对函数极限概念的理解

对函数极限概念的理解

函数极限概念，不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点：

（一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达

考察数集X={x},若在点的任意近处包含有X中异于的x的值，则点称为这数集的聚点。

为着要更准确地表达这定义，我们引入点的邻域的概念：以点为中心的开区间（）称为点的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点的任一邻域内包含X中异于的x的值，则X的聚点。关于“任一邻域”，

算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；

算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；

算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点的邻域可以无穷小。因此，“任一邻域”是一个无穷集。

对聚点本身来说，可以属于X，或不属于X。也就是说在X上可以有定义或无定义。在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。

（二）注意函数f(x)在x接近于时的性态。

设在区域X内给定函数f(x)，且X的聚点。这函数f(x)在x接近于是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于的邻域，把ε看作A的邻域，而把这种性态更准确地表达为：f(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可

进行量化比较性。

（三）与ε的关系

从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。但是从的邻域与A的邻域ε的关系看，

则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的。即的几何空间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：f(x)- A

Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使f(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的应是什么样呢？也就是如何依赖f(x)- AⅠ<ε求呢？具体过程如下：

将f(x)- AⅠ变形：f(x)- AⅠ=MⅠx-Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。

再取=，则当0<Ⅰx-Ⅰ<时，有0<Ⅰx-Ⅰ<，整理为0

f(x)- AⅠ=MⅠx-Ⅰ<ε,也就是当0<Ⅰx-Ⅰ<时，保证了f(x)- AⅠ<ε。

结论若对于任一数ε>0能求出>0,只须Ⅰx-Ⅰ<能使f(x)- AⅠ<ε（式中的x取自X内且异于）成立，则称当x趋向于时（或在）函数f(x)以数A为极限。

记成：