苏州市2014届高三暑假自主学习测试数学(文)试题

参考公式：
样本数据12,,,n x x x 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1.已知集合{|1}A x x =≤，{|0}B x x =>，则A B = .
2.设x R ∈，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ．
3.设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位），则z = .．
4.若2x >，则1
2
x x +-的最小值为 ． 【答案】4
5.样本数据18，16，15，16，20的方差2s＝
.
6.已知双曲线
2
21(0)
y
x m
m
-=>的离心率为2，则m的值为 ___ ___．
7.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___ ___. 【答案】9
T←1
i←3
While T <10
T←T +i
i←i+2
End While
Print i
8.已知函数n
m y x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率
为_____．
9.已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．
考点：简单的线性规划.
x
10.已知函数2, 0,
()2, 0
x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．
11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且13
4
AE AA =
，11
3CF CC =，
点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD
F ABD
V V --=
.
【答案】
32
【解析】
试题分析：点,A C 到BD 的距离之比为3:2，所以2
3
BCD ABD
S S ∆=∆，又直四棱柱
1111ABCD A B C D -中，134AE AA =
，113CF CC =，所以94
AE CF =，于是1
29331
3423
BCD E BCD
F ABD
ABD S AE
V V S CF ∆--∆⋅==⨯=⋅.
考点：直棱柱的定义、棱锥体积公式.
12.已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22
:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．
13.已知函数()3sin()(0)6
f x x π
ωω=-
>和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对
称轴完全相同，则()3
g π
的值是 ．
14.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=
，求,AC BC 的长．
所以cos cos2C C -=，即2
2cos cos 10C C +-=， ………………… 4分
16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =，1BC =，,E F
分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．
（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明纯平面垂直. 试题分析：
17.（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *
∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
1, 32 1 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，
为偶数
，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．
【答案】（Ⅰ）()n a n n N *
=∈；（Ⅱ）21
222
22n n T n n +=++-；
【解析】（Ⅰ）对条件2(1)n n n S a a =+进行变形得出数列满足的递推关系，进而再求通项
18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒
的角为α．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．
【答案】（Ⅰ）60(sin 2)
80cos W αα
-=-
；（Ⅱ）最小费用为80+万元，相应的角α为
6
π.
令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=
，得6
π
α=． …………… 11分 列表
19.（本小题满分16分） 已知椭圆
22
2
21(0)x y a b a b
+=>>的长轴两端点分别为,A B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使
(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．
（Ⅰ）如图（1），若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为
6
5
，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若2k =，试证明：,,AE EF FB 成等比数列．
【答案】 （Ⅰ）22
194
x y +=；（Ⅱ）详见解析.
得200()(2)2()x a y b b x a -+=-，
0202()2b a x a x y b -∴-=+，即002()
2b a x FB y b -=+．…… 11分
又22002
2
1x y a
b
+
=，22222002
2
004()4(2)
(2)
b a x a y AE FB y b y b -∴⋅=
=
++. …………………
13分
而
20.（本小题满分16分）
对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数2
()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若()2x
f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）若1
2()423x
x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取
值范围．
方程()()0f x f x +-=即2
2(4)0a x -=有解2x =±，
令22
()228F t t mt m =-+-，
1° 当(2)0F ≤，2
2
2280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，
由(2)0F ≤，即2
2440m m -
-≤，解得11m ≤≤+ (13)
分。