成像电子光学系统空间和时间像差的均方根半径_RMS_研究
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（ 1． School of Optics and Photonics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081 ，China） （ 2． Institute of Armored Force Engineering，Beijing 100072 ，China） an Institute of Applied Optics，Xi’ an 710065 ，Shanxi，China） （ 3． Xi’ Abstract ： In imaging electronoptical systems， the root mean square（ RMS） radius can not only express the characteristics of spatialtemporal resolutions，but also serve as a supplementary evaluation index of electronoptical modulation transfer function with the advantages of less calculation， more convenience and more visual． The expressions of RMS radius of spatialtemporal aberrations are deduced and discussed with the assumptions that the initial emission angle of photoelectron obeys Lambert distribution and the initial energy obeys Cosine，Beta and Maxwell distributions respectively． The minimum values of RMS radius of spatialtemporal aberrations and their corresponding optimal positions of imaging plane are solved． This research not only has importance in spatialtemporal resolutions’calculation and evaluation of imaging systems，but also provides theoretical guidance for selecting suitable photocathode in the design of image tubes and streak tubes． Key words： spatial aberrations； temporal aberrations； root mean square（ RMS） radius； modulation transfer function
Study on the root mean square （ RMS） radius of spatialtemporal aberrations in imaging electronoptical systems
GONG Hui1 ，ZHOU Liwei1 ，NI Guoqiang1 ，ZHANG Zhiquan2 ，AI Kecong3
*
0523 收稿日期： 2011-
Email： gonghui00@ 163． com
）， 作者简介： 公慧（ 1981女， 博士研究生， 主要从事宽束电子光学及光电子成像方面的研究。
507
光
0 引
学
言
技
术
2
第 37 卷
单位为伏； 初电位，
［1 ］
π 为归一化常数。 2（ π － 2） （ k + l + 1） ！ k ξ （ 1 － ξ） k！ l！
对不同初能分
2
时间像差的均方根半径ΔT
在电子发射的初角度服从朗伯分布和初能量服
布下的空间像差均方根半径给出了更完整和更详细 的研究。 迄今为止， 不同的电子逸出初能分布下的时间 像差均方根半径的表达式尚未给出 。本文旨在研究 成像电子 光 学 系 统 中， 逸出电子的初角度为朗伯 （ Lambert） 分布， 初能量分别为余弦 （ Cosine ） 分布、 贝塔（ Beta） 分布和麦克斯韦 （ Maxwell ） 分布下的时 间和空间像差的均方根半径表达式 ΔT 和 Δr， 以及时 间和空间像差的均方根半径的最小值 ΔT min 和 Δr min 及其对应的最佳像面位置， 进一步讨论了时间像差 和空间像差的均方根半径之间的联系 。
wk.baidu.com
从以上某一分布的情况下， 成像系统时间像差的均 方根半径可以表示为 ΔT = ΔT =
2 ΔT = ｛ 槡 — — —
ΔT 槡
— — —2
∫∫ = ｛∫ ∫
0 ∞ 0
1
π /2
0 π /2
（ ΔT） 2 sin2 α0 N（ ξ） dα0 dξ｝ 1 / 2 （ ΔT） 2 sin2 α0 N（ η） dα0 dη｝ 1 / 2 （ 5a， b） ， 我们已经证明， 成像系
［7 ］
2 式中 ε z = ε0 cos α0 为逸出电子的轴向发射初电位；
， 即电子以初角度 α 逸出的概率是 G （ α） = cosα （ 1）
E c 为阴极面的场强， 取负值； ε z1 为理想像面对应的 电子轴向初电位。 公式表明， 一级近轴时间像差与 电极的具体结构和电位分布无关， 而与电子发射的 阴极面上的电场强度有关。 初能、 b ） 中， 将式（ 6 ） 代入式（ 5a， 经整理后可得 ΔT = 2 m0 槡 ε0 m × e － Ec
0 ≤α≤π /2 。 式中， 在成像系统中， 常用的逸出光电子的初能分布 函数有以下几种形式： （ 1 ） 余弦分布［8］ （ 2） ( ) 为电子分布密度函数， ξ ∫ N（ ξ） dξ = 1 ， π N（ ξ） = ξcos π ξ 2（ π － 2） 2
1 0 2
式中 N（ ξ）
槡 ε ε 4 [1 ] ξN（ ξ） dξ － ξ N（ ξ） dξ + 槡 ∫ ∫ 2 3 槡 ε ε
第 37 卷 第 4 期 2011 年7 月
光 学 技 术
OPTICAL TECHNIQUE
Vol． 37 No． 4 July 2011
1582 （ 2011 ） 04050706 文章编号： 1002-
成像电子光学系统空间和时间像差的 均方根半径 （ RMS） 研究
*
1 1 1 2 3 公慧 ，周立伟 ，倪国强 ，张智诠 ，艾克聪
［6 ］
N（ η） = η e － η
（ 4）
0 式中 N（ η） 为电子分布密度函数， 其中 η = ε0 / ε0p ， ≤ η ≤ ∞ ， N（ η） dη = 1 ， ε0p 为逸出电子的最可几
0
∫
∞
对贝塔分布下均方根半径的讨论
［3 ， 4 ］
发射初电位， 单位为伏。
等。周立伟在他的论文和专著中
1 3 /2 0
！ 槡 (（ k + l + 3 2)
( k + 2l ) ！
ε z1 + ε0 m （ 12 ）
（ k + 1） 2（ k + l + 2）
]
1 /2
因此， 最佳ΔT值所对应的最佳成像位置和最小时间 像差的均方根半径为 ε z1 ε0 m 2 （ k + l + 1） ！ = 3 k！
∞ 0
[1 2∫
η N（ η） dη －
4 3
ε z1 ε0 p
∞
k+ 2
l
1 /2
z1
0
0
1
0p
1 k － 2 +1
l
0
（ 7a， b）
（ 7a） ， 经整理后可得 ΔT =
槡
2 m0 槡 ε0 m π e － Ec 2（ π － 2）
[
ξ － ∫ ξ dsin ( π 2 )
1 2 0
将上述积分式代入式（ 11 ） ， 经整理后可得 ΔT =
11 ］ （ 3 ） 麦克斯韦分布 ［2，
。 因此， 均方根半径不仅可以
而且可以作为计算传 表示系统的空间分辨率特性， 递函数的一个辅助评价指标。研究逸出电子在不同 便可选取合适的光阴 初能分布下的均方根半径值， ， 极及其对应的电子初能分布 使成像质量满足像管 设计的需要。 对 空 间 像 差 均 方 根 半 径 的 研 究，最 早 有 Beurle［5］对麦克斯韦分布下锐聚焦系统均方根半径 的讨论， 朱克正
业已证明
： 在成像电子光学系统中， 表示空
10 ］ （ 2 ） 贝塔分布 ［9，
间弥散的均方根半径的大小与系统调制传递函数的 优劣在各个像面上都是一一对应的； 均方根半径最 小的像面， 正好是调制传递函数最佳的像面。 文献 2 ［ 2］ 给出的以指数形式 exp［－ （ πρf） ］表示的调制 传递函数体现了像差均方根半径与调制传递函数之 间的对应关系， 因为式中“聚焦误差系数 ” ρ 正是系 统的均方根半径
［3 ， 4 ］
N（ ξ） =
l
（ 3）
式中 ξ 与 N（ ξ） 意义同上；
（ k + l + 1） ！ 为归一化常 k！ l！
l 均取正整数。 k、 l 取不同的数值可以模拟 数， 其中 k、 不同的分布和实验数据等。 我们用 β k， l 表示具体的 l = 1 时， “抛物线分 贝塔分布。 当 k = 1、 就是所谓的 ； 当 k = 1、 l = 4 时， 就是通常多碱光阴极常用的 布” β1， 4 分布 。
4 π 3 3（ π － 2） 因为
1 2 0
槡∫
ε z1 ε0 m
1
0
ε z1 ξ dsin π ξ + ε0 m 2
3 /2
( )
] （ 8）
1 /2
槡
2 m0 槡 ε0 m × e － Ec
[
ε z1 4 （ k + l + 1） ！ － k！ 3 ε0 m
ξ = 0 ． 1894305308612978 ∫ ξ dsin ( π 2 ) ξ = 0 ． 2552566614716921 ∫ ξ dsin ( π 2 )
（ 1． 北京理工大学 光电学院，北京 100081 ） （ 2． 装甲兵工程学院，北京 100072 ） （ 3． 西安应用光学研究所，陕西 西安 710065 ） 摘 要： 在成像电子光学系统中， 均方根半径不仅可以表示系统的时间和空间分辨率特性， 而且可以作为计算调制
传递函数的一个辅助评价指标， 具有计算量小， 直观方便等优点。研究和推导了成像电子光学系统中逸出光电子的初角 度为朗伯分布， 初能量分别为余弦分布 、 贝塔分布和麦克斯韦分布下的系统时间和横向像差的均方根半径表达式， 求解 了不同初能分布下的时间和横向像差的均方根半径的最小值及其对应的最佳像平面位置， 并对其进行了比较分析 。 结 果表明， 该研究不仅对计算和评价成像系统空间和时间分辨率具有实际意义， 而且为选择合适的光阴极以满足不同要求 的像管和条纹管的设计提供了理论指导 。 关 键 词： 时间像差； 空间像差； 均方根半径； 调制传递函数 文献标识码： A 中图分类号： O439 ； TN201
0
在前面的研究中 可表示为 ΔT =
［12 ～ 18 ］
统的时间渡越弥散主要取决于一级近轴时间像差 ，
1
逸出光电子的初角度、 初能量分布
槡 {
2 m0 1 （ ε － 槡 ε z1 ） e Ec 槡 z
}
（ 6）
在成像系统中， 从阴极面逸出的电子运动的方 向与轴线的夹角 α 被称为逸出角。 一般公认为服 从朗伯分布
1 z1 1 z1 0 0m 0 0m
1 /2
= ε0 / ε m ， 0 ≤ ξ ≤ 1， 其中 ε m 为电子逸出的最大发射 508
ΔT =
槡
2 m0 槡 ε0 p × e － Ec
第4 期
公慧， 等：
成像电子光学系统空间和时间像差的均方根半径（ RMS） 研究
1
1
（1 － + ） ε dξ ] ξ ∫槡 η N（ η） dη ξ ∫ ε 槡 = ∫ ξ ( ) （ 1 － ξ） dξ 2． 1 余弦分布 l！ ( k － 1 + 1 ) ！ l！ ( k + 1 ) ！ 2 2 ， 若当电子逸出初能分布函数为余弦分布时 则 = = 1 将表达式式 （ 2 ） 代入时间像差的均方根半径公式 ！ ( k － 2 + l + 2)！ ( k + l + 3 2)
Study on the root mean square （ RMS） radius of spatialtemporal aberrations in imaging electronoptical systems
GONG Hui1 ，ZHOU Liwei1 ，NI Guoqiang1 ，ZHANG Zhiquan2 ，AI Kecong3
*
0523 收稿日期： 2011-
Email： gonghui00@ 163． com
）， 作者简介： 公慧（ 1981女， 博士研究生， 主要从事宽束电子光学及光电子成像方面的研究。
507
光
0 引
学
言
技
术
2
第 37 卷
单位为伏； 初电位，
［1 ］
π 为归一化常数。 2（ π － 2） （ k + l + 1） ！ k ξ （ 1 － ξ） k！ l！
对不同初能分
2
时间像差的均方根半径ΔT
在电子发射的初角度服从朗伯分布和初能量服
布下的空间像差均方根半径给出了更完整和更详细 的研究。 迄今为止， 不同的电子逸出初能分布下的时间 像差均方根半径的表达式尚未给出 。本文旨在研究 成像电子 光 学 系 统 中， 逸出电子的初角度为朗伯 （ Lambert） 分布， 初能量分别为余弦 （ Cosine ） 分布、 贝塔（ Beta） 分布和麦克斯韦 （ Maxwell ） 分布下的时 间和空间像差的均方根半径表达式 ΔT 和 Δr， 以及时 间和空间像差的均方根半径的最小值 ΔT min 和 Δr min 及其对应的最佳像面位置， 进一步讨论了时间像差 和空间像差的均方根半径之间的联系 。
wk.baidu.com
从以上某一分布的情况下， 成像系统时间像差的均 方根半径可以表示为 ΔT = ΔT =
2 ΔT = ｛ 槡 — — —
ΔT 槡
— — —2
∫∫ = ｛∫ ∫
0 ∞ 0
1
π /2
0 π /2
（ ΔT） 2 sin2 α0 N（ ξ） dα0 dξ｝ 1 / 2 （ ΔT） 2 sin2 α0 N（ η） dα0 dη｝ 1 / 2 （ 5a， b） ， 我们已经证明， 成像系
［7 ］
2 式中 ε z = ε0 cos α0 为逸出电子的轴向发射初电位；
， 即电子以初角度 α 逸出的概率是 G （ α） = cosα （ 1）
E c 为阴极面的场强， 取负值； ε z1 为理想像面对应的 电子轴向初电位。 公式表明， 一级近轴时间像差与 电极的具体结构和电位分布无关， 而与电子发射的 阴极面上的电场强度有关。 初能、 b ） 中， 将式（ 6 ） 代入式（ 5a， 经整理后可得 ΔT = 2 m0 槡 ε0 m × e － Ec
0 ≤α≤π /2 。 式中， 在成像系统中， 常用的逸出光电子的初能分布 函数有以下几种形式： （ 1 ） 余弦分布［8］ （ 2） ( ) 为电子分布密度函数， ξ ∫ N（ ξ） dξ = 1 ， π N（ ξ） = ξcos π ξ 2（ π － 2） 2
1 0 2
式中 N（ ξ）
槡 ε ε 4 [1 ] ξN（ ξ） dξ － ξ N（ ξ） dξ + 槡 ∫ ∫ 2 3 槡 ε ε
第 37 卷 第 4 期 2011 年7 月
光 学 技 术
OPTICAL TECHNIQUE
Vol． 37 No． 4 July 2011
1582 （ 2011 ） 04050706 文章编号： 1002-
成像电子光学系统空间和时间像差的 均方根半径 （ RMS） 研究
*
1 1 1 2 3 公慧 ，周立伟 ，倪国强 ，张智诠 ，艾克聪
［6 ］
N（ η） = η e － η
（ 4）
0 式中 N（ η） 为电子分布密度函数， 其中 η = ε0 / ε0p ， ≤ η ≤ ∞ ， N（ η） dη = 1 ， ε0p 为逸出电子的最可几
0
∫
∞
对贝塔分布下均方根半径的讨论
［3 ， 4 ］
发射初电位， 单位为伏。
等。周立伟在他的论文和专著中
1 3 /2 0
！ 槡 (（ k + l + 3 2)
( k + 2l ) ！
ε z1 + ε0 m （ 12 ）
（ k + 1） 2（ k + l + 2）
]
1 /2
因此， 最佳ΔT值所对应的最佳成像位置和最小时间 像差的均方根半径为 ε z1 ε0 m 2 （ k + l + 1） ！ = 3 k！
∞ 0
[1 2∫
η N（ η） dη －
4 3
ε z1 ε0 p
∞
k+ 2
l
1 /2
z1
0
0
1
0p
1 k － 2 +1
l
0
（ 7a， b）
（ 7a） ， 经整理后可得 ΔT =
槡
2 m0 槡 ε0 m π e － Ec 2（ π － 2）
[
ξ － ∫ ξ dsin ( π 2 )
1 2 0
将上述积分式代入式（ 11 ） ， 经整理后可得 ΔT =
11 ］ （ 3 ） 麦克斯韦分布 ［2，
。 因此， 均方根半径不仅可以
而且可以作为计算传 表示系统的空间分辨率特性， 递函数的一个辅助评价指标。研究逸出电子在不同 便可选取合适的光阴 初能分布下的均方根半径值， ， 极及其对应的电子初能分布 使成像质量满足像管 设计的需要。 对 空 间 像 差 均 方 根 半 径 的 研 究，最 早 有 Beurle［5］对麦克斯韦分布下锐聚焦系统均方根半径 的讨论， 朱克正
业已证明
： 在成像电子光学系统中， 表示空
10 ］ （ 2 ） 贝塔分布 ［9，
间弥散的均方根半径的大小与系统调制传递函数的 优劣在各个像面上都是一一对应的； 均方根半径最 小的像面， 正好是调制传递函数最佳的像面。 文献 2 ［ 2］ 给出的以指数形式 exp［－ （ πρf） ］表示的调制 传递函数体现了像差均方根半径与调制传递函数之 间的对应关系， 因为式中“聚焦误差系数 ” ρ 正是系 统的均方根半径
［3 ， 4 ］
N（ ξ） =
l
（ 3）
式中 ξ 与 N（ ξ） 意义同上；
（ k + l + 1） ！ 为归一化常 k！ l！
l 均取正整数。 k、 l 取不同的数值可以模拟 数， 其中 k、 不同的分布和实验数据等。 我们用 β k， l 表示具体的 l = 1 时， “抛物线分 贝塔分布。 当 k = 1、 就是所谓的 ； 当 k = 1、 l = 4 时， 就是通常多碱光阴极常用的 布” β1， 4 分布 。
4 π 3 3（ π － 2） 因为
1 2 0
槡∫
ε z1 ε0 m
1
0
ε z1 ξ dsin π ξ + ε0 m 2
3 /2
( )
] （ 8）
1 /2
槡
2 m0 槡 ε0 m × e － Ec
[
ε z1 4 （ k + l + 1） ！ － k！ 3 ε0 m
ξ = 0 ． 1894305308612978 ∫ ξ dsin ( π 2 ) ξ = 0 ． 2552566614716921 ∫ ξ dsin ( π 2 )
（ 1． 北京理工大学 光电学院，北京 100081 ） （ 2． 装甲兵工程学院，北京 100072 ） （ 3． 西安应用光学研究所，陕西 西安 710065 ） 摘 要： 在成像电子光学系统中， 均方根半径不仅可以表示系统的时间和空间分辨率特性， 而且可以作为计算调制
传递函数的一个辅助评价指标， 具有计算量小， 直观方便等优点。研究和推导了成像电子光学系统中逸出光电子的初角 度为朗伯分布， 初能量分别为余弦分布 、 贝塔分布和麦克斯韦分布下的系统时间和横向像差的均方根半径表达式， 求解 了不同初能分布下的时间和横向像差的均方根半径的最小值及其对应的最佳像平面位置， 并对其进行了比较分析 。 结 果表明， 该研究不仅对计算和评价成像系统空间和时间分辨率具有实际意义， 而且为选择合适的光阴极以满足不同要求 的像管和条纹管的设计提供了理论指导 。 关 键 词： 时间像差； 空间像差； 均方根半径； 调制传递函数 文献标识码： A 中图分类号： O439 ； TN201
0
在前面的研究中 可表示为 ΔT =
［12 ～ 18 ］
统的时间渡越弥散主要取决于一级近轴时间像差 ，
1
逸出光电子的初角度、 初能量分布
槡 {
2 m0 1 （ ε － 槡 ε z1 ） e Ec 槡 z
}
（ 6）
在成像系统中， 从阴极面逸出的电子运动的方 向与轴线的夹角 α 被称为逸出角。 一般公认为服 从朗伯分布
1 z1 1 z1 0 0m 0 0m
1 /2
= ε0 / ε m ， 0 ≤ ξ ≤ 1， 其中 ε m 为电子逸出的最大发射 508
ΔT =
槡
2 m0 槡 ε0 p × e － Ec
第4 期
公慧， 等：
成像电子光学系统空间和时间像差的均方根半径（ RMS） 研究
1
1
（1 － + ） ε dξ ] ξ ∫槡 η N（ η） dη ξ ∫ ε 槡 = ∫ ξ ( ) （ 1 － ξ） dξ 2． 1 余弦分布 l！ ( k － 1 + 1 ) ！ l！ ( k + 1 ) ！ 2 2 ， 若当电子逸出初能分布函数为余弦分布时 则 = = 1 将表达式式 （ 2 ） 代入时间像差的均方根半径公式 ！ ( k － 2 + l + 2)！ ( k + l + 3 2)