第二章：布尔代数及其应用(不同的展开方式)

第二章：布尔代数及其分析

数字电路基于排列组合与数字集合论，和数理逻辑有一定距离。在逻辑函数的计算方面，使用数理逻辑的非计算，能够化简布尔表达式。布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现，并被命名为布尔代数。逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换.

§1.布尔代数系统的基本内容

布尔代数系统建立在集合{0，1}上的运算和规则。布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介

数字函数表达式：12(,,...,)n Y F A A A =，其中：12,,...,n A A A 称为输入变量，Y 叫做输出变量，F 称为逻辑函数，表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。

def1在二值集{0,1}E =中，逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。 注：布尔变元可用大写字母，也可用小写字母表示，但是一定要保持一致性。 def2从n E 到E 的函数被称为n 度布尔函数，其中n E =011{,,...,,,01}n i x x x x E i n -<>∈≤≤- 说明：n 度布尔函数与n 元组逻辑函数是一个概念，定义域是()n In E 。 2布尔代数的基本运算和复合运算

表1：布尔代数与，或，非运算真值表

说明：①与运算表示只有全部输入变量都为1时，输出变量为1；其它输入变量组合，得到得输出都为0。②或运算表示只有全部输入变量都为0时，输出变量为0；其它输入变量组合，得到得输出都为1。③非运算是一元逻辑函数，实现集合的求补运算，输出变量的值是输入变量相对全集E 的补元.01;10.==

从真值表1可见,与,或运算有相同之处,函数值的划分集合中,两个子集形式相同:一个子集有三个输入序偶,另一个子集只有一个序偶元素.引入补元概念后,可以研究输入序偶之间的关系.建立与，或运算可能存在的对应关系，用到复合运算，见下表；

分析：

与运算的1划分子集和或运算的0划分子集的关系：110,000(1)A B A B A B ⋅=+=⇒⋅=+==。这个式子在其它三个序偶也成立，即与运算的0划分子集和或运算的1划分子集也符合这个关系式。从或运算出发可得：001,1.11(0)A B A B A B +==⇒+=⋅==，从A =B =1可得上一个关系式。这里描述的是补元之间的关系。

另一个常用的复合逻辑：与或非运算的表达式()()Y A B C D A B C D =⋅+⋅=+⋅+。

布尔函数的表达式的成分包括：变元和布尔运算。 def3变元011,,...,n x x x -的布尔表达式的递归定义： 1）0110,1,,,...,n x x x -是布尔表达式

2）若B 1和B 2是布尔表达式，则11212,,B B B B B ⋅+是布尔表达式。

3布尔代数的公理和恒等式

def4一个布尔代数是一个集合{0,1}E =，它有两个二元运算,+⋅（布尔和，布尔乘积），以及一个一元运算（补），且对E 中的任意变量A ,B ,C ,D ,…,下列性质成立：

表3布尔代数的公理和基本公式

0-1律 01= 10=

0A A +=

1A A ⋅=

11A +=

0A A ⋅=

互补律 1A A += 0A A ⋅=

还原律 A A =

重叠律 ...A A A A +++=

...A A A A ⋅⋅⋅=

交换律 A B B A +=+

A B B A ⋅=⋅

结合律 ()()A B C A B C ++=++ ()()A B C A B C ⋅⋅=⋅⋅ 分配律 ()A B C A C B C ⋅+=⋅+⋅

()()()A B C A B A C +⋅=+⋅+

反演律 A B A B +=⋅

A B A B ⋅=+ 吸收律 A A B A +⋅=

()A A B A ⋅+=

A A

B A B +⋅=+ ()A A B A B ⋅+=⋅ A B A B A ⋅+⋅=

()()A B A B A +⋅+=

()()A B A C A B C +⋅+=+⋅

()A C B C A B C ⋅+⋅=⋅+

...A B A C B C D A B A C ⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅

()()(...)()()A B A C B C A B A C +⋅+⋅++=+⋅+

注①：0-1律，互补律，还原律，重叠律被认为是基本定律。②：任何变量的取值集合都能被补元对{,}A A 划分。

从上表可以得到一些结论，发现一些问题，现排列见下： ①与式包含在每一个子项中，或式包含每一个子项。

②有两个不同运算符号的化简式，一般产生于两级对称运算的复合。 ③因为补运算的存在，单输入集，双输入集与多输入集中元素的关系，各输入集之间的关系。

④笛卡尔积的关系，还有集合的包含关系对布尔代数的影响。

⑤能否用集合论解释布尔代数，例如表达式A A B A B +⋅=+的集合论解释。若能，则集合论就成为布尔代数的元理论。

⑥上述公式的若使用序偶表达形式，有什么不同？有数字代数么？

⑦A A B A +⋅=&()A A B A ⋅+=，从中可以发现A 作为中间变元，也有相对全集1的作用。 这些问题的解答在第二节。 4逻辑代数中的基本定理

代入定理：用于扩展公式或证明逻辑等式 Th1代入定理

在等式两边都含有变量X 的逻辑等式中,若将式中所有出现X 的地方都用另一个函数Y 代替,则等式仍然成立.

代入定理是复合计算的一种方法.可用多元组取代序偶,使在单输入集,双输入集上成立逻辑等式,在双输入集也可成立. 对偶定理：用于逻辑恒等式。

序偶对的一一映射，与组合公式。 def5对偶式

对于任一个逻辑表达式Y ,若将其中的”+”变”⋅”, ”⋅”变”+”,1变0,0变1,并保持原来的逻辑优先级不变,则得到一个新的表达式Y `,就叫做Y 的对偶式. Th2对偶定理

两个逻辑式相等,它们的对偶式相等.

反演定理：用于快速获取逻辑函数的反函数。

这里的反函数与逻辑的逆运算不同，因此与数学里的反函数不同，与集合论中相对全集的求补运算同构。 Th3反演定理

121212(,,...,,,)(,,...,,,)(,,...,,,)n n n Y F A A A F A A A F A A A =+⋅⇒+⋅=⋅+

说明：任何逻辑的反函数,可通过变量与常量求反,”+”与”⋅”互换得到. Th3.1狄.摩根定理

A B A B +=⋅，A B A B ⋅=+

展开定理：证明等式或展开函数

函数展开成最小项之和，最大项之积的形式 Th4展开定理

设逻辑函数12(,,...,)n Y F A A A =,则有:

121212(,,...,)(,,...,1,...,)(,,...,0,...,)n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+和 121212(,,...,)[(,,...,0,...,)][(,,...,1,...,)]n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+⋅+

证明:

i A 取值为0和1,等式F F F =+仍然成立.11&01i i i i A A F F F A A F F F =⇒⋅=⋅==⇒⋅=⋅=,

证得.第二个式子同理可证. 5逻辑函数及其表示方法 def6最大项与最小项