苏州市2014届高三暑假自主学习测试数学(文)试题

参考公式：

样本数据12,,,n x x x 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1.已知集合{|1}A x x =≤，{|0}B x x =>，则A B = .

2.设x R ∈，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ．

3.设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位），则z = .．

4.若2x >，则1

2

x x +-的最小值为 ． 【答案】4

5.样本数据18，16，15，16，20的方差2s＝

.

6.已知双曲线

2

21(0)

y

x m

m

-=>的离心率为2，则m的值为 ___ ___．

7.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___ ___. 【答案】9

T←1

i←3

While T <10

T←T +i

i←i+2

End While

Print i

8.已知函数n

m y x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率

为_____．

9.已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312

x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪

⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．

考点：简单的线性规划.

x

10.已知函数2, 0,

()2, 0

x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．

11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且13

4

AE AA =

，11

3CF CC =，

点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD

F ABD

V V --=

.

【答案】

32

【解析】

试题分析：点,A C 到BD 的距离之比为3:2，所以2

3

BCD ABD

S S ∆=∆，又直四棱柱

1111ABCD A B C D -中，134AE AA =

，113CF CC =，所以94

AE CF =，于是1

29331

3423

BCD E BCD

F ABD

ABD S AE

V V S CF ∆--∆⋅==⨯=⋅.

考点：直棱柱的定义、棱锥体积公式.

12.已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22

:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．

13.已知函数()3sin()(0)6

f x x π

ωω=-

>和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对

称轴完全相同，则()3

g π

的值是 ．

14.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=

，求,AC BC 的长．

所以cos cos2C C -=，即2

2cos cos 10C C +-=， ………………… 4分

16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =，1BC =，,E F

分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．

（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明纯平面垂直. 试题分析：

17.（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *

∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

1, 32 1 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，

为偶数

，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．

【答案】（Ⅰ）()n a n n N *

=∈；（Ⅱ）21

222

22n n T n n +=++-；

【解析】（Ⅰ）对条件2(1)n n n S a a =+进行变形得出数列满足的递推关系，进而再求通项

18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒

的角为α．

（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．