专题复习_“隐形圆”问题

1

2

“隐形圆”问题

江苏省通州高级中学

一、问题概述

江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．

二、求解策略

如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．

策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取

值范围是

．

- 6 < a < 0

5

略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解．

（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上

存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ．

解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共

点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ⇒ 1≤ a 2 + (a - 4)2 ≤9 ⇒ 2 - 2 ≤ a ≤ 2 + 2 ．

2 2

（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆

C : (x - 3）2

+ ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 PA + PB 的取值范围是 ．[7,13]

1 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M =

2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2

的圆上，且

PA + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．

（4）若对任意α∈R ，直线 l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ π

)＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2

6

＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是

． (- 1 , 5

)

2 2

略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是

以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．

O

2 ， ⎪

注：直线 l ：(x -x 0)cos α＋(y - y 0)sin α＝R 为圆 M ： (x - x )2 + (x - y )2 = R 2 的切线系．

例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点，

点 A (1，1) ，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ． 解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M ( x , y ) ，

因为 OB 2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ，

y

所以 4 = x 2 + y 2 + ( x - 1)2

+ ( y - 1)2

，

B

M

C 2

2

化简得 ⎛ x - 1 ⎫ + ⎛ y - 1 ⎫ = 3 ，

A

2 ⎪ 2 ⎪ 2

⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x

所以点 M 的轨迹是以 ⎛ 1 1 ⎫

为圆心， 3 2 为半径的 2 ⎝ ⎭

⎡ 6 - 圆，所以 AM 的取值范围是 2

2 ， 6 +

2 ⎤ ，所 ⎢ 2 2 ⎥ 例 2

⎣ ⎦

以 BC 的取值范围是 ⎡ 6 - 2 ， 6 + 2 ⎤ ．

⎣ ⎦

法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC ＝AN ， 由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等），有 OB 2 + OC 2 = OA 2 + O N 2 ，所以 ON ＝ 6 ，

故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 ⎡ 6 - 2 ， 6 + 2 ⎤ ．

⎣ ⎦ 变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x 2 + y 2 = 16 ，点

P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM ⋅ PN = 0 ，若 PQ = PM + PN ，则 PQ 的

最小值为 ． 3 3 - 5 y

2 2 2 2

变式 2

已知圆 C 1 ： x + y = 9 ，圆 C 2 ： x + y = 4 ，定点

A

P (1, 0) ，动点 A , B 分别在圆 C 1 和圆 C 2 上，满足 ∠APB = 90 ，

则线段 AB 的取值范围 ． [2 3 1, 2 3 1]

B

O

P

x

变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1, (a - c ) ⋅ (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围

为 ．[2 3 1, 2 3 1]

策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ k PA ⋅ k PB = -1 ，或 PA ⋅ PB = 0）确定隐形圆 例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A (-m , 0) ， B (m , 0) ，

若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是

．[4, 6]

略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．

（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，

Q (2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是

．[ 2, 3 2 ]

解：由题意，圆心

C (1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ． 直线

l ：(2a －b )x ＋(2b －c )y ＋(2c －a )＝0，即 a (2x ＋y －3)＋b (4－x )＝0，

⎧2x + y - 3 = 0, 由 ⎨

⎩4 - x = 0

，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，

由题意，H 在以

PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50，

∵|CA |＝4 2 ，∴CH 最小为

5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为 4 2 ＋5 2 ＝9 2 ，

∴线段 CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ]．

（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m ∈ R ，直线 l 1 ： x + my = 0 与直线

l 2 ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P (x 0 , y 0 ) ，则 x 0 2 + y 2

+ 2x 0

的取值范围

是

．[12 - 4 10,12 + 4 10 ]

略解：l 1 过定点 O (0，0)，l 2 过定点 A (2，-4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与

直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距

离的最大值为

． 3 2

策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ⋅ PB = λ 确定隐形圆 例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6, -3)

，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，

若满足等式 AP ⋅ BP + 2λ = 0 的点

P 有两个，则实数 λ 的取值范围是 ．

解：设P （x ，y ），则 AP = (x - 2, y - 3) ， BP = ( x - 6, y + 3) ，

根据 AP ⋅ BP + 2λ = 0 ，有 ( x - 4)2

+ y 2 = 13 - 2λ ⎛

λ <

13 ⎫

.由题意 2 ⎪ ⎝

⎭