第5章 三维图形变换

平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对z坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
5.2.5 错切变换 相对于三个坐标轴的错切变换矩阵表示为：
三维图形错切变换，一个坐标方向的变化受另外两个坐标 变化的影响。如果变换矩阵第一列中元素c和e不为0，产生 沿X轴方向的错切；第二列中元素d和g不为0,产生沿Y轴方 向的错切；第三列中元素f和h不为0,产生沿Z轴方向错切。 同二维图形变换的情况相同,上面讨论的五种变换也属于 仿射变换,具有保持直线、平面及平行关系的不变特性。
变换到投影面上，此点称为投影中心，相当于观察点，
也称为视点。投影线与投影面相交在投影面上形成的 图象即为三维图形的投影。
平行投影和透视投影区别在于透视投影的投影中心 到投影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心 到投影面之间的距离是无限的。当投影中心在无限远时， 投影线互相平行，所以定义平行投影时，给出投影线的 方向就可以了，而定义透视投影时，需要指定投影中心 的具体位置。
主视图:
侧视图:
俯视图:
由于在三视图上保持了有关比例的不变性，可以精 确地测量长度和角度等量，因此常用于工程制图。下图 是一个三视图投影的例子。
（2）正轴测投影 正轴测投影是能够显示形体多个侧面的投影变
换，如果投影平面不与任一坐标轴垂直，就形成正 轴测投影。正轴测投影有正等测、正二测和正三测 三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时 为正等测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等 时为正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都 不相等时为正三测。正等测投影中三个坐标分量保 持相同的变化比例；正二测投影中三个坐标分量中 的两个保持相同的变化比例；正三测投影中三个坐 标分量的变化比例各不相同。
其它两坐标不变，因此，其变换的矩阵表示为：
同样，相对于XZ平面的对称变换只需改变y坐标的正负号, 其变换的矩阵表示为：
相对于YZ平面的对称变换只需改变x坐标的正负号, 其 变换的矩阵表示为：
如果需要相对于任一平面作对称变换时，可以将此平面 转换成与某一坐标平面相重合，并运用上述简单的对称 变换，然后再将平面反变换回原来的位置即可。
当三维图形用透视变换投影到投影面上，图形中与投 影面平行的平行线投影后仍保持平行。不与投影面平行的 任一组平行线投影后收敛于一点，此点称为灭点。
平行于某一坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点 又称作主灭点。因为有X、Y和Z三个坐标轴，所以主灭点最 多有三个。当某个坐标轴与投影面平行时，则该坐标轴方 向的平行线在投影面上的投影仍保持平行，不形成灭点。 投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定， 并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。一点透 视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两 个坐标轴平行；两点透视有两个主灭点，即投影面与两个 坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭 点，即投影面与三个坐标轴都相交。
1．正平行投影 正平行投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分成两 类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐 标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与 这个坐标轴的方向一致。否则，得到的投影为正轴测 投影，如图所示。
（1）正投影 正投影有主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与 X轴、Y轴和Z轴垂直。三视图的投影变换矩阵分别为：
设空间一点P(x,y,z）投影到 投影面上的位置是 P(x′,y′,d），将P和P点分别 投Байду номын сангаас到XZ平面上和YZ平面 上如下图（b）（c）所示， 根据相似三角形对应边成比 例的关系，可得：
其中h=z/d。
利用三维齐次坐标的矩阵形式表示透视变换为：
称
为透视变换矩阵。
投影平面上的投影坐标计算为：
其中，原z坐标值在透视投影中保持不变，以便用于其它 同深度有关的处理。 由上式可以看出，距离z位于分母处，即物体透视投影 的大小与物体到投影中心的距离成反比，远处的物体比 近处的物体的投影要小。这种效应所产生的视觉效果十 分类似于照相系统和人的视觉系统。因此，透视投影能 够产生立体感。
即n1=sinθ x sinθ y，n2= cosθ x，n3= sinθ 虑到n12+n22+n32=1，可解得：
x
cosθ y。同时考
将矩阵相乘后并将中间变量替换掉可得复合变换矩阵， 展开成代数方程为：
x’﹦(x﹣xc)(n12﹢(1﹣n12)cosθ ﹢(y﹣yc)( n1n2(1﹣cosθ )﹢n3sinθ ) ﹢(z﹣zc)( n1n3(1﹣cosθ )﹣n2sinθ )﹢xc y’= (x﹣xc)( n1n2(1﹣cosθ )﹣n3sinθ ) ﹢(y﹣yc)( n22﹢(1﹣n22)cosθ ) ﹢(z﹣zc)( n2n3(1﹣cosθ )﹢n1sinθ )﹢yc z’= (x﹣xc)( n1n3(1﹣cosθ )﹢n2sinθ ) ﹢(y﹣yc)( n2n3(1﹣cosθ )﹣n1sinθ ) ﹢(z﹣zc)( n32﹢(1﹣n32)cosθ )﹢zc
课 题：三维几何变换、投影变换 目的要求：掌握平移、旋转、缩放、错切、反射等三 维坐标变换及其矩阵表示，掌握三维图形的投 影的概念、原理与方法 。 教学重点：三维坐标变换 教学难点：投影变换 教学课时：2课时 教学方法：讲授法、多媒体授课
5.1 三维图形齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
1．绕坐标轴的旋转变换 （1） 绕Z轴旋转变换 绕Z轴旋转时，图形上各点z坐标不变，x、y坐标的变化 相当于在XY二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
（2） 绕X轴旋转变换 绕X轴旋转时，图形上各点x坐标不变，y、z坐标的变化 相当于在YZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
5.3 投影变换
• 什么是投影变换(投影变换的作用)
由于显示器和绘图机只能用二维空间表示图形,
这就需要我们把三维坐标表示的几何体变换成二维坐 标表示的图形，这就是图形的投影变换。 • 投影变换的要素 视点（投影中心）,投影平面，投影线等
5.3.1 投影变换分类 在投影变换中，观察平面称为投影面。将三维图形 投影到投影面上，有两种基本的投影方式，即平行投 影和透视投影。在平行投影中，图形沿平行线变换到 投影面上；对透视投影，图形沿收敛于某一点的直线
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.3 旋转变换 三维图形作旋转变换时，需要指定一个旋转轴和旋 转角度。三维旋转变换可围绕空间任意直线轴进行。通 常规定图形绕某轴逆时针方向旋转时角度为正。 旋转变换前后三维图形的大小和形状不发生变化， 只是空间位置发生了变化。 绕坐标轴的旋转变换是最简单的旋转变换，当三 维图形绕某一坐标轴旋转时，图形上各点关于此轴的 坐标值不变，而在另两坐标轴所组成的坐标面上的坐 标值相当于一个二维的旋转变换。
(3) 将I轴绕X轴旋转x角，同Y轴重合，其变换矩阵为：
(4) 将P(x,y,z）点绕Y轴旋转θ角，其变换矩阵为：
（5）绕X轴旋转-x角，其变换矩阵为：
（6）绕Y轴旋转-y角，其变换矩阵为：
（7）将Pc(xc,yc,zc)平移回原位置，其变换矩阵为：
复合变换矩阵为：T﹦T1T2T3T4T5T6T7 变换过程式中，sinθ x 、sinθ y 、cosθ x 、cosθ y 为中间 变量，应使用已知量n1 、n2 、n3 表示出来。考虑I轴上的 单位向量n，它在三个坐标轴上的投影值即为n1 、n2 、n3 。 取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋转-θ x角，再绕Y轴旋转θ y角，则此单位向量将同单位向量n重合，其变换过程为：
Q P R
从图中可以直接得出斜投影的坐标是：
常用的两种斜平行投影是斜等测和斜二测。当
ctgα=1，即投影方向与投影面成α=45°角时，得到 的是斜等测投影。这时，和投影面垂直的任何直线段， 其投影的长度不变。当ctgα=2（α≈63.4°）时，得 到的是斜二测投影，这时，和投影面垂直的任何直线， 其投影的长度为原来的一半。而角β通常选择为30° 或45°。
2．斜平行投影
斜平行投影与正平行投影的区别在于投影方向与
投影面不垂直。斜平行投影能够将正平行投影的可 测量性和正轴测投影的立体效果特性结合起来。比 如选择投影面垂直于某个坐标轴，这样，对平行于 投影面的物体表面其长度和角度投影后保持不变，
可进行测量。同时，它还可以显示一些其面。
斜平行投影的倾斜度可以 由两个角来描述，如图所示。 此图中投影面选择垂直于Z坐 标轴，且过原点。下面我们 推导斜平行投影的变换矩阵。 空间一点P(x,y,z）投影到投 影 面 上 的 位 置 是 Q(x′,y′,0 ） ， 其 正 投 影 坐 标是R(x,y,0）。PQ与QR的夹 角α，QR与 投影面水平方向 构成夹角β。记QR长度为L， 则有：L=zctgα
5.2.1 平移变换 已知空间一点的坐标是P(x,y,z），沿X、Y及Z轴 方向分别平移tx 、ty、tz，后，得新坐标P(x′,y′,z′） 的表示式为：
矩阵形式为：
5.2.2 缩放变换 相对于原点的 缩放变换的表示式为：
矩阵表示是：
式中sx、sy和sz分别表示点P(x, y, z）沿X、Y及Z轴方 向相对坐标原点的比例变换系数。系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx、sy和sz 被赋予相同值时，使图形产生三个坐标轴方向相对比例一 致的变换， sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
n1、n2、n3为I轴上的单位向量n在三个坐标轴上的投影值
5.2.4 对称变换 三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者是关于给 定对称平面的变换。关于给定对称轴的对称变换等价于 绕此轴旋转180°，可以直接使用已讨论过的相对于轴线 的旋转变换公式。关于给定对称平面的对称变换其最简 单的是对称于坐标平面的变换。比如，空间一点P(x,y,z) 对XY坐标平面对称变换时，只需改变z坐标的正负号，
各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。
已知空间一点的坐标是P(x,y,z),设给定的旋转轴为I， 它对三个坐标轴的方向余弦分别为：
Pc
如右图所示
旋转角为θ，轴上点 Pc(xc , yc , zc)为旋转的中心点。
复合变换的过程为： (1) 将Pc(xc,yc,zc)平移到坐标原点 变换矩阵为：
(2) 将I轴绕Y轴旋转y角，同YZ平面重合，其变换 矩阵为：
下图表示了立方体的斜投影的例子。从图中可以看 出，这种图形的真实感较强。(ctgα=2)
5.3.3 透视投影 透视投影不同于平行投影，它必须设定投影中心。投 影中心也称为视点，它相当于观察者的眼睛。投影面位 于投影中心与需要投影的三维图形之间，将三维图形上 各点与投影中心相连所得到的投影线与投影面相交，其 交点就是三维图形的透视投影。如下图所示，设投影中 心在坐标原点，投影面与Z轴垂直，在z=d的位置上。
透视投影
平行投影
平行投影保持物 体的有关比例不变， 物体的各个面的精确 视图可以由平行投影 得到。透视投影不保 持相关比例，但能够 生成真实感视图。对 同样大小的物体，离 投影面较远的物体比 离投影面较近物体的 投影图象要小，产生 近大远小的效果。
5.3.2 平行投影 平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分成两类： 正投影和斜投影。当投影方向与投影面的夹角为90°时， 得到的投影为正平行投影，否则为斜平行投影, 如下图 所示。
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
矩阵表示为：
2．一般三维旋转变换
更一般的旋转变换是绕空间任意轴作旋转变换。我
们可以用平移变换与绕坐标轴旋转变换的复合变换得到 其变换公式。如果给定旋转轴和旋转角，可以通过平移 及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴完成指 定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。