一道经典高中数学题详解

已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数

（I）求a的值；

（II）求λ的取值范围；

（III）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．解：（1）∵函数f（x）=ln（e x+a）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）

（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．…（5分）

又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）

（3）∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1．

只需-λ-sin1≤t2+λt+1．∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0.

&其中λ≤-1

恒成立．…（10分）

令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1，则t+1≤0

-t-1+t2+sin1+1≥0.

∴

t≤-1

t2-t+sin1≥0.而t2-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．…（13分）