数值计算方法试题集及答案

《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦。

答案：

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501

4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ，拉

格朗日插值多项式为 。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

5、设可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

6、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为

( 1

2+-n a b )；

10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均

不为零)。

12、 为了使计算

32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该

表达式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式

19992001-改写为

199920012

+ 。

13、 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。

14、 求解方程组⎩⎨

⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为

⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭

代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121

。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，的二次牛顿插值

多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式⎰∑=≈b

a

k n

k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 12+n )次代数精度。

21、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间内的根

精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

22、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2

110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则

a =( 3 )，

b =（ 3 ），

c =（ 1 ）。

23、)(,),(),(1

x l x l x l n

Λ是以整数点n

x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

0)(( 1 )，

∑==

n

k k j

k x l

x 0

)(( )，当时

=

++∑=)()3(20

4

x l x x

k k n k k

(

3

24++x x )。

24、

25、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计

算结果较精确 ()x x x f ++=

11

。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的

根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

28、写出求解方程组⎩⎨

⎧=+-=+2

4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel

迭代公式 ()()

()()Λ,1,0,4.026.1111

12211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩

阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。 31、设A =⎛⎝ ⎫⎭

⎪

5443,则=∞

A 9 。

32、设矩阵

482257136A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

的

A LU

=，则

4820161002U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

。

33、若4

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f =

3 。