第1章 复数与复变函数汇总
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
复数与复变函数基础
第一章㊀复数与复变函数复变函数的定义域和值域均取自复数域．因此,在展开主要内容之前,有必要系统地学习复数的概念及相关性质．第一节㊀复数及其代数运算㊀㊀一㊁复数的概念定义１．１㊀形如z ＝x ＋i y 或z ＝x ＋y i 的数称为复数,其中x ,y 为两个实数,分别称为复数z 的实部和虚部,并记为x ＝R e (z ),y ＝I m (z )．i 称为虚数单位,满足i ２＝－１显然,当虚部y ＝０时,复数z 就是实数;当实部x ＝０且虚部y ʂ０时,复数z ＝i y 称为纯虚数;两个复数z １＝x １＋i y １与z ２＝x ２＋i y ２相等,当且仅当z １,z ２实部㊁虚部分别对应相等,即x１＝x ２,y １＝y ２;称复数x －i y 为复数x ＋i y 的共轭,记为．㊀㊀二㊁复数的四则运算记z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则两个复数的和、差与乘积的定义如下z １ʃz ２＝(x １ʃx ２)＋i (y １ʃy ２)㊀㊀㊀(１１)z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)(１２)当z ２ʂ０时,可以定义除法z １z ２＝x １＋i y １x ２＋i y ２＝x １x ２＋y １y ２x ２２＋y ２２＋i x ２y １－x １y ２x ２２＋y ２２(１３)㊀㊀三㊁复数的运算性质由复数四则运算的定义,不难验证以下的复数的运算性质:(１)封闭性,即复数的四则运算的结果仍是一个复数;(２)加法交换律,即z １＋z ２＝z ２＋z １;(３)加法结合律,即(z １＋z ２)＋z ３＝z １＋(z ２＋z ３);(４)乘法对加法的分配律,即z １(z ２＋z ３)＝z １z ２＋z １z ３;(５)乘法交换律与结合律,即z １z ２＝z ２z １及(z １z ２)z ３＝z １(z ２z ３)．(６)共轭运算的性质z １ʃz ２＝１ʃ２z １z ２＝１２z １z ２æèçöø÷＝１２()＝z z ＋＝２xz－＝２yi (读者自行证明)例１ １㊀设z １,z ２是两个复数,证明:如果z １＋z ２及z １z ２都是实数,那么z １,z ２或者都是实数,或者是共轭复数．证㊀设z １＝x １＋i y １,z ２＝x ２＋i y ２,则z １＋z ２＝(x １＋x ２)＋i (y １＋y ２),㊀z １z ２＝(x １x ２－y １y ２)＋i (x １y ２＋x ２y １)由题设知y １＋y ２＝０㊀及㊀x １y ２＋x ２y １＝０(１)当y １＝０时,y ２＝０,这时z １,z ２为实数;(２)当y １ʂ０时,y １＝－y ２,从而由第二式得x １＝x ２,这时z １和z ２为共轭复数．㊀证毕．注㊀当z １＝２时,z １z ２＝x ２１＋y ２１．例１ ２㊀设z ＝１－２i ３＋４i ,求及z ．解㊀z ＝(１－２i )(３－４i )(３＋４i )(３－４i )＝－５－１０i ２５＝－１５－２５i所以＝－１５＋２５i ,㊀z ＝－１５æèçöø÷２＋－２５æèçöø÷２＝１５第二节㊀复数的几何表示㊀㊀一、复平面一个复数x ＋i y 可完全由一对有序数组(x ,y )所确定．因此,我们在平面上可 ２ 复变函数与积分变换(第二版)图１１建立直角坐标系,使得复数x ＋i y 与平面上的点(x ,y )一一对应(图１１)．由于实数x (y ＝０)对应于横坐标轴上的点,纯虚数i y (x ＝０,y ʂ０)对应于纵坐标轴上的点,故将平面直角坐标系中的横坐标轴改称实轴,纵坐标轴改称虚轴,并称这个平面为复平面,或z 平面．㊀㊀二㊁复数的点表示引入复平面后,复数与平面之间建立了一一对应,从而复数的许多结果得到了几何直观的解释．为方便起见,复数z 和复平面上的点z 可等同叙述,如{z |I m z ＞０}㊀与㊀{z |０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１}分别表示上半平面和以０,１,１＋i ,i 为顶点的正方形．图１２㊀I m z ＞０㊀㊀㊀㊀图１３㊀０ɤR e z ɤ１,０ɤI m z ɤ１图１４㊀㊀三㊁复数的向量表示如果把复数z ＝x ＋i y 的实部和虚部作为平面向量在两坐标轴上的投影,则复数z ＝x ＋i y 可用平面向量O z ң＝{x ,y }表示(图１４)．向量O z ң的模称为复数z 的模,记为|z |＝r ＝x ２＋y ２(１４)它是点z 到原点的距离,即向量O z ң的长度．由模的定义易得|x |ɤ|z |,㊀|y |ɤ|z |,㊀|z |ɤ|x |＋|y |,㊀z z ＝|z |２(１５)定义１．２㊀当z ʂ０时,以实轴正向为始边,以复数z 对应的向量O z ң为终边的角称为复数z 的辐角,记为A r g z ．令A r g z ＝θ,则由向量的性质可得x ＝|z |c o s θ,㊀y ＝|z |s i n θ,㊀t a n θ＝y x (１６) ３ 第一章㊀复数与复变函数需要指出的是,任何一个不为０的复数均有无穷多个辐角,若θ１为z 的一个辐角,则A r g z ＝θ１＋２k π㊀(k ɪZ )(１７)都是z 的辐角．在复数z (ʂ０)的辐角中,满足－π＜θ０ɤπ的辐角θ０称为复数z 的辐角主值,记为θ０＝ar g z ．当z ＝０时,O z ң表示零向量,其辐角不定．非零复数z ＝x ＋i y 的辐角主值ar g z 可以由下式确定a r g z ＝a r c t a n y x ,当x ＞０π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＞０－π＋a r c t a n y x ,当x ＜０,y ＜０π当x ＜０,y ＝０π２当x ＝０,y ＞０－π２当x ＝０,y ＜０ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１８)将复数视为向量时,复数的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则(图１５)．㊀图１５从三角形法则,可以得到以下的三角不等式|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|㊀(１９)|z １－z ２|ȡ||z １|－|z ２||(１１０)㊀㊀四、复数的乘方与开方设z 为一个复数,由(１４)和(１６)式可知,z 可以表示为４ 复变函数与积分变换(第二版)z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(１１１)其中r 表示复数z 的模,θ为复数z 的辐角,(１１１)式称为复数z 的三角表达式．利用欧拉公式e i θ＝c o s θ＋i s i n θ(１１２)我们可以把复数z 表示为z ＝r e iθ(１１３)这称为复数的指数表达式,易知此时＝re －i θ．利用复数的指数表达式,我们很容易计算出复数z 的乘除法公式和乘方公式:设z １＝r １(c o s θ１＋i s i n θ１),z ２＝r ２(c o s θ２＋i s i n θ２),则㊀z １z ２＝r １r ２[c o s (θ１＋θ２)＋i s i n (θ１＋θ２)]㊀或㊀z １z ２＝r １r ２e i (θ１＋θ２)(１１４)z ２z １＝r ２r １[c o s (θ２－θ１)＋i s i n (θ２－θ１)]㊀或㊀z １z ２＝r ２r １e i (θ２－θ１)(r １ʂ０)(１１５)z n ＝z z ︸n 个＝r e i θ r e i θ r e i θ n 个＝r n e i nθ(１１６)或z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)(１１７)如果定义z －n ＝１z n ,那么当n 为复整数时,(１１６)和(１１７)式也是成立的．由(１１１)和(１１７)式,当r ＝１时可以导出著名的棣莫弗公式(c o s θ＋i s i n θ)n ＝c o s n θ＋i s i n n θ(１１８)将此式的左端展开,再分为实部和虚部,就可以得到n 倍角公式．例如,令n ＝３,由于㊀(c o s θ＋i s i n θ)３＝[c o s ２θ－s i n ２θ＋i (c o s θs i n θ＋c o s θs i n θ)](c o s θ＋i s i n θ)＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θ＋i (３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ)所以有c o s ３θ＝c o s ３θ－３c o s θs i n ２θs i n ３θ＝３c o s ２θs i n θ－s i n ３θ再来考虑开方运算．对于一个复数z １,如果有另一个复数z ２及一个正整数n,使得z n ２＝z １,则z ２称为z １的一个n 次方根．下面给出求z １的n 次方根公式．设已知５ 第一章㊀复数与复变函数z １＝r (co s θ＋i s i n θ)其n 次方根z ２＝ρ(c o s φ＋i s i n φ),下面来计算ρ和φ．由于z n ２＝z １,所以有[ρ(c o s φ＋i s i n φ)]n ＝r (c o s θ＋i s i n θ)即得ρn (c o s n φ＋i s i n n φ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)所以ρ＝r １n ,㊀n φ＝θ＋２k π(k ɪZ )故知z ２＝r １n c o s θ＋２k πn ＋i s i n θ＋２k πn æèçöø÷(１１９)注意到当k 取连续的n 个整数,例如１,２, ,n 时,可以得到φ的n 个值,其中任意两个值相差不超过２π．因此,z ２至少可以取n 个值．当k 的取值超过n 个时,必有φ的两个值,其差为２π的整数倍．因此,z ２至多取n 个值．因此,当z １ʂ０时,z２可以恰好取n 个值,且z ２＝|z １|１n c o s a r g z １＋２k πn ＋i s i n a r g z １＋２k πn æèçöø÷(k ＝０,１, ,n －１)(１２０)例１ ３㊀设z １＝１＋i ,z ２＝１＋３i ,求A r g z １z ２æèçöø÷．解㊀z １＝１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷＝２e π４i z ２＝１＋３i ＝２c o s π３＋i s i n π３æèçöø÷＝２e π３i 所以A r g z １z ２æèçöø÷＝A r g ２e π４i ２e π３i æèçöø÷＝A r g ２２e －π１２i æèçöø÷＝－π１２＋２k π㊀(k ɪZ )例１ ４㊀求:(１)４－１;㊀㊀㊀㊀㊀(２)５１＋i ．解㊀(１)因为－１＝c o s π＋i s i n π,所以４－１＝c o s π＋２k π４＋i s i n π＋２k π４㊀(k ＝０,１,２,３) ６ 复变函数与积分变换(第二版)即４－１有４个不同的值,分别为ω０＝co s π４＋i s i n π４＝２２(１＋i )ω１＝co s π＋２π４＋i s i n π＋２π４＝２２(－１＋i )ω２＝co s π＋４π４＋i s i n π＋４π４＝２２(－１－i )ω３＝c o s π＋６π４＋i s i n π＋６π４＝２２(１－i )(２)因为１＋i ＝２c o s π４＋i s i n π４æèçöø÷,所以５１＋i ＝１０２æèççc o s π４＋２k π５＋i s i n π４＋２k π５öø÷÷㊀(k ＝０,１,２,３,４)即５１＋i 有５个不同的值,分别为ω０＝１０２c o s π２０＋i s i n π２０æèçöø÷ω１＝１０２c o s ９π２０＋i s i n ９π２０æèçöø÷ω２＝１０２c o s １７π２０＋i s i n １７π２０æèçöø÷ω３＝１０２c o s ２５π２０＋i s i n ２５π２０æèçöø÷ω４＝１０２c o s ３３２０π＋i s i n ３３２０πæèçöø÷它们是内接于以原点为中心㊁１０２为半径的圆的内接正五边形的５个顶点．注意:在复数范围内,方程z ３－１＝０有３个不同的根,分别为１,㊀－１２＋３２i ,㊀－１２－３２i 第三节㊀无穷远点和复球面㊀㊀一、无穷远点为了使复数运算在许多情况下是可以进行的,我们不但要讨论有限复数,还要７ 第一章㊀复数与复变函数讨论一个特殊的 复数 无穷大,记为ɕ,它是由下式ɕ＝１０来定义的,它和有限数的四则运算定义如下:a ＋ɕ＝ɕ＋a ＝ɕ㊀㊀㊀㊀㊀(a ʂɕ)ɕ－a ＝ɕ,㊀a －ɕ＝ɕ(a ʂɕ)a ɕ＝ɕ a ＝ɕ㊀(a ʂ０)a ɕ＝０,㊀ɕa ＝ɕ㊀(a ʂɕ)a ０＝ɕ㊀(a ʂ０)为避免矛盾,对于ɕʃɕ,０ ɕ,ɕɕ,００均无规定．对于复数ɕ,其实部㊁虚部及辐角均无意义,其模规定为＋ɕ．对于其他的每个复数z ,都有|z |＜＋ɕ．在复平面上,没有一个确定的点与ɕ相对应,但可以设想复平面上有一个理想点与它对应,此点称为无穷远点．我们规定复平面上只有一个无穷远点．复平面加上无穷远点称为扩充复平面,也称闭平面．扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点．为了使无穷远点的存在得到直观解释,黎曼特别创造了复数的球面表示法．图１６㊀㊀二、复球面以复平面的原点为球心,作半径为１的球．从原点引垂直于复平面的直线为z 轴,交球面于N 和S ,分别称为北极和南极,如图１６所示．对复平面上的任一点z ,从起点N 引过z 的射线,交球面于P ;反之,由起点N 出发,过球面上任一点P 的射线交复平面于一点,记为z ．这样,我们就建立了球面上的点(除N 外)与复平面上点的一一对应,从而可以用球面上的点(除N 外)来表示复数．应当注意到,以这样的方式建立的一一对应中,复平面内并无一个点与球面上的N 点对应．由于当z 的模|z |无限变大时,P 就无限接近N ,为使复平面上的点与球面上的点都能一一对应,我们在复平面上增加 无穷远点 ,使之与球面上的N 点对应．这样,扩充复平面就与球面之间建立了一一对应,这个球面称为复球面,其上 ８ 复变函数与积分变换(第二版)的N 点就是 无穷远点 ．第四节㊀复平面上的点集㊀㊀一㊁邻域㊁开集复平面上以z ０为圆心㊁r 为半径的圆面(不包括圆周)称为z ０的r 邻域,记为U (z ０,r ),则U (z ０,r )＝{z ||z －z ０|＜r }称U .(z ０,r )＝{z |０＜|z －z ０|＜r }为z ０的去心r 邻域．设D 为复平面上的点集．㊀如果存在z ０的某个邻域U (z ０,r )使得U (z ０,r )⊂D ,则称z ０为D 的一个内点．D 的所有内点构成D 的内部,记为i n t D ．如果z ０的任一邻域中,既有D 中点也有D 的余集中的点,则称z ０为D 的一个边界点．D 的所有边界点构成D 的边界,记为ƏD ．如果D ＝i n t D ,则称D 为一个开集;如果ƏD ⊂D ,则称D 为一个闭集．例如:|z －i |＜２为开集,|z －i |ɤ２为闭集．㊀㊀二㊁区域定义１．３㊀设D 为复平面上的点集,如果D 满足:(１)D 是一个开集;(２)D 中任何两点都可以用完全包含于D 内的一条折线连接起来(这个性质称为D 的连通性)则称D 为复平面上的一个区域．D ɣƏD 称为闭区域,记为D ．如果区域D 可以包含在一个圆周之中,则称该区域为有界区域,否则称为无界区域．例１ ５㊀复平面上,满足r １＜|z －z ０|＜r ２(r １＜r ２)的所有点构成一个有界区域(图１７),其边界为圆周|z －z ０|＝r １和|z －z ０|＝r ２称这样的区域为圆环域．例１ ６㊀复平面上满足R e (z )ȡ１的所有点构成一个无界的闭区域(图１８)．９ 第一章㊀复数与复变函数图１７㊀㊀㊀图１８㊀㊀三、平面曲线的复值函数形式我们知道,一个参数方程x＝x(t)y＝y(t){㊀(tɪ[α,β])在几何上表示一条平面曲线,而复值函数z＝x(t)＋i y(t)㊀(tɪ[α,β])(１２１)在复平面上表示的也是这条平面曲线．例如z＝R(c o s t＋i s i n t)(R＞０,０ɤtɤ２π)表示以原点为圆心㊁R为半径的圆,而z＝t＋i t２(－１ɤtɤ１)则表示一段抛物线．若在(１１７)中,x,y均为t的连续函数,则称平面曲线z＝x(t)＋i y(t)为连续曲线;若xᶄ(t),yᶄ(t)在tɪ[α,β]上都连续,且xᶄ２(t)＋yᶄ２(t)ʂ０,tɪ[α,β],则称平面曲线为光滑的;光滑曲线上每点皆有切线,且切线是连续变化的;若曲线由若干段光滑曲线连接而成,则称曲线为分段光滑的．设C:z＝z(t)(αɤtɤβ)为一条连续曲线,z(α)与z(β)分别称为C的起点和终点．对于满足α＜t１＜β,αɤt２ɤβ的t１,t２,当t１ʂt２且有z(t１)＝z(t２)时, z(t１)称为曲线C的重点．没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若当曲线．如果简单曲线的起点和终点重合,即z(α)＝z(β),则称曲线C为简单闭曲线．由此即知,简单曲线自身不会相交．如图１９所示．图１９０１ 复变函数与积分变换(第二版)。
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
第一章复数与复变函数单元小结
化为三角形式与指数形式.
3 i 2 2i
2
3 i 2 2i 2
31
解 方法一 z
2 3i
2 2i 2
2
i, 2
z 1,arg z .
6
i
z cos i sin e 6 .
6
6
3 i 2 2i
例1 将复数 z
化为三角形式与指数形式.
3 i 2 2i
分析 方法二 由于分子分母互为共轭复数, z 1
Argz Arg 3 i Arg 2 2i
3i
2 2i
2m
3
2n
2
2m
n
6
arg z .
6
例2 证明三点 z1 , z2 , z3 构成正三角形顶点的充分必要条件是 z12 z22 z32 z1z2 z2 z3 z3 z1
第一章 复数与复变函数 单元小结
教学基本要求 1.掌握复数的各种表示方法及其运算. 2.了解区域的概念. 3.了解复球面与无穷远点. 4.理解复变函数的概念. 5.了解复变函数的极限和连续的概念.
一、复数及其表示
1.关于复数的几何表示 复数可用复平面上的点或向量来表示，具有重要的理论意义和
应用价值. (1)通过建立复数z的三角表示和指数表示，大大化简复数的运算，
全一样，只要把实数集换成复数集即可.注意：
（1）实变函数是单值函数，复变函数有单值和多值之分； （2）w=f(z)是从z平面上的点集到w平面上点集的映射，它可以
把z平面上的点、曲线或图形映射为w平面上的点、曲线或 图形，实现两不同复平面上的图形之间的变换，为简化或 解决某些问题提供了可能；
（3）由于w=f(z)对应着两个二元实变函数，u=u(x,y),v=v(x,y) 所以，可以将对复变函数的研究转化为对两个二元实变函数 研究.这是研究复变函数的常用的思想方法之一.
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
《复变函数》第一章 复数与复变函数
A r g z1 z 2 = A r g z1 + A r g z 2 z1 A r g ( ) = A r g z1 A r g z 2 z2
z1 z2 = z1 z2
(1.9)
( z2 ≠ 0)
(1.10)
(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明:两个复数 z1 , z2 的乘积(或商),其模等 于这两个复数模的乘积(或商),其幅角等于这两个复数幅角的和(或 差). 特别当 z2 = 1 时可得 z1 z2 = rei (θ1 +θ 2 ) 此即说明单位复数 ( z 2 = 1 ) 乘任何数,几何上相当于将此数所对应 的向量旋转一个角度.
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
称
或
x iy = x + iy
设复数 z1 = x1 + iy1 , 2 = x2 + iy2 ,则复数四则运算规定: z
z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) ± i ( y1 ± y2 )
z1 i z2 = ( x1 x2 y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )
复数及复变函数word版
第一章 复数及复变函数§1. 复数一. 复数的基本概念 1. 复数形如iy x z +=的数称为复数；称x 为复数的实部，记作()z Re ；称y 为复数的虚部，记作()z Im ；称i 为虚数单位，其中12-=i 。
2. 复数的相等与共轭复数 （1） 设222111,iy x z iy x z +=+=，称21z z =，当且仅当⎩⎨⎧==2121y y x x ； 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数, 则不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.（2） 设iy x z +=，称复数iy x -为z 的共轭复数，记作z ；即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为; , 0 ,0 称为纯虚数时当iy z y x =≠=. ,0 , 0 x i x z y 我们把它看作实数时当+==共轭复数.重要公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.i z z y ,z z x 22.z z =二. 复数的四则运算及算律1. 复数的代数运算 设222111,iy x z iy x z +=+=，规定：()()212121y y i x x z z ±+±=±； ()()1221212121y x y x i y y x x z z ++-=；()02222221122222212121≠+-+++=z y x y x y x i y x y y x x z z .2. 算律：交换律：1221z z z z +=+； 1221z z z z ⋅=⋅;结合律：()()321321z z z z z z ++=++；()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅; 分配律：()3231321z z z z z z z ⋅+⋅=⋅+. 3. 共轭复数的性质()()()().03,2,12212121212121≠=⋅=⋅±=±z z z z z z z z z z z z z(4) .22y x z z +=三. 复平面称表示复数集合的平面为复平面, 复平面上的点或向量代表复数.§2. 复数的三角表示 一. 复数的模与辐角 1. 模与辐角的概念设iy x z +=,称22y x z z z +==为复数z,, 222111iy x z iy x z +=+=设两复数例：).Re(2 212121z z z z z z ⋅=⋅+⋅证明的模，称从x 轴正向到复向量z 0所夹的角为复数z 的辐角，记作Arg z , 称满足πθπ≤<-的辐角为复数z 的主辐角, 记作arg z .显然，复数z 的模即为复向量z 0的长度. 2. 模与辐角的性质 设iy x z +=,有(1). ;00,0=⇔=≥z z z(2). ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-.;zy z z x z （斜边大于直角边）(3). ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≤-+≤+≤-.;212121212121z z z z z z z z z z z z(4). 2121z z z z ⋅=⋅;(5). ()022121≠=z z z z z .(6). arg z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+.,x yarctan ,x y arctan ,x y arctan 三象限二象限，一，四象限，ππ 问题 数轴上的复数的辐角怎样？说明辐角不确定. 二. 复数的三角表示设z =r ，Arg z =ϕ，利用直角坐标与极坐标的关系 复数iy x z +=可以表示为()ϕϕsin cos i r z +=称为复数z 的三角表示.三. 复数的指数表示设z =r ，Arg z =ϕ，利用欧拉公式,0有无穷多个辐角任何一个复数≠z , 1是其中一个辐角如果θ的全部辐角为那么 z ).( π2Arg 1为任意整数k k z +=θ ,0 , 0 ,==z z 时当特殊地⎩⎨⎧==,sin ,cos ϕϕr y r x复数iy x z +=可以表示为ϕi re z = 称为复数z 的指数表示.例1 求复数z=i 31--的三角表示.例 2 将复数()πθθθ≤≤--=01sin i cos z 化为三角形式.四. 复数的乘、除及乘方、开方运算设：()()22221111sin cos ,sin cos ϕϕϕϕi r z i r z +=+=， 则：()()[]21212121sin cos ϕϕϕϕ+++=⋅i r r z z ; 即：两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. （公式说明：21z z ⋅所得到的复向量就是把1z 所对应的向量伸缩22z r =倍，然后再旋转22z arg =ϕ角；反之亦然。
第一章 复数与复变函数
Chapter 1 复数和复变函数一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number)形如b a i +(R b a ∈,，i =的数称为复数。
1．复数（Complex number ）的三种形式：1) ()ϕρϕϕρi sin i cos i e y x z =+=+=，（,,R y x ∈R ∈ϕρ,）代数式： i y x z +=;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：()ϕϕρsin i cos +=z ;指数式：ϕρi e z =，其中()∑∞==0!1n n i i n e ϕϕϕϕϕsin i cos +=i e 称为欧拉公式。
2) 一些术语（terminology ）和符号(notation):x z =Re , 实部（Real part ）y z =Im ，虚部（Imaginary part ）22mod y x z z +===ρ，模（Modulus ） （1） ϕ称为幅角（Argument ），记作z Arg 而将满足πϕ200≤≤或πϕπ≤≤-0的ϕ值称为幅角的主值或主幅角，记为z arg ，因此有：πn z z 2arg Arg += () 2,1,0±±=n （2） 当取ππ≤≤-z arg 时，有关系（3）()ϕρϕϕρi *sin i cos i )or (-=-=-=e y x z z ，)or (*z z 称为z 的复共轭或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然，z 也是)or (*z z 的复共轭。
注意：* 复数无大小。
但它们的模之间可以比较大小。
**21z z =的充要条件为2121Im Im ,Re Re z z z z ==;.,2121ϕϕρρ==2．复数的几何表示：复平面（Complex plane ）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点()y x ,或()ϕρ,与复数y x i +或ϕρi e 做成一一对应，此时的平面称为复平面, 其自由矢量为3．复数的运算规则：设 ()1i 1111111sin i cos i ϕρϕϕρe y x z =+=+=，()2i 2222222sin i cos i ϕρϕϕρe y x z =+=+=.1) 加法：()()212121i y y x x z z +++=+ 满足交换律和结合律。
复变函数第一章复数与复变函数
(1) 代数方程 x210在实数范围内无解.
为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数
的概念, 从而建立了复变函数理论.
Gauss 青年时代 老年时代
Carl Friedrich Gauss (1777.4.30-1855.2.23) 伟大的德国数学家、天文学家 和物理学家. 幼时家境贫困, 但聪敏 异常, 曾被誉为数学神童. 1795～1798年在哥廷根大学学 习, 1796年发现正十七边形的尺规 作图法, 解决了Euclid以来悬而未决
i4n 1, i4n1 i, i4n21, i4n3 i, i4n4 1.
1.1.3 复平面与复数的表示法
给定一复数z=x+iy, 在坐标平面XOY上存
在惟一的点P(x,y)与z=x+iy对应. 反之, 对XOY
平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数z=x+iy与它
对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算
变换应用于控制问题.
在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace
变换与输出量的Laplace变换之比.
(11) Z变换应用于离散控制系统.
(12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和
图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
地质勘探与地震预报等等. (13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
变换应用于频谱分析和信号处理等.
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之
间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图
象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.
(10)
Pierre Simon de Laplace (1749.3.23-1827.3.5)
复变函数第1章 复数与复变函数
设 z1 r1(cos1 isin1) r1ei1 ,
z2 r2(cos2 isin2 ) r2ei2
则
z1z2 r1r 2 (cos1 isin1)(cos2 isin2 )
r1r 2[cos( 12 ) isin( 12 )] r1r 2 ei( 12 )
于是， z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
(7) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
Josep(8h) Fourier 变换应用于频谱分析和信号处理等. (1768.3.21-1频83谱0.5分.1析6) 是对各次谐波的频率、振幅、相位之 法国数学间家的和关物系理进学行家分.他析致. 力随于着计算机的发展，语音、图 导问题, 象18等22作年出为版信名号著，《在热频的域分中的处理要方便得多.
1 i i
例1. 证明若z是实系数方程 an xn an-1xn1 a1x a0 0 的根,则z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
三、复平面及复数的几何表示y
设 z x iy P(x, y) OP x轴 实轴, y轴 虚轴
1. 模 、辐角 模：z r OP x2 y2 ; 则有
复 实数 ( y =0) 数 (C) 虚数 ( y 0)
纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 (x 0 )
简单性质：
(1) 设 z1 x1iy1 , z2 x2 iy2,则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
(2) z x iy 0 x 0且y 0
注意：一般说来，. 任意两个复数不能比较大小！
《复变函数》第一章 复数和复变函数
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
2
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
29
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
x
y
x1 y1
t( x2 t( y2
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
27
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 0 t 1
若取 t 1 , 2
得线段
z1z2
z1 2 z2 2 2 z1z2 z1 2 z2 2 2 z1 z2 ( z1 z2 )2 , 两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
26
例6 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
8
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
复变函数总结汇总
第一章复数与复变函数、复数几种表示(1)代数表示z =x • yi(2)几何表示：用复平面上点表示(复数z、点z、向量z视为同一概念)(3)三角式：z = r(cosv isi nr)(4)指数式：z = re iT1辐角Argz =arg z 2k 二|zh ,x2y2yarctan丄，x》0,xyarcta n丄+兀,x<0,y〉0xargz={ yarcta n± - x,x<0,yc0x兀/2, x = 0, y:>0-■: /2, x =0,y ： 0z - z2i、乘幕与方根(1)乘幕:(2)方根:re i-____ 2k n/t argz.R'z=n：|z|e n , k= 0,1,2，…n—1第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似注：（1）点解析=点可导，点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价二、定理1 W = f （z）=u • iv在Z o可导二u,v在Z o可微，满足C-R方程定理2 w二f⑵二u • iv在区域D内解析（可导）二u,v在区域D内可微，满足C-R方程讨论1 u,v在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程=w = f （z）二u iv在区域D内解析（可导）三、解析函数和调和函数的关系1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。
定义2设（x,y）^ （x, y）是区域D内调和函数，且满足C-R方程, xx，则称是「的共轭调和函数。
2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2函数在D内解析二虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。
（2）实部与虚部满足C-R方程。
求解方法：（例如已知v）（1）偏积分法：先求u x,u y，再求u = udx （y），得出（y）（2）利用曲线积分：求u x，u y,du，再u = u x dx u y dy c（x o,y o）（3）直接凑全微分：求u x,u y,du，再du四、初等函数1、 指数函数 w=e z =e x e iy =e x （cosy i sin y ）性质：（1） e z 是单值函数，（2） e z 除无穷远点外处处有定义（3） e z = 0（4） e z 处处解析，（e z ）'eZ（5） e z1 Z2 =e Zl e Z2（6） e z 是周期函数，周期是2k 「：i2、 对数函数w =Lnz =ln |z| i argz i2k 二 （多值函数）主值（枝）ln z=l n | z| iargz （单值函数）性质：（1）定义域是z = 0，（2） 多值函数（3） 除去原点和负实轴的平面内连续(5) Ln(wz 2) = Lnz j Lnz 2 Ln 三二 Ln^ - Lnz 2J3、幕函数w = z ，e-Lnz （z = 0「是复常数）（1） 为正整数，函数单值、处处解析，（2） 〉为负整数，函数单值、除去z = 0及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式 e i = c 0'S i s i n（4）除去原点和负实轴的平面内解析,1 1(Lnz) (In z): z ，z或 eJe 乂cos , s i n 二 2 2iiz _iz iz _iz定义: e +e . e -e cosz , sin z 二 2 2itan z=sin z/cosz, cot z = cosz/sin zsecz =1/cosz, cscz =1/sin z性质: 周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注： sin z, cosz 的有界性 保护成立。
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例1 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4) (m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x m2 3m 4, y m2 5m 6, (1) 如果复数是实数, 则y 0,
由m2 5m 6 0知m 6或m 1. (2) 如果复数是纯虚数, 则x 0且y 0,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
13
例6 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
2
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
由m2 3m 4 0知m 4或m 1. 但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
6
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
3
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
i8 i4 i4 1;
……
一般地，如果 n是正整数, 则
i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
11
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
(i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
i 1
i2
i 2i i2 1
i
2
1 3i 2i
(1 3i)(2 i) (2 i)(2 i)
2 i 6i (2)2
i2
3i 2
1
i.
12
例5
设
z1
5 5i,
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2Re(z1 z2 ).
15
例8 化简(1) 5 12i ; (2) i i.
解 (1) 5 12i x iy, 5 12i ( x2 y2 ) 2xyi,
x2 y2 5,
x 3, y 2,
2xy 12
复数为什么不能比较大小？
9
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
14
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
4
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
5 12i (3 2i).
16
(2) i x yi,
x2 y2 0, 2xy 1
x y 1 , 2
i
1 2Βιβλιοθήκη 1 2i,
i
1 2
1 2
i
,
i i 2.
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三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
18
思考题
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
8
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
例2 计算共轭复数 x yi 与 x yi 的积. 解 ( x yi)(x yi) x2 ( yi)2 x2 y2. 结论： 两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
7
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2