第二章：布尔代数及其应用(不同的展开方式)

第二章：布尔代数及其分析数字电路基于排列组合与数字集合论，和数理逻辑有一定距离。

在逻辑函数的计算方面，使用数理逻辑的非计算，能够化简布尔表达式。

布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现，并被命名为布尔代数。

逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换.§1.布尔代数系统的基本内容布尔代数系统建立在集合{0，1}上的运算和规则。

布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介数字函数表达式：12(,,...,)n Y F A A A =，其中：12,,...,n A A A 称为输入变量，Y 叫做输出变量，F 称为逻辑函数，表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。

def1在二值集{0,1}E =中，逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。

注：布尔变元可用大写字母，也可用小写字母表示，但是一定要保持一致性。

def2从n E 到E 的函数被称为n 度布尔函数，其中n E =011{,,...,,,01}n i x x x x E i n -<>∈≤≤- 说明：n 度布尔函数与n 元组逻辑函数是一个概念，定义域是()n In E 。

2布尔代数的基本运算和复合运算表1：布尔代数与，或，非运算真值表说明：①与运算表示只有全部输入变量都为1时，输出变量为1；其它输入变量组合，得到得输出都为0。

②或运算表示只有全部输入变量都为0时，输出变量为0；其它输入变量组合，得到得输出都为1。

③非运算是一元逻辑函数，实现集合的求补运算，输出变量的值是输入变量相对全集E 的补元.01;10.==从真值表1可见,与,或运算有相同之处,函数值的划分集合中,两个子集形式相同:一个子集有三个输入序偶,另一个子集只有一个序偶元素.引入补元概念后,可以研究输入序偶之间的关系.建立与，或运算可能存在的对应关系，用到复合运算，见下表；分析：与运算的1划分子集和或运算的0划分子集的关系：110,000(1)A B A B A B ⋅=+=⇒⋅=+==。

这个式子在其它三个序偶也成立，即与运算的0划分子集和或运算的1划分子集也符合这个关系式。

从或运算出发可得：001,1.11(0)A B A B A B +==⇒+=⋅==，从A =B =1可得上一个关系式。

这里描述的是补元之间的关系。

另一个常用的复合逻辑：与或非运算的表达式()()Y A B C D A B C D =⋅+⋅=+⋅+。

布尔函数的表达式的成分包括：变元和布尔运算。

def3变元011,,...,n x x x -的布尔表达式的递归定义： 1）0110,1,,,...,n x x x -是布尔表达式2）若B 1和B 2是布尔表达式，则11212,,B B B B B ⋅+是布尔表达式。

3布尔代数的公理和恒等式def4一个布尔代数是一个集合{0,1}E =，它有两个二元运算,+⋅（布尔和，布尔乘积），以及一个一元运算（补），且对E 中的任意变量A ,B ,C ,D ,…,下列性质成立：表3布尔代数的公理和基本公式0-1律 01= 10=0A A +=1A A ⋅=11A +=0A A ⋅=互补律 1A A += 0A A ⋅=还原律 A A =重叠律 ...A A A A +++=...A A A A ⋅⋅⋅=交换律 A B B A +=+A B B A ⋅=⋅结合律 ()()A B C A B C ++=++ ()()A B C A B C ⋅⋅=⋅⋅ 分配律 ()A B C A C B C ⋅+=⋅+⋅()()()A B C A B A C +⋅=+⋅+反演律 A B A B +=⋅A B A B ⋅=+ 吸收律 A A B A +⋅=()A A B A ⋅+=A AB A B +⋅=+ ()A A B A B ⋅+=⋅ A B A B A ⋅+⋅=()()A B A B A +⋅+=()()A B A C A B C +⋅+=+⋅()A C B C A B C ⋅+⋅=⋅+...A B A C B C D A B A C ⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅()()(...)()()A B A C B C A B A C +⋅+⋅++=+⋅+注①：0-1律，互补律，还原律，重叠律被认为是基本定律。

②：任何变量的取值集合都能被补元对{,}A A 划分。

从上表可以得到一些结论，发现一些问题，现排列见下： ①与式包含在每一个子项中，或式包含每一个子项。

②有两个不同运算符号的化简式，一般产生于两级对称运算的复合。

③因为补运算的存在，单输入集，双输入集与多输入集中元素的关系，各输入集之间的关系。

④笛卡尔积的关系，还有集合的包含关系对布尔代数的影响。

⑤能否用集合论解释布尔代数，例如表达式A A B A B +⋅=+的集合论解释。

若能，则集合论就成为布尔代数的元理论。

⑥上述公式的若使用序偶表达形式，有什么不同？有数字代数么？⑦A A B A +⋅=&()A A B A ⋅+=，从中可以发现A 作为中间变元，也有相对全集1的作用。

这些问题的解答在第二节。

4逻辑代数中的基本定理代入定理：用于扩展公式或证明逻辑等式 Th1代入定理在等式两边都含有变量X 的逻辑等式中,若将式中所有出现X 的地方都用另一个函数Y 代替,则等式仍然成立.代入定理是复合计算的一种方法.可用多元组取代序偶,使在单输入集,双输入集上成立逻辑等式,在双输入集也可成立. 对偶定理：用于逻辑恒等式。

序偶对的一一映射，与组合公式。

def5对偶式对于任一个逻辑表达式Y ,若将其中的”+”变”⋅”, ”⋅”变”+”,1变0,0变1,并保持原来的逻辑优先级不变,则得到一个新的表达式Y `,就叫做Y 的对偶式. Th2对偶定理两个逻辑式相等,它们的对偶式相等.反演定理：用于快速获取逻辑函数的反函数。

这里的反函数与逻辑的逆运算不同，因此与数学里的反函数不同，与集合论中相对全集的求补运算同构。

Th3反演定理121212(,,...,,,)(,,...,,,)(,,...,,,)n n n Y F A A A F A A A F A A A =+⋅⇒+⋅=⋅+说明：任何逻辑的反函数,可通过变量与常量求反,”+”与”⋅”互换得到. Th3.1狄.摩根定理A B A B +=⋅，A B A B ⋅=+展开定理：证明等式或展开函数函数展开成最小项之和，最大项之积的形式 Th4展开定理设逻辑函数12(,,...,)n Y F A A A =,则有:121212(,,...,)(,,...,1,...,)(,,...,0,...,)n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+和 121212(,,...,)[(,,...,0,...,)][(,,...,1,...,)]n i n i n Y F A A A A F A A A A F A A A ==+⋅+证明:i A 取值为0和1,等式F F F =+仍然成立.11&01i i i i A A F F F A A F F F =⇒⋅=⋅==⇒⋅=⋅=,证得.第二个式子同理可证. 5逻辑函数及其表示方法 def6最大项与最小项.1字母：一个字母即一个布尔变量或它的补码。

.2乘积项：一个乘积项为一个或几个字母的逻辑乘（与）。

.3和项：一个和项为一个或几个字母的逻辑或。

.4积之和（与-或式）：一个积的和即几个乘积项的逻辑或。

.5和之积（或-与式）：一个和的积即几个或项的逻辑与。

.6笛卡尔积或幂的一个元素。

能构成最大项，最小项，异或项。

.7文字：布尔变元或其补称为文字。

.8最小项：n 元逻辑函数，在函数的某个乘积项中每个变量仅仅出现一次，或以原变量，或以反变量的形式，这种乘积项称为最小项，用m i 表示。

即：布尔变元12,,...,n x x x 的最小项是一个布尔积12...,..n i i i i y y y y x or y x ⋅⋅⋅==。

因此最小项是n 个文字的积，每个文字对应一个变元。

.9最大项：在n 元函数的某个和项中每个变量仅仅出现一次，或以原变量，或以反变量的形式，这种和项称为最大项，用M i 表示。

最小项的性质①n 个变量有2n 个最小项，编号为(0,1,...,21)n i m i =-②任意输入组合，只有一个最小项的值为1,I 为使其值为1的那组变量组合对应的十进制数。

③全体最小项之和为1。

④任意二最小项之积为0。

最大项的性质:①n 个变量有2n 个最大项，编号为(0,1,...,21)n i M i =-②任意输入组合，只有一个最大项的值为0,i 为使其值为0的那组变量组合对应的十进制数。

③全体最大项之积为0。

④任意二最大项之和为1。

说明：输入的n 元组既可表示最大项又表示最小项，或者其余逻辑表达式。

方法一:布尔表达式def7函数的标准形式（范式）全部由最小项的和组成的与-或式i m ∑和全部由最大项之积组成的或-与式i M ∏，称为n 元逻辑函数表达式的两种标准形式，前者简称为SOP(Sum of Products)式，前者简称为POS(Product of Sums)式:i j ij iY m M ≠==∑∏证明：i iY m =∑=1，则10j j iY m ≠==∑。

根据反演定理，11j j j i j iY m M Y ≠≠====∑∏.说明：构成函数式时，最大项与最小项对应项的组合方式不同。

同一个函数的与-或表示与或-与表示的异同:从证明中可知一个函数的与-或式决定的项与或-与式决定的项分属不同的划分子集.若都表示1函数值,分别用与-或式与或-与式表示.证明并不困难,但是怎样理解就不很直接了,需引进格的概念.这里有一个疑问:有或-与式,为什么没有或-或式呢?表示逻辑函数有两步:①区分不同的输入排列②组合不同的输入项,构成1划分子集和0划分子集.在与-或式,或-与式中,通过补运算,用变量与补变量的排列,就能够区分不同的输入,这一步对或-或式也成立.然而, 或-或式在复合运算中,因为吸收律的存在,各分项不能保持完整性,不能区分不同的输入.因此使用或-或表示必须增加表示组合选择的新的输入项,以函数y A B AB AB =⊕=+为例,分析见下:函数值1划分集是<0,1>,<1,0>组合,用或-或式选择<0,1>,可得,def8蕴涵，质蕴涵与必要质蕴涵.1合并项：任何单个最小项或最小项组的允许组合称为一个输出函数的蕴涵，隐含项，合并项。