f x 在R 上单调递增，则()()e 20xf x a -'=-≥恒成立，所以20a -≤，解得2a ≤，因为(],2-∞ (],5-∞，所以“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：BD例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是___________【分析】原问题等价于()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数求最值即可.【详解】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2+136x π-≤-≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥m第二天学习及训练【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点 B ．当a<0时，()f x 无极大值点和极小值点 C ．当0a >时，()f x 有最大值 D ．当a<0时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【分析】讨论0a >、a<0，利用导数研究()f x 在定义域上的单调性，进而判断极值点及最值情况，即可确定答案. 【详解】由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误； 当a<0时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增；所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数()g x 的导函数，分解12a ≤和12a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥， 设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立，所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a<<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC【分析】根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解.【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.【题型】四、根据极值点求参数例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】B【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在(0,1)内，从而可求出b 的取值范围【详解】由题意，得2()33f x x b '=-，当0b ≤时，()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上递增，函数无极值， 所以0b >，令()0f x '=，则x ＝，∴函数在（）上()0f x '<，+∞）上()0f x '>，函数递增∴x =∴函数3()3f x x bx b =-+在区间（0，1）内有极小值，∴01， ∴b ∴（0，1） 故选：B ．例13．（2023·全国·高三专题练习）若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．1174【答案】C【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可. 【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =， 所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立， 故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C第三天学习及训练【题型】五、有导数求函数的最值（含参）例14．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12CD【答案】B【分析】由题意，函数()()22ln y f x g x x x =-=-的最小值即|MN |达到最小值时，再求导分析()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点即可【详解】设函数()()22ln y f x g x x x =-=-，求导数得()()212114x x y x x x+-'=-=因为0x >，故当102x <<时，0'<y ，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调减函数， 当12x >时，0'>y ，函数在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调增函数 所以x 12=为()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点.故当|MN |达到最小时t 的值为12． 故选：B ．例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm )的最大值为______.【答案】3【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，则BC =，5DG x =-， 进而算出三棱锥的高和体积，构造函数，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，求导，根据导函数的正负判断单调性进而求出最大值．【详解】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h 221)2ABCS==，则213ABC V Sh =⨯=45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()(2)80f x f ≤=，∴3V ，∴体积最大值为3．故答案为：3【点睛】思路点睛：本题将三棱锥体积的计算转化为利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求单调性的方法，属于中档题.例16．（2023·河北·高三阶段练习）R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，则a 的最大值为_____________．【答案】1【分析】R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，即R,2e 12x x x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，分1ln2x >和1ln2x ≤两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案. 【详解】解：R,2e 12xx x a ∀∈-≥+，即R,2e 12xx x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，当2e 10x ->，即1ln 2x >时，()2e 12xf x x =--，则()2e 2xf x '=-，当1ln02x <<时，()0f x '<，当0x >时，0f x ，所以函数()f x 在1ln ,02⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()0,∞+上递增，所以当1ln 2x >时，()()min 01f x f ==，当2e 10x -≤，即1ln2x ≤时，()12e 2xf x x =--， 因为函数2e ,2x y y x ==为增函数，所以函数()12e 2xf x x =--在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当1ln2x ≤时，()min 1ln ln 412f x f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 综上所述，()()min 01f x f ==， 所以1a ≤， 即a 的最大值为1. 故答案为：1.【题型】六、已知函数最值求参数例17．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数()ln f x x ax =+存在最大值0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1e-C ．1D ．e【答案】B【分析】讨论a 与0的大小关系确定()f x 的单调性，求出()f x 的最大值. 【详解】因为()1f x a x'=+，0x >， 所以当0a ≥时，0fx恒成立，故函数()f x 单调递增，不存在最大值；当a<0时，令()0f x '=，得出1x a=-，所以当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0fx ，函数单调递增，当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，所以() max11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：=a 1e -. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22exx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】求得()22exx a f x -++'=，根据()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值，得到()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，根据()0g a <且()10g a +>，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()22exx x a f x +-=，可得()22e x x af x -++'=， 且()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值， 即()f x '在区间(,1)a a +上存在0(,1)x a a ∈+， 使得()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，即满足()0g a <，且()10g a +>，可得()()2220110g a a a g a a a ⎧=-++<⎪⎨+=--+>⎪⎩1a <<-，即实数a 的取值范围是1⎫-⎪⎪⎝⎭. 故选：D.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 【答案】CD【分析】解方程()0f x =判断A ；利用导数探讨()f x 的极值判断B ；分析函数()f x 的性质，借助图象判断C ；由25(2)e f =结合取最大值的x 值区间判断D 作答.【详解】对于A ，由()0f x =得：210x x +-=，解得x =A 不正确；对于B ，对()f x 求导得：22(1)(2)()e ex xx x x x f x '--+-=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，B 不正确；对于C ，由选项B 知，作出曲线()y f x =及直线y k =，如图，观察图象得当e 0k -<<时，直线y k =与曲线()y f x =有2个交点，所以当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，C 正确； 对于D ，因25(2)e f =，而函数()f x 在(2,)+∞上单调递减，因此当[,)x t ∈+∞时，max25()e f x =， 当且仅当2[,)t ∈+∞，即2t ≤，所以t 的最大值为2，D 正确.故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.第四天学习及训练【题型】七、参变分离法解决导数问题例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 等价于ln 34ln x k x x x<++对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 令ln 3()ln x f x x x x =++，则2221ln 13ln 2()x x x f x x x x x ---'=+-= 令()ln 2g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-=> 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=-> 所以()g x 在()3,4有且仅有一个根0x ，满足00ln 20x x --=，即00ln 2x x =- 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减， 0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0min 000000231()()21x f x f x x x x x x -==+-+=+-由对勾函数可知001113114134x x +-<+-<+-，即0713()34f x << 因为04()k f x <，即0()4f x k <，0()71312416f x <<，Z k ∈ 所以0k ≤. 故选：C例21．（2023·全国·高三专题练习）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1(2,1)x ∈-- B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B【分析】A 选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出1x 的取值情况；B ，C ，D 选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误. 对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2a y =与ln ()xg x x =的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.例22．（2023·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z ++=表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点(,,)P x y z 是二次曲面22420x xy y z -+-=上的任意一点，且0x >，0y >，0z >，则当zxy取得最小值时，不等式ln e 3022xa yx za +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e,)-+∞ 【分析】先通过zxy取得最小值这个条件找出当,,x y z 的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.【详解】根据题意22420x xy y z -+-=，带入z xy 可得：2224212222z z x xy y x y xy xy xy y x -+===+-，而0x >，0y >，利用基本不等式222x y y x +≥=，当22x y y x =，即2y x =取得等号，此时22224246z x x x x x =-⋅+=，即23z x =，综上可知，当z xy 取得最小值时，223y x z x =⎧⎨=⎩，带入第二个式子可得，2e ln 02x a x ax x +-≥，即e ln 0x ax a x x +-≥，于是ln e ln (ln )0xx x ax a x e a x x x-+-=+-≥，设()ln u u x x x ==-，11()1x u x x x -'=-=，故当1x >时，()u x 递增，01x <<时，()u x 递减，min ()(1)1u x u ==；于是原不等式转化为1u ≥时，0u e au +≥恒成立，即u e a u -≤在1u ≥时恒成立，设()u e h u u=(1)u ≥，于是2(1)()0u e u h u u -'=≥，故()h u 在1u ≥时单调递增，min ()(1)h u h e ==，故a e -≤，a e ≥-即可.故答案为：[e,)-+∞ 【点睛】本题e ln 0xax a x x+-≥恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∴R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∴（﹣1，0）B ．（0，1）∴（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∴（0，1）D ．（﹣1，0）∴（1，+∞）【答案】D【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∴当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∴函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∴不等式f （x ）＞0∴x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∴（1，+∞），故选：D ．例24．（2023·全国·模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ）A ．2e e 2>B ．2ln 23>C ．ln π1πe <D ．ln 2ln π2π> 【答案】ABC【分析】令()()eln 0f x x x x =->，利用导数研究函数的单调性，进而可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ；令()()ln 0x g x x x =>，利用导数研究函数的单调性，进而可判断CD ；【详解】对于A ：设()()eln 0f x x x x =->，则()()e e 10x f x x x x -'=-=>， 当0e x <<时，0f x ，函数单调递增；当e x >时，()0f x '<，函数单调递减； 所以()()e elne e 0f x f <=-=，所以()()2eln 22e 0f f =-<=，即2>eln 2，所以 2e e 2>，故A 正确；对于B ：因为28e >，所以2ln8ln e >，所以3ln 22>，即2ln 23>，故B 正确；对于CD ：设()()ln 0x g x x x =>，()21ln x g x x-'=， 当0e x <<时，()0g x '>，函数单调递增；当e x >时，()0g x '<，函数单调递减； 所以()()e πg g >，即ln π1πe<，故C 正确； 又()()()e π4g g g >>，所以ln πln 4ln 2π42>=，故D 错误； 故选：ABC 第五天学习及训练【题型】九、构造函数法解决导数问题例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D 【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知e ,3,e a b c πππ===，则它们的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】C【分析】由y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，可得到b c >，设()eln f x x x =-，利用导数求得函数()f x 单调递增，可得eln 0ππ->，进而得到c a >，即可求解.【详解】由函数y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，因为3e >，所以3e ππ>，即b c >，设()eln f x x x =-，可得()e 1f x x '=-， 令()e 10f x x '=-=，解得x e =， 当e x >时，0f x ，()f x 单调递增，可得()()e 0f f π>=，即eln 0ππ->，即eln ππ>，两边取e 的指数，可得e e ππ>，即c a >，所以b c a >>.故选：C.例27．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．e 3⎛ ⎝ 【答案】C【分析】构造函数()()3e xf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解. 【详解】解：令()()3e x f x g x =，则()()()33e xf x f xg x '-'=，因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '-'=>， 所以函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭， 所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 即1ln 3x <，解得0x << 所以不等式()3ln f x x <的解集为(. 故选：C.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()()e 1,1ln x f x x g x x x =+=+，若()()120f x g x =>，则21x x 可取（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】CD 【分析】由()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+，利用同构结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到12ln x x =，则()12111e ,0x x x x x =>，记e (),(0)x h x x x=>，求出()h x '即可判断()h x 在(0,)+∞上的单调性，即可得出21e x x ≥，由此即可选出答案. 【详解】因为()()120f xg x =>，所以120,1x x >>，因为()e ()0e e 111x x x x x x f =+'+++>=恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+，因为()()12f x g x =，即()()12ln 12e 1ln e 1x x x x +=+，所以1122ln e x x x x =⇒=， 所以()12111e ,0x x x x x =>， 记e (),(0)xh x x x=>， 所以2(1)()x e x h x x '-= 当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(1)e h x h ≥=，即21e x x ≥ 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+变形为()()e 1x f x x =+的结构，是解本题的关键.。

2024届高考数学专项练习解三角形“热考”十点(解析版)

2024届高考数学专项练习解三角形“热考”十点(解析版)

解三角形“热考”十点热点题型速览热点一 三角形中边角计算热点二 判断三角形的形状热点三 三角形解的个数问题热点四 解三角形与平面向量的交汇热点五 解三角形与解析几何交汇问题热点六 解三角形与立体几何交汇问题热点七 正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题热点八 三角形周长问题热点九 三角形面积问题热点十 三角形范围(最值)问题三角形边(关系式)的问题三角形角(函数值)问题三角形周长问题三角形面积问题热点一三角形中边角计算1(2023·北京·统考高考真题)在△ABC 中，(a +c )(sin A -sin C )=b (sin A -sin B )，则∠C =()A.π6B.π3C.2π3D.5π62(2020·全国·统考高考真题)在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =()A.19B.13C.12D.233(2021·全国·高考真题)在△ABC 中，已知B =120°，AC =19，AB =2，则BC =()A.1B.2C.5D.34(2020·山东·统考高考真题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2+b 2=c 2+ab sin C ，且a sin B cos C +c sin B cos A =22b ，则tan A 等于()A.3 B.-13 C.3或-13 D.-3或135(2021·浙江·统考高考真题)在△ABC 中，∠B =60°,AB =2，M 是BC 的中点，AM =23，则AC =，cos ∠MAC =.【规律方法】1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；②求边：根据正弦定理，求另外的两边．（1）已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．（2）已知三边解三角形的方法2024届高考数学专项练习解三角形“热考”十点（解析版）(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．热点二判断三角形的形状6在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．7(2020·全国·统考高考真题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2π2+A +cos A =54．(1)求A ；(2)若b -c =33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【规律方法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a =b ，a 2+b 2=c 2)，进而确定三角形的形状．2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或c 2=a 2+b 2或b 2=a 2+c 2.②△ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2.④若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =π2.3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．热点三三角形解的个数问题8(2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cos A= 23，则b=()A.2B.3C.2D.39在△ABC中，已知sin C=12，a=23，b=2，求边c．10(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B=3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【方法技巧】三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解上表中若A为锐角，则当a<b sin A时无解；若A为钝角或直角，则当a≤b时无解．热点四解三角形与平面向量的交汇11(2023·全国·统考高考真题)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.512(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA +GB =GA -GB，当∠C 取最大值时，cos C =()A.45B.35 C.25D.1513【多选题】(2023·浙江·二模)在△ABC 中，AB 2+AC 2=2BC 2，CD =BC ，则()A.AD >CDB.AD <52CD C.∠ADC >π6D.∠ADC <π4【点评】1.交汇考向主要有：(1)向量坐标运算条件下解三角形问题；(2)三角形中向量运算问题；(3)共线向量条件下解三角形问题；(4)向量的模与解三角形问题.2.解答的总体思路可归结为三个环节：(1)根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；(2)应用三角公式，进行变形进而完成化简；(3)应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化.热点五解三角形与解析几何交汇问题14(2021·全国·统考高考真题)已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,PF 1 =3PF 2 ，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.1315(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |=()A.25B.302C.35D.35216(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若∠AFB =∠CFB ，则|AF |=．【点评】1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率(范围)计算问题，这类问题多以客观题出现；2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积(最值)、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等．热点六解三角形与立体几何交汇问题17(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.6218(2023·全国·统考高考真题)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.2519(2023·河南·校联考模拟预测)点P是圆柱上底面圆周上一动点，△ABC是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，C=60°，三棱锥P-ABC的体积最大值为233，则该三棱锥外接球的表面积为()A.193π B.283π C.539π D.433π【点评】与立体几何的交汇问题，往往是利用几何体中存在的三角形，应用正弦定理或余弦定理，确定解题所需要的几何量，完成角的(函数值)的计算、面积计算等，有时与数学文化相结合，解决古典书籍中的问题，或与时俱进，解决现实生活中的立体几何问题，善于发现相关三角形或做辅助线构造三角形，是解题的重要基础.热点七正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题20(2023·全国·统考高考真题)在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=．21(2020·江苏·统考高考真题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B= 45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=-45，求tan∠DAC的值．【点评】解三角形应用于平面几何问题的基本思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．(3)特别提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．热点八三角形周长问题22(2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin C sin(A-B)= sin B sin(C-A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cos A=2531，求△ABC的周长．23(2022·北京·统考高考真题)在△ABC中，sin2C=3sin C．(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．热点九三角形面积问题24(2023·全国·统考高考真题)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.25(2022·浙江·统考高考真题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c, cos C=35．(1)求sin A的值；(2)若b=11，求△ABC的面积．【点评】三角形面积有关的问题解答步骤：（1）化简转化：根据条件，利用三角恒等变换公式，化简已知条件等式，再利用正弦定理、余弦定理化边、化角；（2）选择公式：多选择S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；（3）求值(最值).热点十三角形范围（最值）问题26(2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．27(2020·浙江·统考高考真题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A-3a =0．(I)求角B的大小；(II)求cos A+cos B+cos C的取值范围．28(2020·全国·统考高考真题)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C．(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.【思路引导】(1)第一步，应用正弦定理角化边；第二步，应用余弦定理求cos A，进而求得A；(2)重点分析方法一：由于BC已知，因此，主要任务是确定AC+AB的最值.第一步，应用余弦定理并化简可得AC+AB2-AC⋅AB=9；第二步，利用基本不等式求得AC+AB的最大值，进而得到结果.29(2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)在①a+csin A-sin C=b sin A-sin B；②2b-ac-cos Acos C=0；③向量m =c，3b与n=cos C，sin B平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且a=4，求△ABC面积的取值范围.【点评】1.边角、周长问题：利用正弦定理余弦定理灵活的进行边角转化，如果转化成 “边”的表达式，应用基本不等式求最值(范围)；如果转化成三角函数表达式，应用二次函数的性质或应用三角函数的性质求解.2.面积问题求解基本步骤：一是应用正弦定理、余弦定理实施边角转化；二是确定三角形面积的表达式；三是应用均值不等式或三角函数性质求其最值(范围).解三角形“热考”十点热点题型速览热点一 三角形中边角计算热点二 判断三角形的形状热点三 三角形解的个数问题热点四 解三角形与平面向量的交汇热点五 解三角形与解析几何交汇问题热点六 解三角形与立体几何交汇问题热点七 正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题热点八 三角形周长问题热点九 三角形面积问题热点十 三角形范围(最值)问题三角形边(关系式)的问题三角形角(函数值)问题三角形周长问题三角形面积问题热点一三角形中边角计算1(2023·北京·统考高考真题)在△ABC中，(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)，则∠C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)，所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b)，即a2-c2=ab-b2，则a2+b2-c2=ab，故cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，又0<C<π，所以C=π3 .故选：B.2(2020·全国·统考高考真题)在△ABC中，cos C=23，AC=4，BC=3，则cos B=()A.19B.13C.12D.23【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC，即可求得答案.【详解】∵在△ABC中，cos C=23，AC=4，BC=3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos C AB2=42+32-2×4×3×23可得AB2=9，即AB=3由∵cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=9+9-162×3×3=19故cos B=1 9 .故选：A.3(2021·全国·高考真题)在△ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=()A.1B.2C.5D.3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设AB=c,AC=b,BC=a，结合余弦定理：b2=a2+c2-2ac cos B可得：19=a2+4-2×a×c×cos120°，即：a2+2a-15=0，解得：a=3(a=-5舍去)，故BC=3.故选：D.4(2020·山东·统考高考真题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2+b2=c2+ab sin C，且a sin B cos C+c sin B cos A=22b，则tan A等于()A.3B.-13C.3或-13D.-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan C=2，并进一步判断C>π4，由正弦定理可得sin(A+C)=22⇒sin B=22，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】∵cos C=a2+b2-c22ab=sin C2⇒tan C=2，∴C>π4，∵a sin A =bsin B=csin C=2R，∴sin A⋅sin B⋅cos C+sin C⋅sin B⋅cos A=22sin B，∴sin(A+C)=22⇒sin B=22，∴B=π4，∴tan B=1，∴tan A=-tan(B+C)=-tan B+tan C1-tan B⋅tan C=3，故选：A.5(2021·浙江·统考高考真题)在△ABC中，∠B=60°,AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=，cos∠MAC=.【答案】213239 13【分析】由题意结合余弦定理可得BC=8，进而可得AC，再由余弦定理可得cos∠MAC.【详解】由题意作出图形，如图，在△ABM 中，由余弦定理得AM 2=AB 2+BM 2-2BM ⋅BA ⋅cos B ，即12=4+BM 2-2BM ×2×12，解得BM =4(负值舍去)，所以BC =2BM =2CM =8，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos B =4+64-2×2×8×12=52，所以AC =213；在△AMC 中，由余弦定理得cos ∠MAC =AC 2+AM 2-MC 22AM ⋅AC =52+12-162×23×213=23913.故答案为：213；23913.【规律方法】1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；②求边：根据正弦定理，求另外的两边．（1）已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．（2）已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．热点二判断三角形的形状6在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．【答案】直角三角形．【解析】解法一：∵b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得sin 2B sin 2C +sin 2C sin 2B =2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C =cos B cos C ，∴cos (B +C )=0，∴cos A =0，∵0<A <π，∴A =π2，∴△ABC 为直角三角形．解法二：已知等式可化为b 2-b 2cos 2C +c 2-c 2·cos 2B =2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2+c 2-b 2·a 2+b 2-c 22ab2-c 2·a 2+c 2-b 22ac 2=2bc ·a 2+b 2-c 22ab·a 2+c 2-b 22ac ∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 为直角三角形．解法三：已知等式变形为b 2(1-cos 2C )+c 2(1-cos 2B )=2bc cos B ·cos C ，∴b 2+c 2=b 2cos 2C +c 2cos 2B +2bc cos B ·cos C ，∵b 2cos 2C +c 2cos 2B +2bc cos B cos C =(b cos C +c cos B )2=a 2，∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 为直角三角形．7(2020·全国·统考高考真题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2π2+A +cos A =54．(1)求A ；(2)若b -c =33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】(1)A =π3；(2)证明见解析【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系，cos 2π2+A +cos A =54可化为1-cos 2A +cos A =54，即可解出；(2)根据余弦定理可得b 2+c 2-a 2=bc ，将b -c =33a 代入可找到a ,b ,c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】(1)因为cos 2π2+A +cos A =54，所以sin 2A +cos A =54，即1-cos 2A +cos A =54，解得cos A =12，又0<A <π，所以A =π3；(2)因为A =π3，所以cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，即b 2+c 2-a 2=bc ①，又b -c =33a ②，将②代入①得，b 2+c 2-3b -c 2=bc ，即2b 2+2c 2-5bc =0，而b >c ，解得b =2c ，所以a =3c ，故b 2=a 2+c 2，即△ABC 是直角三角形．【规律方法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a =b ，a 2+b 2=c 2)，进而确定三角形的形状．2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或c 2=a 2+b 2或b 2=a 2+c 2.②△ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2.④若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =π2.3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．热点三三角形解的个数问题8(2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cos A= 23，则b=()A.2B.3C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理，得4+b2-2×2b cos A=5.整理得3b2-8b-3=0，解得b=3或b=-13(舍去)，故选D．9在△ABC中，已知sin C=12，a=23，b=2，求边c．【解析】∵sin C=12，且0<C<π，∴C=π6或5π6．当C=π6时，cos C=32，此时，c2=a2+b2-2ab cos C=4，即c=2．当C=5π6时，cos C=-32，此时，c2=a2+b2-2ab cos C=28，即c=27．10(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B=3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【答案】(1)答案见解析(2)b>1【分析】(1)若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案.(2)将c=b+1代入正弦定理可得sin C=b+12b，要使角A有两解，即12<sin C<1，解不等式即可得出答案.【详解】(1)若选①：整理得1-tan A tan C=-3tan A+tan C，因为A+B+C=π，所以tan B=-tan A+C=-tan A+tan C1-tan A tan C=33，因为B∈0,π，所以B=π6；若选②：因为2c-3acos B=3b cos A，由正弦定理得2sin C-3sin Acos B=3sin B cos A，所以2sin C cos B=3sin A+B=3sin C,sin C>0，所以cos B=32，因为B∈0,π，所以B=π6；若选③：由正弦定理整理得a2+c2-b2=3ac，所以a2+c2-b22ac=32，即cos B=32，因为B∈0,π，所以B=π6；(2)将c =b +1代入正弦定理b sin B =c sin C ，得b sin B =b +1sin C，所以sin C =b +12b ，因为B =π6，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以12<sin C <1，即12<b +12b <1，又b >0，所以b <b +1<2b ，解得b >1.【方法技巧】三角形解的个数的判断在△ABC 中，已知a ，b 和A ，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a =b sin A b sin A <a <ba ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解上表中若A 为锐角，则当a <b sin A 时无解；若A 为钝角或直角，则当a ≤b 时无解．热点四解三角形与平面向量的交汇11(2023·全国·统考高考真题)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.5【答案】B【分析】方法一：以AB ,AD 为基底向量表示EC ,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos ∠DEC ，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以AB ,AD为基底向量，可知AB =AD =2,AB ⋅AD=0，则EC =EB +BC =12AB +AD ,ED =EA +AD =-12AB+AD ，所以EC ⋅ED =12AB +AD ⋅-12AB +AD =-14AB2+AD 2=-1+4=3；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E 1,0 ,C 2,2 ,D 0,2 ，可得EC =1,2 ,ED=-1,2 ，所以EC ⋅ED=-1+4=3；方法三：由题意可得：ED =EC =5,CD =2，在△CDE 中，由余弦定理可得cos ∠DEC =DE 2+CE 2-DC 22DE ⋅CE =5+5-42×5×5=35，所以EC ⋅ED =EC ED cos ∠DEC =5×5×35=3.故选：B .12(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA +GB =GA -GB ，当∠C 取最大值时，cos C =()A.45B.35 C.25D.15【答案】A【分析】由题设可得AG ⋅BG =0，结合AG =13(AC +AB )，BG =13(BA +BC )及余弦定理可得cos C =25a b +ba，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA +GB =GA -GB ，所以(GA +GB )2=(GA -GB)2，即GA 2+GB 2+2GA ⋅GB =GA 2+GB 2-2GA ⋅GB ，所以GA ⋅GB =0，所以AG ⊥BG ，又AG =23×12(AC +AB )=13(AC +AB )，BG =23×12(BA +BC )=13(BA +BC )，则AG ⋅BG =19(AC +AB )⋅(BA +BC )=19(AC⋅BA +AC ⋅BC +AB ⋅BA +AB ⋅BC )=0，所以CA ⋅CB =AC ⋅AB +BA ⋅BC +AB 2，即ab cos C =bc cos A +ac cos B +c 2，由cos A =b 2+c 2-a 22bc ，cos B =a 2+c 2-b 22ac ，cos C =a 2+b 2-c 22ab，所以a 2+b 2=5c 2，所以cos C =a 2+b 2-c 22ab=25a b +b a ≥45a b ⋅b a =45，当且仅当a =b 时等号成立，又y =cos x 在0,π 上单调递减，C ∈0,π ，所以当∠C 取最大值时，cos C =45.13【多选题】(2023·浙江·二模)在△ABC 中，AB 2+AC 2=2BC 2，CD =BC ，则()A.AD >CD B.AD <52CD C.∠ADC >π6D.∠ADC <π4【答案】BD【分析】根据条件，结合余弦定理求得AD =3b ，再建立不等关系，判断选项.【详解】设AB=c，BC=CD=a，AC=b，AD=x，由条件可知，b2+c2=2a2，△ABC中，cos B=a2+c2-b22ac，△ABD中，x2=c2+4a2-4ac cos B=c2+4a2-2a2+c2-b2=2a2-c2+2b2=3b2，所以AD=3b，c2=2a2-b2=2a2-33AD2>0，得AD<6a，即AD<6CD<52CD，故B正确；cos∠ADC=a2+3b2-b223ab =a2+2b223ab=a23b+b3a≥216=63>22，所以∠ADC<π4 .故选：BD【点评】1.交汇考向主要有：(1)向量坐标运算条件下解三角形问题；(2)三角形中向量运算问题；(3)共线向量条件下解三角形问题；(4)向量的模与解三角形问题.2.解答的总体思路可归结为三个环节：(1)根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；(2)应用三角公式，进行变形进而完成化简；(3)应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化.热点五解三角形与解析几何交汇问题14(2021·全国·统考高考真题)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°, PF1=3PF2，则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF1,PF2，结合余弦定理可得答案.【详解】因为PF1=3PF2，由双曲线的定义可得PF1-PF2=2PF2=2a，所以PF2=a，PF1=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=72.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.15(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆x29+y26=1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=()A.25B.302C.35D.352【答案】B【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出PF 1 PF 2 ,PF 1 2+PF 2 2的值，利用PO =12PF 1 +PF 2 ，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，可得a =3,b =6,c =3，则PF 1 +PF 2 =2a =6①，即PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 PF 2 =36，由余弦定理得F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos ∠F 1PF 2=(23)2，cos ∠F 1PF 2=35，故PF 1 +PF 2 2-2PF 1 PF 2 1+35=12，②联立①②，解得：PF 1 PF 2 =152,∴PF 1 2+PF 2 2=21，而PO =12PF 1 +PF 2 ，所以PO =PO =12PF 1 +PF 2 ，即PO =12PF 1 +PF 2 =12PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2 +PF 2 2=1221+2×152×35=302，故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O 为F 1F 2的中点，从而可以利用向量知识求解|PO |.16(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若∠AFB =∠CFB ，则|AF |=．【答案】8【分析】先设出直线l 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出AB =1+m 2⋅y 1-y 2 ，BC =1+m 2⋅y 2，再由正弦定理得到CF AF =BC AB，得到4my 1=y 2y 1-y 2，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出m =233，进而求出y 1=43，|AF |=8.【详解】由题意得，F 2,0 ,C -2,0 ，当直线l 的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线l 的方程为x =my -2，不妨设m >0，联立y 2=8x ，可得y 2-8my +16=0，易得Δ>0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1>0,y 2>0，则y 1+y 2=8m ,y 1y 2=16，则AB =1+m 2⋅y 1-y 2 ，BC =1+m 2⋅y 2 =1+m 2⋅y 2，由正弦定理得CF sin ∠CBF =BC sin ∠CFB ，AF sin ∠ABF =ABsin ∠AFB，因为∠AFB =∠CFB ，∠CBF +∠ABF =π，所以y 1>y 2，CF AF =BC AB ，即4AF=1+m 2⋅y 2 1+m 2⋅y 1-y 2=y 2y 1-y 2，又由焦半径公式可知AF =x 1+2=my 1-2+2=my 1，则4my 1=y 2y 1-y 2，即my 1y 2=4y 1-4y 2=4y 1+y 2 2-4y 1y 2，即16m =464m 2-64，解得m =233，则y 1+y 2=1633,y 1y 2=16，解得y 1=43，故|AF |=my 1=233×43=8，当m <0时，同理可得到|AF |=8.故答案为：8【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的关系转化为边的比例关系，再进行求解.【点评】1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率(范围)计算问题，这类问题多以客观题出现；2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积(最值)、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等．热点六解三角形与立体几何交汇问题17(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC =PD =3,∠PCA =45°，则△PBC 的面积为()A.22B.32C.42D.62【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△PDO ≅△PCO ，△PDB ≅△PCA ，从而得到PA =PB ，再在△PAC 中利用余弦定理求得PA =17，从而求得PB =17，由此在△PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在△PAC 中利用余弦定理求得PA =17，cos ∠PCB =13，从而求得PA ⋅PC =-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB ,∠BPD 的方程组，从而求得PB =17，由此在△PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AC ,BD 交于O ，连结PO ，则O 为AC ,BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，AB =4，所以AC =BD =42，则DO =CO =22，又PC =PD =3，PO =OP ，所以△PDO ≅△PCO ，则∠PDO =∠PCO ，又PC =PD =3，AC =BD =42，所以△PDB ≅△PCA ，则PA =PB ，在△PAC 中，PC =3,AC =42,∠PCA =45°，则由余弦定理可得PA 2=AC 2+PC 2-2AC ⋅PC cos ∠PCA =32+9-2×42×3×22=17，故PA =17，则PB =17，故在△PBC 中，PC =3,PB =17,BC =4，所以cos ∠PCB =PC 2+BC 2-PB 22PC ⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB <π，所以sin ∠PCB =1-cos 2∠PCB =223，所以△PBC 的面积为S =12PC ⋅BC sin ∠PCB =12×3×4×223=4 2.法二：连结AC ,BD 交于O ，连结PO ，则O 为AC ,BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，AB =4，所以AC =BD =42，在△PAC 中，PC =3,∠PCA =45°，则由余弦定理可得PA 2=AC 2+PC 2-2AC ⋅PC cos ∠PCA =32+9-2×42×3×22=17，故PA =17，所以cos ∠APC =PA 2+PC 2-AC 22PA ⋅PC =17+9-322×17×3=-1717，则PA ⋅PC =PA PC cos ∠APC =17×3×-1717=-3，不妨记PB =m ,∠BPD =θ，因为PO =12PA +PC =12PB+PD ，所以PA +PC 2=PB +PD 2，即PA 2+PC 2+2PA ⋅PC =PB 2+PD 2+2PB ⋅PD ，则17+9+2×-3 =m 2+9+2×3×m cos θ，整理得m 2+6m cos θ-11=0①，又在△PBD 中，BD 2=PB 2+PD 2-2PB ⋅PD cos ∠BPD ，即32=m 2+9-6m cos θ，则m 2-6m cos θ-23=0②，两式相加得2m 2-34=0，故PB =m =17，故在△PBC 中，PC =3,PB =17,BC =4，所以cos ∠PCB =PC 2+BC 2-PB 22PC ⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB <π，所以sin ∠PCB =1-cos 2∠PCB =223，所以△PBC 的面积为S =12PC ⋅BC sin ∠PCB =12×3×4×223=4 2.故选：C .18(2023·全国·统考高考真题)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CD sin ∠CED ，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C 19(2023·河南·校联考模拟预测)点P 是圆柱上底面圆周上一动点，△ABC 是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，C =60°，三棱锥P -ABC 的体积最大值为233，则该三棱锥外接球的表面积为()A.193π B.283π C.539π D.433π【答案】B【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得△ABC面积的最大值，利用正弦定理可求得圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式可求得圆柱的高，进而可求得该三棱锥外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.【详解】在△ABC中，由余弦定理可得4=c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，即ab≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以，S△ABC=12ab sin C=34ab≤34×4=3，设圆柱的高为h，则V P-ABC=13S△ABC⋅h≤33h，因为三棱锥的P-ABC体积的最大值为233，则33h=233，所以，h=2，圆柱底面圆半径r=22sin60°=23=233，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，则该三棱锥的外接球和圆柱的外接球为同一个球，则R2=h22+r2=1+233 2=73，因此，三棱锥外接球的表面积为4πR2=283π.故选：B.【点评】与立体几何的交汇问题，往往是利用几何体中存在的三角形，应用正弦定理或余弦定理，确定解题所需要的几何量，完成角的(函数值)的计算、面积计算等，有时与数学文化相结合，解决古典书籍中的问题，或与时俱进，解决现实生活中的立体几何问题，善于发现相关三角形或做辅助线构造三角形，是解题的重要基础.热点七正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题20(2023·全国·统考高考真题)在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=．【答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．。

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A 0 B1 C2 D 3
3.采用简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为
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CM＜NDM＞N
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