第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式

查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
2
3600
z
z
Fcr
π 2 EI min
0.7l
2 206 109 280 108
0.7 3.6
2
870 kN
[例1] 由No. 25a 工字钢制成的一端固定、一端铰支立柱，材料为
Q235 钢。已知立柱长 l = 3.6 m ，弹性模量 E = 206 GPa，试求立柱
l
imin
s 61.4
105 P
故由欧拉公式得其临界力
Fcr
π 2 EI min
0.7l
2
870 kN
3600
2）两端固定但可沿轴向相对移动 长度因数 = 0.5， 立柱柔度
z
z
s
l
imin
0.5 3600 75 p 24
iz Iz 74200 11.6 mm A 552
z
z l1
iz

1.0 750 64.7 11.6
在 x-z 平面（弯曲中性轴为 y 轴）： 两端固定可轴向相对移动
y = 0.5
A 552 mm2
l2 = 580 mm
24 123 6 223 Iy 2 14100 mm4 12 12
= 0.7

l
imin
z
imin = 2.4 cm

l
imin
0.7 3600 105 24
由表 10-2 查得
p 100
s 61.4
∴ P 立柱为细长杆
故由欧拉公式得其临界力
Fcr
π 2 EI min
0.7l
2
由型钢表查得
Imin = 280 cm4
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
22 63 12 243 2 Iz 2 22 6 15 74200 mm 4 12 12
的临界力。若将约束条件改为两端固定但可沿轴向相对移动，则问 该立柱的临界力有何变化？ 解： 1） 一端固定一端铰支 长度因数 = 0.7 由型钢表查得 imin = 2.4 cm A = 48.541 cm2 Imin = 280 cm4
z
由表 10-2 查得
立柱柔度 立柱为细长杆
p 100
2 2 πE cr a b s
≥ p
s p
≤ s
cr
其对应在 - cr 坐标系中 的图线即称为压杆的临界 应力总图 结论：对于中、小柔度杆， 若误用欧拉公式计算临界应 力，将产生偏向危险一面的 严重误差。
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s
p
O
s
p

此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
s p
其中，直线公式适用的柔度界限值 s = (a－s) / b，为材料常数 这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 (或中柔度杆) 说明：当 ≤ s ，称为粗短杆，则应按强度问题处理
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
iy
Iy A

14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
第四节 临界应力的经验公式
一、压杆临界应力的经验公式·直线公式 当 < p ，欧拉公式不再适用，但压杆仍会失稳。此时，可用下 列经验公式来计算压杆的临界应力
cr a b
式中，a、b 为材料常数，单位均为 MPa 上述经验公式也称为直线公式
cr a b
二、直线公式的适用范围
[例1] 由No. 25a 工字钢制成的一端固定、一端铰支立柱，材料为
Q235 钢。已知立柱长 l = 3.6 m ，弹性模量 E = 206 GPa，试求立柱
的临界力。若将约束条件改为两端固定但可沿轴向相对移动，则问 该立柱的临界力有何变化？ 解： 1） 一端固定一端铰支
长度因数
立柱柔度 由型钢表查得