第三章多自由度体系的振动2

2、重根时的正交性问题
设频率方程具有一个二重根，即两个主振型 {Y (1) } 和{Y ( 2) }对应 的固有频率彼此相等，记为 1 2 1, 2 ，而其他频率都彼 此不同。 [K ]{Y ( S ) } 2 [M ]{Y ( s ) }
s
[K ]{Y (1) } 12,2 [M ]{Y (1) } （a）
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
{Y } [K ]{Y } {Y } [M ]{Y }
(s) T (t ) 2 t (s) T (t )
转置
[ K ]T [ K ], [M ]T [M ]
{Y (t ) }T [K ]{Y (s) } s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s) }
是一个与频率 1, 2 对应的主振型向量。
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
如果两个主振型 {Y (1) }和 {Y ( 2) }彼此不正交，即
{Y (1) }T [M ]{Y ( 2) } 0
取一个由 {Y (1) } 和 {Y ( 2) } 组成的新的主振型，即
{Y
(1, 2)
} {Y } c{Y }
{Y } [ K ]{Y } 0
(t ) T (s)
相对于刚度矩阵 [K]来说，不同频率相应的主振型是彼此正 交的。 主振型第二正交条件 两个正交关系式是建立在s≠t 基础的。
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
{Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
对于s=t的情形，令:
{Y ( j ) }T [M ]{y} j Mj
可将任一位移按主振型展开。
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
主振型正交的物理意义： 1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表 达式为 ：
ys {Y ( s ) }sin(s t ), ys s 2 {Y ( s ) }sin(s t ) f s [ M ] ys [ M ]s2{Y ( s ) }sin(s t ) {Y } f s {Y } [ M ]s {Y }sin(s t ) 0
Y
1
0.163 0.569, 1
Y
2
0.924 1.227, 1
Y
3
2.760 3.342 1
解：（1）演算第一正交性。
0.163 {Y (1) }T [ M ]{Y (2) } 0.569 1
主振型正交的物理意义：
1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表 达式为 ：
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的 振动。 3）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
(1) ( 2)
{Y (1) }T [M ]{Y (1, 2) } {Y (1) }T [M ]{Y (1) } c{Y (1) }T [M ]{Y ( 2) }
{Y
(1,2)
}＝0
{Y (1) }T [ M ]{Y (1) } c (1) T {Y } [M ]{Y ( 2) }
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[M ]{ y(t )} [ K ]{ y(t )} 0
[Y ] [M ][Y ]{ (t )} [Y ] [ K ][Y ]{ (t )} 0
T T
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有
(t )} [ K * ]{ [M * ]{ (t )} 0
3
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
[K ]{Y
(S )
(s) T { Y } } [M ]{Y }
2 s
(s)
左乘
{Y ( s ) }T [K ]{Y ( s ) } s2 {Y ( s ) }T [M ]{Y ( s ) }
K s {Y ( s ) }T [ K ]{Y ( s ) }
T
2 0 0 0.924 0 1 0 1.227 m 0.0006m 0 1 0 0 1 5
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
同理：
{Y (1) }T [ M ]{Y (3) } 0.002m 0 {Y ( 2) }T [ M ]{Y (3) } 0.0002m 0
将{Y ( j ) }T [M ]左乘方程的两边:
i 1
n
{Y
( j) T
} [ M ]{y} i {Y ( j ) }T [ M ]{Y (i ) }
i 1
n
由主振型的正交性：
{Y } [M ]{y} j {Y } [M ]{Y } j M j
( j) T ( j) T 0
(t ) T (s)
M s {Y ( s ) }T [M ]{Y ( s ) }
K s {Y } [ K ]{Y }
(s) T (s)
Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量 (generalized mass)和广义刚度(generalized stiffness） 每个主振型都有相应的广义质量 和广义刚度。
(1) T ( 2)
T
同理：
{Y (1) }T [ K ]{Y (3) } 0.001 k 0 {Y ( 2) }T [ K ]{Y (3) } 0.00001 k 0
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
对任意一个位移向量{y} ，将其写成主振型的线性组合：
{ y} 1{Y (1) } 2 {Y ( 2) } n {Y ( n ) } i {Y (i ) }
M1 0 0
0 M2 0
0 0 [M * ] Mn
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
矩阵 [ M * ] 中的非对角元素全为零，对角线的元素就是广义质 量 M 1 , M 2 , M n 对角矩阵 [ M * ] 称为广义质量矩阵。
K1 0 [Y ]T [ K ][Y ] 0
[K ]{Y (2) } 12,2 [M ]{Y ( 2) } （b）
(a) a (b) b
[K ](a{Y (1) } b{Y (2) }) 12,2 [M ](a{Y (1) } b{Y (2) })
{Y (1, 2) } a{Y (1) } b{Y ( 2) }
i (t ) K ii (t ) 0 M i
(i 1,2,, n)
利用正则变换，可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一 元方程，将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化 为n个独立的单自由度体系的振动问题，计算工作大为简化。 解耦条件： （1）线性结构 （2）[M]、[K]具有正交性
{Y (1) }和 {Y (1,2) } 就是两个彼此正交的主振型。
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
由于 1, 2与其余 i (i 3,4,, n) 不相等，与 1, 2 对应的
任意一个主振型{Y (1, 2) } 都与其余频率的主振型{Y ( i ) } (i=3,4,
…,n) 彼此正交。 在具有n个自由度的体系中，即使在频率方程中出现两重根， 仍然可以选到n个主振型，使它们彼此正交。 n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型。

2 s
2 t
{Y } [M ]{Y
(t ) T (s)
(t ) T
(s)
} 0
1
{Y } [K ]{Y } 0
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
{Y } [M ]{Y
(t ) T (s)
} 0
振型的正交关系式（orthogonality relation） 相对于质量矩阵 [M]来说，不同频率相应的主振型是彼此正交 的。 主振型第一正交条件 另一个正交关系式：
M s {Y ( s ) }T [M ]{Y ( s ) }
K s s2 M s
可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自 由振频率 s 。
Ks s Ms
由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
0 K2 0
0 0 [K * ] Kn
* [ K ]称为广义刚度矩阵。 为广义刚度，对角矩阵 Ki
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
n 个自由度体系的振动方程：
[M ]{ y(t )} [ K ]{ y(t )} 0
质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]都是对角矩阵， 方程组就是n个独立的方程，每个方程只有一个未知量。 相当于求解n个单自由度体系的振动问题。 质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]不是对角矩阵。方程是一个耦合 方程。
(t ) T (t ) T (t ) T 2 (s)
{Y } [ M ]s {Y }sin(s t )
2 (s)
s {Y } [ M ]{Y }sin(s t ) 0
2 (t ) T (s)
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
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§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
例：图示体系的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]为： m
m
2m
k 5 k 3
k
三个主振型分别如下，演算正交性。
20 5 0 k [K ] 5 8 3 15 0 3 3