人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性与最大(小)值_ppt课件

则称函数 f在(x区)间D上是减函数.
思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值，若当 x1, x2时，都有
x1 x2
f ( x1) f ( x,2则) 函数 在区f间(xD)上是增函数还是减函数？
思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 在这f一(区x)间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数 f (x) (x的单1)调2 区间如何？
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的顶点就
是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距
地面的高度。
h
30
25
20 15
10
5
0
1
2
3
4
t
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，我们有：当
时，函数有最大值
思考3:如图为函数 在定f (义x)域I内某个区 间D上的图象，对于该区间上任意两个自变 y
量x1和x2，当
时， 与
小x1关系x如2 何？ f ( x1 ) f ( x2 )
的大
o
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
x1
x2
x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，
那么怎样定义“函数 在f区(间x)D上是增函数”？
2天后 27.8
6天后 25.4
一个 月后
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100
80
60 40
20
o1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂, 如果烟花 距地面的 高度h m与时间t s之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
共同特征？
思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定
y
y f (x)
义“函数 函数”？
f在( x区)间D上是减
f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
Hale Waihona Puke Baidu
o x1
x2
x
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
x1, x的2 值，若当 < x时1 ，x都2有
> f (,x1 ) f ( x2 )
观察下列两个函数的图象：
y
M
y
M
x
o
x0
o
x0
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
思考3:设函数
f (x) ，1则 x2
f ( x的) 最大值是2吗？为什么？
那么称m是函数
y 的最f (小x值) ，记作
f ( x)min m
知识探究（三）
思考1:如果在函数 定义f (域x)内存在x1和 x2，
使对定义域内任意x都有
f (x1) f (x) f (x2 )
成立，由此你能得到什么结论？
思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言，有哪几种可能情况？
4.定 单调
作业： P32 练习：1，2，3，4.
1.3.1 函数的单调性与最大（小）值 第二课时 函数单调性的概念
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
f (x)
知识探究（一）
1.3.1 函数的单调性与最大（小）值 第一课时 函数单调性的概念
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度 进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔 t
记忆量y (百分比)
刚记 忆完
毕
100
20分 钟后
58.2
60分 钟后
44.2
8-9 小时
后
35.8
1天后 33.7
f (x)
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
x1, x的2 值，若当 < x时1 ，x都2有
<
f ,( x1 )
则称函数 f在(x区)间D上是增函数.
f ( x2 )
知识探究（二）
考察下列两个函数:
（1） f (x) ；(x2)
y
f ( x) x2 ( x 0)
y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何
证明.
例3 试确定函数 上的单调性.
f ( x)在区x间1
x
(0, )
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.设元:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 性.
f (x)
理论迁移
例1 如图是定义在闭区间
y
[-5，6]上的函数
y f (x)
的图象，根据图象说出 y f (的x)单调区间，以 及在每一单调区间上，
-3
x
-5
o1 3
6
函数 y f是(x增)函数还
是减函数.
例2 物理学中的玻意耳定律
P k (k为正常数) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性
y大
100
80
60 40
20
o
1
2
3
t
知识探究（一）
考察下列两个函数:
（1） f (x) ； x(2)
y
f ( x) x2 ( x 0)
y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何
共同特征？
思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？
f ( x)max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 的f值(x域)是(a,b)，则函 数 f (x存) 在最大值吗？
思考6:函数 y 2x 1, x 有(最1,大)
值吗？为什么？
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
成立f (吗x？) 2
思考4:怎样定义函数 表示？
的最f 大(x值) ？用什么符号
一般地，设函数
y 的定f (义x域) 为I，如果存在
实数M满足：
（1）对于任意的
,x 都有I
；f (x) M
（2）存在 x0，使I得
.f (x0 ) M
那么称M是函数
y 的最f (大x值) ，记作
①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出 其图象，根据函数的性质来求最大（小）值
②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出 其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值
谢谢观看！
作业
P39 习题1.3A组：5 B组：1，2.
4 (4.9) 18 14 .7 2
h
29
4 (4.9)
t 14.7 1.5 2 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例3、求函数f(x)= 3
-1<x<2 的最值
2x-1 x≥2
例4
(1)设 b 为 常1 数，如果当
时x，函[1, b]
数 f (x) 1 x2 x的值3域也是[1,b],求 b
2
2
的值.
(2)二次函数
y yx22x在2 22区xx 间33
值域为 2,，3求 的范m围.
上的 0, m
课堂小结：
（1）函数的最大（小）值的概念 （2）求函数的最大（小）值一般方法
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则 函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则 函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最 大值f(b).在x=a处有最小值f(a).
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
f (x的) 最小值？
一般地，设函数
y 的定f (义x域) 为I，如果存在实数
m满足：
（1）对于任意的
x, 都有I
; f (x) m
（2）存在 x0，使I得
f.(x0 ) m
思考3:如果函数 存f在(最x)大值，那么有几个？
思考4:如果函数 的f最(x大)值是b，最小值是a， 那么函数 f的(值x)域是[a，b]吗？
理论迁移
1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例1已知函数
f x 2 ,，x 求函2,数6
x 1
的最大值和最小值.
f (x)
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用 到以下一些结论：