甘肃省2018届高三第一次高考诊断性考试数学(理)试题有答案AlUPPl

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2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学(理科)试题(解析版)

2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全集，集合，，.故选C.2．在复平面内复数、 (是虚数单位)对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数，对应的点为(4,-3)位于第四象限.故选D.3．向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】向量，，若，则，解得.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．若实数，满足则的最大值是（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】作出不等式的可行域，如图所示.即为，平移该直线至点A时最大.，解得，即A(0,1)，此时.故选C.5．某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】有三视图可知，该几何体为高为，底面半径为的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.剩余几何体的体积为，解得：.故选B.6．已知是各项均为正数的等比数列，为其前项和，若，，则（）A. 65B. 64C. 63D. 62【答案】C【解析】是各项均为正数的等比数列，设公比为.,，解得..故选C.7．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，正方形的边长为：，正方形的边长为：.由题意知，解得，即.该点恰好在正方形内的概率为.故选D.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.圆，即，圆心为，半径为.切线长为..所以切线长的最小值为.故选A.9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】执行程序框图：，是，输出(1,1)；，是，输出(2,2)；，是，输出(3,4)；，否，结束循环.根据题意函数经过点(1,1)，(2,2)，(3,4).所以：,解得：..故选B.10．过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，点为坐标原点，若四边形的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线（，）的渐近线为：.焦点到的距离为：，则.四边形的面积为，所以，又.解得：，所以双曲线的离心率为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点作交AB于点N，点作交PC于点F,过点作交CD于点E，连接EF.则面平面，.由平面，可得平面，平面与平面之间的距离为，且为直角梯形.由，得，所以..故选D.12．对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】不等式左侧的最小值的几何意义是函数上的点与函数上的点之间距离的最小值的平方，与直线平行且与函数相切的直线为，两直线之间距离的最下值为，所以，解得，所以的最大值为2.故选B.点睛：不等式的恒成立问题，往往是转化为研究最值问题，本题中涉及的变量较多，但是从代数式的结构不难发现，类似于两点的距离公式，从而可利用数形结合的思想求最值，即为曲线上的点与直线上的点的距离最小，平移直线与曲线相切时即为最小值.二、填空题13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)【答案】-160【解析】二项式的展开式通项为：令，得，.故答案为：-160.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14．已知数列满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】由,得，∵，∴.∴，令,得，∴当n取1,2,3时,减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大。

2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学试卷及解析

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （）A．{}02x x <<B．{}02x x <≤C．{}02x x ≤<D．{}02x x ≤≤2.在复平面内复数34iz i+=、(i 是虚数单位)对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（）A．-1B．1C.2D．35.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（）A．1B．2 C.22D．326.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（）A．65B．64C.63D．627.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（）A．2425B．45C.35D．1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（）A．19B．25C.21D．5559.如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（）A．1011B．1112C.1312D．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点(22,0)F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．22B．2+1C.3D．211.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（）A．B． C.D．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A．eB．2 C.eD．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式62()x x-的展开式中的常数项是．(用数字作答)14.已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为．15.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18.四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：类型A 类B 类C 类车辆数目102030为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21.已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x x =在公共点处有共同的切线，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12x xe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:(3)(1)4C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDACB 6-10:CDABD11、12：DB二、填空题13.-16014.27415.甲16.322三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴cos (2sin sin )cos sin 0B AC C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-，∴1cos 2B =-，∴23B π=.（Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴643a c <+≤，则ABC ∆周长的取值范围是(12,643⎤+⎦.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ，∵AC ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D .（Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B =设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,(3,0,0)A .111131(,,2)222B A BA A =⇒- ，同理131(,,2)22C --，131(,,2)22BA = ，(0,2,0)BD = ，131(,,2)22BC =- .设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则(4,0,3)n =-，设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则(4,0,3)m =，设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==.19.解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-.将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米.（Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===；当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====；当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：ξ3.54.45.956.8p2153152511515∴23211273.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=.（Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k---++==++，∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k--=+，121212121212(2)3(2)3()412AB yy k x k x k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=.21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()af x x '=，1()2g x x'=设曲线()y f x =与曲线()g x x =公共点为00(,)x y 由于在公共点处有共同的切线，所以0012a x x =，解得204x a =，0a >.由00()()f x g x =可得00ln a x x =.联立20004,ln ,x a a x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2ea =.（Ⅱ）函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2eH x xf x x x==与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点，()()ln 2eH x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222eeeH x x x '=+=+，令()0H x '>，解得1(,)x e ∈+∞，此时函数()H x 单调递增；令()0H x '<，解得1(0,)x e ∈，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-.1()12xxe G x -=-可得11()(1)2xG x x e -'=-，令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增；令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-.因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点.22.解：曲线221:(3)(1)4C x y -+-=化为极坐标方程是23cos 2sin ρθθ=+设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos 23sin ρθθ=+.（Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到123ρ=，24ρ=12423AB ρρ=-=-.23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m≥⇒--≥⇒-≤≤+由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =.（Ⅱ）111123a b c++=则111233223(22)()111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++++233233692323b a c a c b a b a c b c=++++++≥+=当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。

2018年3月甘肃省兰州市2018届高三一诊理科综合试题参考答案及评分标准

兰州市2018年高三诊断考试理科综合能力测试参考答案及评分参考一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B2.C3.A4.D5.A6.D7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.B 13.C二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.D 15.C 16. B 17.D 18. BD 19.AD 20. AC 21. BC三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。

第22题～第32题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第33题～第38题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题（共129分）22．（1）B （2分）（2）F ′ （3分） 23. （1）BD （2分）（2）()122121I I R R I I E --=或()122112I I R R E I I -=-（2分）122211I I R I R I r --=或221112I R I R r I I -=- （2分）（3）等于（2分）大于（2分）24.（1）导体棒匀速运动产生的感应电动势为V 6==BLv E ………………（2分）感应电流为A 4=+=rR EI …………………………………….（2分）由导体棒受力平衡可得N 4.3sin sin =+=+=θθmg BIL mg F F 安…………………（2分）（2）撤去外力后，由动能定理2210sin mv W l mg -=--克θ…………………（2分）得J 8=克W …………………（1分）电阻R 上产生的热J 316832=⨯=Q …………………（1分）电量C 8.0=+∆=rR q φ电…………………（2分）25．（1）设物块达到B 点是的速度为v 1，由牛顿第二定律 2111-m v N m g R= ①……..（1分）从A 到B 有功能关系 2111f 1-2W m gR m v =克 ②………………………………..（2分）由①②解得 W 克f =36J ………………………………………………………………..（1分）（2）设物块在C 点的速度为v 2，从B 到C 时间为t ，由动能定理 2211121111-22m gL m v m v μ=- ③……………………………………….（1分）解得v 2=4m/s …………………………………………………………………………（1分）由牛顿第二定律 11m g m a μ= ④………………………………………………….（1分）解得2s /m 2=a ……………………………………………………………………...（1分）由③④解得从B 到C 的时间为s 121=-=av v t ………………………………...（1分）（3）当平板车固定时，由动能定理 2122102m v fL -=-……………………...（1分）解得 f =4N ⑤………………………………………………………………...（1分）（用题目中μ=0.2和f =μmg =4N 算出摩擦力的，这一问不得分，但不影响后面的得分）当平板车不固定时，假设物块恰好不能滑离小车，它停在小车最右端时二者共同的速度为v 3，物块相对小车滑行的距离为x ，物块与平板车组成的系统动量守恒 32121)(v m m v m += ⑥ 物块与平板车组成的系统能量守恒 22121231122fx m v m m v =-+（） ⑦ 由⑤⑥⑦解得x =m 34∵x ＞1m ∴物块将滑离小车…………………………………………...（4分）设物块滑离小车时物块的速度为v 4，小车的速度为v 5，物块与平板车组成的系统动量守恒 524121v m v m v m += ⑧……………（2分）物块与平板车组成的系统能量守恒 2223121425111222fL m v m v m v =-- ⑨…（2分）由⑤⑧⑨解得s /m 3104=v ，54/3v m s =….（1分）另一组解不合题意舍去s /m 24=v ，s /m 45=v26.（1）①2Na 2S + Na 2CO 3 + 4SO 2=3Na 2S 2O 3 + CO 2 （2分）②品红、溴水或酸性KMnO 4溶液（1分）溶液颜色很快褪色（其他合理答案即可）（2分）③控制SO 2的流速或增大反应物的浓度（其他合理答案即可）（2分）（2）蒸发浓缩、降温结晶（2分）（3）取制得的Na 2S 2O 3·5H 2O 产品少量于试管中，加水溶解再加入稀盐酸调至酸性，静置片刻，再取上层清液于试管中，加入BaCl 2溶液，有白色沉淀产生，则证明含Na 2SO 4杂质 ,否则不含Na 2SO 4。

【试题】2018年兰州市诊断考试理科数学试题解析

【关键字】试题兰州市2018年高三诊断考试数学（理科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2..回答问题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

问答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后。

将本试卷和答题目卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，集合，则. . . .解：因为，，∴2．已知单数（是虚数单位），则下列说法正确的是. 单数的实部为5 .单数的虚部为.单数的共轭单数.单数的模为解：单数的实部为，虚部为12，模为13，共轭单数为，选D3．已知数列为等比数列，且，则. . . .解：，，，选A4．双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为. . . .解：解方组得，，，5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于. . . .解：如图6．数列中，，对任意，有，令，则. . . .解：，，，，7．若的展开式中各项系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为. . . .解：因为的展开式中各项系数之和为，，，所以对任意的，的点所在矩形的面积为满足的图形的面积为，所以8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理，如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为....解：如图，，，9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是. . . .解：显然当时，，而，所以时，，10．设：实数，满足；：实数，满足，则是的. 必要不充分条件. 充分不必要条件.充要条件.既不充分又不必要条件解：如图因为圆与约束条件中三条直线都相切，且在可行域内部，所以是的充分不必要条件. 11.已知圆：和点，若圆上存在两点，，使得，则实数的取值范围是. . . .解：如图若存在，使，则当2EMFπ∠=时，EM CE==MC∴=2MN∴=，4242t∴-≤≤+即26t≤≤.12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知()f x'是它的导数，且恒有cos()sin ()xf x xf x'+＜0成立，则有解：设()()cosf xg xx=，则2()cos sin()()cosf x x xf xg xx'+'=，所以()0g x'＜，()g x∴在(0,)2π上递减，()()()643g g gπππ∴＞＞，()()()634cos cos cos643f ffππππππ∴＞＞，()()()31f ffπππ＞，()()()643πππ，()()63fππ∴.选C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若2sin()45πα-=-则cos()4πα+=.解：2cos()sin()445ππαα+=-=-.14.已知样本数据122018,,,a a a的方差是4，如果有2i ib a=-（1,2,,2018i=），那么数据122018,,,b b b的均方差为.解：因为2i ib a=-，所以样本数据122018,,,b b b的方差也为4，故均方差为2，均方差是标准差.15.设函数()sin(2)f x xϕ=+（2πϕ＜）向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ= .解：()f x 的图像向左平移3π个单位后所得函数为2sin(2)3y x πϕ=++，又因为它是奇函数，2,3k k Z πϕπ∴+=∈，2πϕ＜，3πϕ∴=.16.函数2311()123f x x x x =+-+，2311()123g x x x x =-+-若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,]a b （,,a b a b Z ∈＜）内，则b a -的最小值为 . 解：2()10f x x x '=-+＞，2()10g x x x '=-+-＜，()f x ∴递增，()g x 递减又因为5(0)10,(1)06f f =-=-＞＜，1(1)06g =＞，5(2)03g =-＜ ()f x ∴的零点在[1,0]-上，()g x 零点在[1,2]上，130,142x x ∴-≤+≤≤-≤ (3)f x ∴+的零点在[4,3]--上，(4)g x -零点在[5,6]上 ()F x ∴零点在[4,6]-上，所以b a -的最小值为10.三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =⋅+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.解：（1）(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，22T ππ∴==，即函数的最小正周期为π. （2）[0,]2x π∈,42333x πππ∴≤+≤,2sin(2)3x π∴+≥min ()f x m ∴=5m ∴=,5m ∴=+. 18.（12分）如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =∩，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.(1)证明：BF ACE ⊥平面，又AE ACE ⊂平面又AD ABE ⊥平面，ABCD 是矩形，BC ABE ∴⊥平面，FABC DGEAE BC ∴⊥，BF EC ⊥，又BC BF B ⊥=，且,BC BF BCE ⊂平面，所以AE ⊥平面BCE .（2）2AE EB BC ===，又因为AE ⊥平面BCE ，AE BE ∴⊥，AB ∴= 又AD ABE ⊥平面，AD AE ∴⊥BC BE ∴⊥，EC ED ∴== DEC ∴△是等边三角形，又因为F 是EC 的中点，所以DF EC ⊥，又BF EC ⊥ 所以BFD ∠是二面角B EC D --的平面角，在三角形BFD 中，2BF =，DF =DB =cos 3BFD ∴∠==-，所以平面BCE 与平面CDE19.(12分)某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单（1）试求y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+; （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量; （3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ，其中μ近似取样本平均数，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X ＜＜.附：参考公式和有关数据1122211()()ˆ()ˆˆnni i iii i nni i i i x y nx y x x y y b x nx x x ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑3.2≈， 1.8≈，若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-+=＜＜，且(22)0.9544P X μσμσ-+=＜＜.解：（1所以2257.463ˆ0.565949xy x y bx x -⋅-===---，ˆˆ90.56712.92ay bx =-=+⨯= 所以y 与x 的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+ （2）当6x =︒C 时，ˆ0.56612.929.56y=-⨯+= 所以预测这天该商品的销售量为9.56kg .（3）7,μ=又21(1641425)105s =++++=， 3.2σ∴=≈(3.810.2)0.6826P X ∴=＜＜，(0.613.4)0.9544P X ∴=＜＜ (3.813.4)(0.613.4)0.1359P X P X ∴=-=＜＜＜＜0.8185. 20.（12分）已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(0,1)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；;（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q 、S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （,,,Q R S T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +＜②求四边形QRST 的面积的最小值.21.(12分)已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x ＞时，①ln1x x -＜；②1x e x -＞；（2）证明：对任意1,1x t -＞＞，有1()(1ln ).2f x x x +＞（1）证明：①令()ln 1m x x x =-+，则11()1xm x x x-'=-=，1x ∴＞时，()0m x '＜()m x ∴在(1,)+∞上递减，()(1)0m x m ∴=＜又1x ＞1时，(1)0m m ∴=＜，10∴＜，1∴.②令1()x n x e x -=-，则1()1x n x e -'=-，又因为1()1x n x e -'=-是增函数，且(1)0n '=.1x ∴＞时，()0n x '＞，()n x ∴在(1,)+∞上递增，又(1)0n =，所以1()0x n x e x -=-＞.1x e x -＞.（3）要证1()ln )2f x x +，只需证11ln )12x x t e x x -++=+- 11x e x -＞＞，ln 1∴只需证11x x t x x -+-e ＞，即只需证1x tx +-＞11x t x ∴+-＞，1t ∴-＞所以对任意1,1x t -＞＞，有1()ln )2f x x +成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，如果多答，则按所答第一题评分） 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角从标系xoy ，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数）. 圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.（1）求圆C 的直角坐标方程;（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 23.【选修4——5：不等式选讲】（10分）设函数()2f x x a x =-+，其中0a ＞.（1）当2a =时，求不等式()21f x x +≥的解集; （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x ＞，求a 的取值范围.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

兰州市诊断考试理科数学试题解析.doc

兰州市2018年高三诊断考试数学(理科)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. •冋答问题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题H 的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

问答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后。

将本试卷和答题目卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U = R,集合M={x\x>0},集合N = {x|Fvi},则M? duN)=解：因为M = {x|x>0}=[0,4w), &N = {x|x1} = (-oo,-1]U[l,4w)M? duN) = [1, +oo)2. 已知复数z = -5 + 12z (i 是虚数单位)，则下列说法正确的是 A .复数z 的实部为5 B .复数z 的虚部为12i C.复数z 的共觇复数5 + 12, 复数z 的模为13解:复数z = -5 + l2i 的实部为-5,虚部为12,模为13,共辘复数为z = -5-12z,选D 3. 已知数列{色}为等比数列，且+ 2^ = Jr ，贝0 tan(a 36f 5)= A. A /3B. _也C.D. 土屈3解：•/+ 2^4 = 7t , .■.3&=兀，/. tan(a 3675) = tan y = A /3 ,选 A2 24. 双曲线二-与=1的一条渐近线与抛物线y = F+i 只有一个公共点，则双曲线的离心率为ar trA. -B. 5C. —D.y/544解：解方组 F = " +1 得加+ 1=0, /. b 2 = 4a 2, /. c 2 = 5a 2,・ \e = ^bx - ay = 05•在△ ABC 屮，M 是BC 的屮点，AM =\ 点P 在AM 上且满足AP = 2PM ，则PA ・(PB + PC)等于4 444A. ——B. ——C. —D.-A. (0,1)B ・[0,1]D • (1,+oc)A9 3 3 9解：如图PA (PB-^- PC) = 2PA^ PM =2X-X-XCOSTI =--3 3 9方1 + 优+ +^20 18=解：丁勺+i = 1 + 〃 + a” a n =n + a n ^ /• a 2++ % = q + 色 + ++ (2 + 3 + + n)・•・％ = - n(n + 1) b n = — = —= 2(丄一一)Z. S” =旦-/. S® 8 =空西 “2 ，“ a n 〃S + 1) H n + 1， “ n + 1， ⑹8 2019|/77.若(x + —+ 1)〃的展开式中各项系数之和为81,则分别在区间IO,^JW[O,-]内任取两个实数x, x 4y ,满足y>sin 兀的概率为所以对任意的XG L0,TT J, y W [0,1]的点P(x, y)所在矩形的面积为龙满足y W s i n x 的图形的面积为JJsin xclx = -cosx|：=2,所以P = \~ —8.刘徽《九章算术注》记载「'邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖購，阳马居二，鳖購居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的 -顶点与其相对的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖嚅，两者体积之比为定值2:1,A.^IZ 1009 2017 20182018 20194036 20196.数列｛a n ｝中，q=l,对任意nwN*有色+1 =l + zt + d “，令 ® =丄,(iw N* ,则A. 1-丄71解：因为(x + - + l)M 的展开式中各项系数之和为81,・・・3"=81,・・皿=4, [0,二]=[0,1]x4B. 1-—71C. 1--兀。

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U =R ，集合M ={x|x ≥0}，集合N ={x|x 2<1}，则M ∩(∁U N)=（） A.(0, 1) B.[0, 1] C.[1, +∞) D.(1, +∞)2. 已知复数z =−5+12i （i 是虚数单位），则下列说法正确的是（） A.复数z 的实部为5 B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为5+12iD.复数z 的模为133. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6+2a 42=π，则tan(a 3a 5)=( ) A.√3 B.−√3 C.−√33D.±√3 4. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（） A.54B.5C.√54D.√55. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足学AP →=2PM →，则PA →⋅(PB →+PC →)等于（） A.−49 B.−43C.43D.496. 数列{a n }中，a 1=1，对任意n ∈N ∗，有a n+1=1+n +a n ，令b i =1a i，(i ∈N ∗)，则b 1+b 2+...+b 2018=( ) A.20171009 B.20172018C.20182019D.403620197. 若(x +1x +1)n 的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x ，y ，满足y >sinx 的概率为（） A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A.4πB.3πC.√3πD.√32π9. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510. 设p：实数x，y满足(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2；q：实数x，y满足{x−y≤1x+y≥1y≤1，则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11. 已知圆C:(x−1)2+(y−4)2=10和点M(5,t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A.[−2,6]B.[−3,5]C.[2,6]D.[3,5]12. 定义在(0,π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0成立，则有（）A.f(π6)>√2f(π4) B.√3f(π6)>f(π3)C.f(π6)>√3f(π3) D.f(π6)>√3f(π4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．14. 已知样本数据a1，a2，……a2018的方差是4，如果有b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，那么数据b1，b2，……b2018的均方差为________．15. 设函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则φ=________．16. 函数f(x)=1+x −x 22+x 33，g(x)=1−x +x 22−x 33，若函数F(x)=f(x +3)g(x −4)，且函数F(x)的零点均在[a, b](a <b, a, b ∈Z)内，则b −a 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量a →=(cos2x,sin2x)，b →=(√3,1)，函数f(x)=a →∗b →+m ．（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2brack 时，f(x)的最小值为5，求m 的值．18. 如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD =G ，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．19. 某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：∘C ）的相关数据，如表：（1）试求y 与x 的回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6∘C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温X ∼N(μ, σ2)，其中μ近似取样本平均数x ，σ2近似取样本方差s 2，试求P(3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据{b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑x i 2n i=1−nx 2=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)2n i=1a ^=y −b ^x ，√10≈3.2，√3.2≈1.8，若X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，且P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，过D(1, 0)且与圆C 相切的动圆圆心为P ．（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线l 1交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线l 2交曲线E 于R ，T 两点，且l 1⊥l 2，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）．①设W(x 0, y 0)，证明：x 022+y 02<1；②求四边形QRST 的面积的最小值21. 已知函数f(x)=x+tx−1e x−1，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：当x >1时，①ln √x <√x −1，②e x−1>x ；（2）证明：对任意x >1，t >−1，有f(x)>√x(1+12lnx)．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 （t 是参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数f(x)=|x −a|+2x ，其中a >0．（1）当a =2时，求不等式f(x)≥2x +1的解集；（2）若x ∈(−2, +∞)时，恒有f(x)>0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵N={x|−1<x<1}，U=R，∴∁U N={x|x≤−1或x≥1}．∵M={x|x≥0}，∴M∩(∁U N)=[1,+∞)．故选C．2.【答案】D【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数求模复数的基本概念【解析】直接利用复数的基本概念得选项．【解答】∵z=−5+12i，∴z的实部为−5，虚部为12，z的共轭复数为−5−12i，模为√(−5)2+(12)2=13．∴说法正确的是复数z的模为13．3.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，根据a2a6+2a42=π=3a3a5，可得a3a5．利用三角函数求值即可得出．【解答】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，∴a2a6+2a42=π=3a3a5，∴a3a5=π．3=√3．则tan(a3a5)=tanπ34.【答案】 D【考点】圆锥曲线【解析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】依题意可知双曲线渐近线方程为y =±ba x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±ba x +1=0∵ 渐近线与抛物线有一个交点 ∴ △=b 2a 2−4=0，求得b 2=4a 2，∴ c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5，5.【答案】 A【考点】平行向量的性质平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】∵ M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →∴ P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA →∗(PB →+PC →) =PA →∗AP →=−|PA →|2 又∵ AM =1 ∴ |PA →|=23∴ PA →∗(PB →+PC →)=−496.【答案】 D【考点】数列递推式【解析】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1，可得a n ．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，利用裂项求和方法即可得出．【解答】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．∴ n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1 =n +(n −1)+……+2+1 =n(n+1)2．n =1时也成立．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则b 1+b 2+...+b 2018=2[(1−12)+(12−13)+……+(12018−12019)brack =2(1−12019) =40362019．7.【答案】 B【考点】二项式定理的用法【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】由题意知，令x =1，得到3n =81，解得 n =4，∴ 0≤x ≤π，0≤y ≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S =π×1=π，满足y ≥sinx 的点构成区域的面积为： S =∫πsinxdx =−cosx|π=−cosπ+cos0=2，则满足y >sinx 的概率为P =1−2π．故选：B ．8.【答案】D【考点】由三视图求体积球的体积和表面积球内接多面体【解析】根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据阳马与长方体的关系计算长方体的棱长，得出外接球的体积．【解答】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个侧面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为，1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为√3，∴外接球的半径为√32，∴外接球的体积为V=4π3∗(√32)3=√3π2．9.【答案】A【考点】程序框图【解析】本题主要考查程序框图，同时考查了三角函数的相关知识.【解答】解：执行程序框图可知，输出的S=a1+a2+⋯+a2016+a2017+a2018=(0+1)+(−2+1)+(0+1)+(4+1)+⋯+(0+1)+(−2014+1)+(0+1)+ (2016+1)+(0+1)+(−2018+1)=6×20164+1−2017=3024+1−2017=1008, 故输出的S的值是1008.故选A.10.【答案】B【考点】充分条件【解析】分别作出p，q对应区域，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2=(√2−1)2，则p对应的表达式表示以(1, 2−√2)为圆心，半径r=√2−1的圆及其内部，q对应的平面区域为三角形内部，由图象知p对应区域都在三角形内，则p是q的充分不必要条件，方法2：圆心(1, 2−√2)到y=1的距离d=1−(2−√2)=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)到x−y=1的距离d=√2)−1|√2=√2√2=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)当x+y=1的距离d=√2−1|√2=√2−1=R，即p对应的区域都在q对应三角形区域内部，则p是q的充分不必要条件，11.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】本题考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意，知满足条件的t的值在直线x=5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5,t)的直线方程为y−t=k(x−5)，由相切条件，得√k2+1=√10，整理，得6k2+8(4−t)k+(t−4)2−10=0，由题意知此方程的两根满足k1k2=−1，所以(t−4)2−106=−1，解得t=2或t=6，所以2≤t≤6．故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，对其求导分析可得g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，结合选项分析可得答案【解答】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，则其导数g′(x)=f′(x)cosx+sinxf(x)cos2x，又由x∈(0, π2)，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0，则有g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，又由π6<π3，则有g(π6)>g(π3)，即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3，分析可得f(π6)>√3f(π3)，又由π6<π4，则有g(π6)>g(π4)，即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4，分析可得√2f(π6)>√3f(π4)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−2 5【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据(π4+α)+(π4−α)=π2，利用诱导公式求出对应数值．【解答】sin(π4−α)=−25，∴cos(π4+α)=cos[π2−(π4−α)]=sin(π4−α)=−25．14.【答案】4【考点】极差、方差与标准差【解析】根据一组数据的平均数与方差的定义和计算公式，即可推导出正确的结论．【解答】根据题意，样本数据a1，a2，…，a2018的平均数为a，其方差是4，则有s a2=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]= 4，对于数据b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，其平均数为b=12018(b1+b2+...+b2018)=12018[(a1−2)+(a2−2)+...+(a2018−2)]=a−2，其方差为s b2=12018[(b1−b )2+(b2−b )2+(b3−b )2+...+(b2018−b )2]=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]=4，15.【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后，得到：g(x)=sin(2x+2π3+φ)的函数是一个奇函数，则：φ+2π3=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．16.【答案】10【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数单调性和零点的存在性定理判断f(x)与g(x)的零点所在区间，从而得出F(x)的零点所在区间．【解答】∵f′(x)=1−x+x2=(x−12)2+34>0，g′(x)=−1+x−x2=−(x−12)2−34<0，∴f(x)在R上单调递增，g(x)在R上单调递减，又f(−1)=−56<0，f(0)=1>0，g(1)=16>0，g(2)=−53<0，∴f(x)的唯一零点在(−1, 0)上，g(x)的唯一零点在(1, 2)上．令F(x)=0可得f(x+3)=0或g(x−4)=0，∴f(x+3)的唯一零点在(−4, −3)上，g(x−4)的唯一零点在(5, 6)上．∵函数F(x)的零点均在[a, b](a<b, a, b∈Z)内，∴a≤−4，b≥6．∴b−a的最小值为10．故答案为：10．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的周期性及其求法【解析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f(x)=2sin(2x+π3)+m，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．18.【答案】证明：因为AD⊥面ABE，所以AD⊥AE，又BC // AD，所以BC⊥AE．因为BF⊥面ACE，所以BF⊥AE．又BC∩BF=B，所以AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ，又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)，于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33．此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）证明AD ⊥AE ，BC ⊥AE ．推出AE ⊥面BCF ，得到AE ⊥平面BCE ．（2）方法1：说明∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，通过求解三角形求解即可．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．【解答】证明：因为AD ⊥面ABE ，所以AD ⊥AE ，又BC // AD ，所以BC ⊥AE ．因为BF ⊥面ACE ，所以BF ⊥AE ．又BC ∩BF =B ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE ．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ，又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)，于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33．此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 19.【答案】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ．由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185．【考点】求解线性回归方程正态分布密度曲线（1）利用公式求出bˆ，a ˆ，即可得出结论．（2）根据bˆ的正负即可判断．将x =6代入回归方程，可得预测这天该商品的销售量；（3）根据X ∼N(μ, σ2)即可计算．【解答】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ．由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 20.【答案】设动圆半径为r ，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆，其方程为x 22+y 2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有x ∘2+y ∘2=1，又因Q ，S ，R ，T 为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l 1或l 2的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l 1的斜率为k 1，则l 1的方程为y =k 1(x +1)，联立{y =k 1(x +1)x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，则|QS|=2√2k 2+12k 2+1，同理得|RT|=2√2k 2+1k 2+2，∴ S QSRT =12|QS|∗|RT|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)≥4(k 2+1)294(k 2+1)2=169，当且仅当2k 2+1=k 2+1，即k =±1时等号成立．综上所述，当k =±1时，四边形QRST 的面积取得最小值为169．轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1){y=k1(x+1)x22+y2=1，得|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．【解答】设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为x22+y2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x∘2+y∘2=1，又因Q，S，R，T为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1)，联立{y=k1(x+1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0，则|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，∴S QSRT=12|QS|∗|RT|=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)≥4(k2+1)294(k2+1)2=169，当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为169．21.【答案】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．【考点】函数恒成立问题不等式的证明【解析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后证明不等式；（2）化简不等式利用（1）的结论，通过分析法转化证明即可．【解答】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ρ=√2cosθ−√2sinθ，∴ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−√2x+√2y=0，即(x−√22)2+(y+√22)2=1，∴圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l上的点向圆C引切线长是：√(√22t−√22)2+(√22t+√22+4√2)2−1=√t2+8t+40=√(t+4)2+24≥2√6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l的普通方程为x−y+4√2=0，∴圆心C到直线l距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是√52−12=2√6．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心直角坐标．（2）法一：求出直线l 上的点向圆C 引切线长，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．法二：求出圆心C 到直线l 距离，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．【解答】∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ ρ=√2cosθ−√2sinθ， ∴ ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−√2x +√2y =0，即(x −√22)2+(y +√22)2=1，∴ 圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l 上的点向圆C 引切线长是： √(√22t −√22)2+(√22t +√22+4√2)2−1=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， ∴ 圆心C 到直线l 距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是√52−12=2√6．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1，所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1，解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a ≥2．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a =2时，化简不等式f(x)≥2x +1，通过去掉绝对值符号，求解不等式的解集；（2）化简函数的解析式，通过x 与a 的大小比较，转化不等式求解即可．【解答】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1，所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1，解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a≥2．。

甘肃省武威市2018届高三数学上学期第一次诊断考试试题

甘肃省武威市2018届高三数学上学期第一次诊断考试试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合{}|A x y ==， {}|1 3 B x x =≤≤，则( ) A. A B = B. A B ⊇ C. A B ⊆ D. A B φ⋂= 2．已知,a R ∈则“01aa ≤-”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．已知函数()2225y x a x =+-+在区间()4,+∞上是增函数，则a 的取值范围是( )A. 2a ≤-B. 2a ≥-C. 6a ≤-D. 6a ≥-4．函数()()ln 15x f x =-的定义域是（）A. (),0-∞B. ()0,1C. (),1-∞D. ()0,+∞ 5．若()cos f x x x =，则函数()f x 的导函数()f x '等于（） A. 1sin x - B. sin x x - C. sin cos x x x - D. cos sin x x x -6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 3,2,60a b C ===︒，则边c = ( )2 7．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A. sin2y x =B. cos2y x =C. 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在等差数列{}n a 中， 3412a a +=，公差2d =，则9a =（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 179．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm 3A. 243π+B. 342π+C. 263π+D. 362π+10．若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（）A. 12m <B. 0m <C. 12m >D. 12m ≤ 11．某算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 可能为（）A. -1B. 1C. 1或5D. -1或112．已知()f x 是定义R 在上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则()f x 在[]1,3上是 ( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数二、填空题(每小题5分，共20分)13．对于命题2:,10P x R x x ∀∈++>，则P 的否定是__________．14．已知函数2(31)32f x x x +=++，则(4)f =________. 15．已知()2,1a =， (),1b m =-，若a b ，则m =__________．16．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线33x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为__________．三、简答题题(17题10分，其余各题12分，共70分)17．设集合{|12},A x x =-<<{|2123}B x a x a =-<<+.若A B ⊆，求a 的取值范围； 18．已知:||3P x a -< （a 为常数）；:q()lg 6x -有意义．若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +=+且(0)1f =．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,1]x ∈-时，不等式：()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围． 20．已知函数32()391()f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[2,4]x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．（1）把1C 的参数方程式化为普通方程，2C 的极坐标方程式化为直角坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(,)ρθ(0,02)ρθπ≥≤≤．22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标方程为2π⎫⎪⎭. （1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB +的值.参考答案一、选择题二、填空题(李生柱，段希爱)13．14．6 15．-2 16．2 三、简答题17．（杨万庆，王丽丽）解：根据题意：211232a a -≤-⎧⎨+≥⎩解得：102a -≤≤.； 18．（张秀远，祁成宏）解：根据题意：3136a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得：[]2,3. 19．（杨双喜，潘金）(1)解：利用待定系数法可得：2()1f x x x =-+ ; (2)1m <-20．（丁春年，陈玉栋，）（1）()3(3)(1)f x x x '=-+ 单调增区间单调减区间（2）21．（鲁文霞，李靖利）（Ⅰ）；（Ⅱ）与交点的极坐标分别为.22．（王斌莅，安文金）(1) (P ，221515x y +=.(2)6.。

甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(理)试题.docx

绝密★ 启用前甘肃省兰州市2018 届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，集合，则（）A ．B．C．D．2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的共轭复数为 D ．复数的模为3．已知数列为等比数列，且，则（）A ．B．C．D．4．双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C．D．5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A ．B．C．D．6．数列中，，对任意，有，令，，则（）A ．B．C． D ．7．若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（）A ．B ．C．D．8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．B ．C．D．9．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（）A ．B．C．D．10．设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．已知圆C：22x 1y41 0和点 M5, t ，若圆 C 上存在两点 A , B ，使得 M A M B ，则实数t的取值范围为（）A ．2, 6B ．3, 5C． 2 , 6D．3, 512．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A ．B．C．D．1二、填空13．若，__________．14．已知本数据，，⋯⋯的方差是，如果有，那么数据，，⋯⋯的均方差 __________ ．15．函数向左平移个位度后得到的函数是一个奇函数，__________ ．16．函数，，若函数，且函数的零点均在内，的最小 __________．三、解答17．已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当，的最小，求的．18．如所示，矩形中，，平面，，上的点，且平面．（ 1）求：平面；（ 2）求平面与平面所成角的余弦．19．某地一商了月份某天当中某商品的售量（位：）与地当日最高气温（位：）的相关数据，如下表：（ 1）求与的回方程；（ 2）判断与之是正相关是相关；若地月某日的最高气温是，用所求回方程天商品的售量；（ 3）假定地月份的日最高气温，其中近似取本平均数，近似取本方差，求．附：参考公式和有关数据，，，若，，且．20．已知：，且与相切的心．（1）求点的迹的方程；（2）点的直交曲于，两点，点的直交曲于，两点，且，垂足（，，，不同的四个点）．① ，明：；②求四形的面的最小．21．已知函数，其中自然数的底数．（1）明：当，①，②；（2）明：任意，，有．22． [修 4-4：坐系与参数方程 ]在直角坐系中，以坐原点极点，正半极建立极坐系．已知直的参数方程是（是参数），的极坐方程．（1）求心的直角坐；（2）由直上的点向引切，并切的最小．23． [修 4-5：不等式]函数，其中．（ 1）当，求不等式的解集；（ 2）若，恒有，求的取范．2。

2018兰州市一诊理科数学(学生版)

2018年兰州市高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合}0|{≥=x x M ，集合}1|{<=x x N ，则)(N C M U ⋂（）.A ()10，.B []10， .C [)∞+.1 .D ()∞+，1 2.若复数已知复数i 125z +-=（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A .复数z 的实部为5 .B 复数z 的虚部为 i 12.C 复数z 的共轭复数为 i 125+ .D 复数z 的模为133. 已知数列 }{n a 为等比数列，且 π=+2462a a a ，则）（53tan a a （）.A 3 .B 3- .C 33-.D 3± 4. 若双曲线 12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线122+=x y 只有一个公共点，则双曲线离心率为（）.A 45.B 5 .C 45 .D 55.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在 AM 上且满足PM AP 2=，则)(PC PB PA +⋅等于（） .A 94-.B 34- .C 34 .D 946. 已知数列 }{n a 为等比数列，11=a ,对任意 *N n ∈ ，有 n n a n a ++=+11，令ii a b 1=()*N i ∈，则=+⋅⋅⋅++201821b b b （）.A10092017 .B 20182017 .C 20192018 .D 201940367. 若11nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0π，和04n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内任取两个实数,x y 满足y sinx >的概率为 A. 11π-B. 21π-C. 31π-D.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜边分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积为2:1，这一结论叫做刘徽原理。

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科综合试题及答案

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科综合试题及答案甘肃省高三第一次高考诊断考试理科综合能力试题注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.回答第I卷时，用2B铅笔在答题卡上涂黑对应题目的答案标号。

如需更改，先用橡皮擦干净再涂其他答案标号框。

在试卷上作答无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

在试卷上作答无效。

4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1.N-14.O-16.Cl-35.5.Ca-40第I卷（共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.下列关于细胞结构和功能的说法，正确的是：A.所有细胞中核糖体的形成都与核仁密切相关。

B.神经细胞有细胞周期，其化学成分在不断更新。

C.葡萄糖、RNA、蛋白质都可以在叶绿体中合成。

D.线粒体分解葡萄糖产生CO2和H2O。

2.下列关于ATP的叙述，正确的是：A.机体在运动时消耗ATP，睡眠时不消耗ATP。

B.淀粉酶催化淀粉水解为麦芽糖不需要ATP提供能量。

C.线粒体和叶绿体合成ATP都依赖氧。

D.静息电位形成中K从细胞内到细胞外需要ATP提供能量。

3.下列关于基因重组的变异，正确的是：A.同胞兄妹间存在遗传差异。

B.动物细胞在分裂过程中突破“死亡”的界限，成为不死的癌细胞。

C.姐妹染色单体的交叉互换。

D.显微镜下观察某人处于分裂状态的细胞，发现细胞两极所含的染色体数目不同。

4.下列关于免疫调节的叙述，正确的是：A.免疫系统由免疫器官、淋巴细胞、淋巴因子和抗体组成。

B.记忆细胞在受到相应抗原刺激时细胞周期会缩短。

C.二次免疫时，浆细胞是由B细胞受到抗原刺激后增殖、分化产生的。

D.当抗原侵入宿主细胞时，细胞免疫才开始发挥作用。

5.下列关于植物激素的说法，正确的是：A.生长素只能促进植物的生长。

B.不同器官对生长素的反应敏感程度不同，茎比芽更敏感。

2018甘肃省第一次高三理科诊断考试带解析

2018年甘肃省高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集R U =，集合{}2≥=x A ，{}60<≤=x x B ，则集合()B A C U ⋂ A. {}20<<x x B.{}20≤<x x C.{}20<≤x x D.{}20≤≤x x2. 在复平面内复数（是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B.第二象限C.第二象限D.第二象限3. 向量()1,m a =，()m b ,1=则“1=m ”是“b a //”的 A. 充分不必要条件 B.必要补充分条件B. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0,01,01y y x y x 则y x z 2+=的最大值是A. 1-B. 1C.2D.35. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为32π，则a 的值为 A.1 B. 2C.6.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若135164a a a =⋅=，，则6SA.65B. 64C.63D.627.中国古代数学家赵爽，创造了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明。

如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BEA ∠=，则正方形ABCD 内随机取一点，该店恰好在正方形内的概率为 A.2524 B. 54 C.35 D.1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为A.19B. 529.如图所示，若程序框图输出的所有实数对所(),x y 对应的点都在函数()2f x ax bx c =++的图像上，则()1f x dx =⎰A.1110B.1211C.1312D.121110. 过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点()F 做两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A .BC D11. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ,且4PA =,M 是PB 上的一个动点，过点M 做平面α平行平面PAD ,截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图像是（）12. 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为（）A B . 2 C . e D . 3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13. 二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是____________. 14. 已知数列{}n a 满足()*1115,2n n a a a n N n +-==∈，则n an的最小值为____________. 15. 在某班举行的成人礼典礼上，甲乙丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问____________.（填“甲”、“乙”或“丙”）获得了礼物. 16. 抛物线2:y 4C x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+,则MNF ∆的面积为____________. 二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤.17. （本小题满分12分）ABC ∆中，三个内角A B C ，，的对边分别为b c a ，，，若()cos ,cos m B C =,()2,n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围. 18.（本小题满分12分）四棱台被过1A ，1C ，D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，060BAD ∠=，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D（2）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.(本小题满分12分)2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图. (Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需求量y (单位:千万立方米)与年份x (单位:年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+,试确定ˆa 的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对汽车续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A 类:每车补贴1万元,B 类:每车补贴2.5万元,C 类:每车补贴3.4万元.某出租公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定采取分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”,求ξ的分布列及期望. 20.(本小题满分12分)椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ,若15PF =,且23a b =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ),A B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点()1,1-,且22APF BPF ∠=∠,求直线AB 的方程. 21. (本小题满分12分) 已知函数()ln ,f x a x a R =∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()g x =,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,试问函数()()11xxe F x xf x x-=-+是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线(()221:14C x y +-=,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .(Ⅰ)求曲线1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)射线()03πθρ=>与曲线1C ,2C 分别交于异于极点O 的A ,B 两点,求AB . 23. (本小题满分10分) 选修45-:不等式选讲已知函数()2f x m x =--,m R ∈,且()10f x +≥的解集为[]0,2. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若,,a b c R ∈,且11123m a b c++=,求证:239a b c ++≥.2018甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合要求的.1.C2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.A9.B 10.D 11.D 12.B 12.提示:不等式左侧()()222ln 1b a b a --+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的最小值的几何意义是函数ln y x =上的点(),ln b b 与函数1y x =+上的点()2,1a a --之间距离的最小值的平方,与直线1y x =+平行且与函数ln y x =相切的直线为1y x =-,两线之间距离的所以22m m -≤,解得12m -≤≤,所以m 的最大值为2. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.160- 14.274 15.甲 16.216.提示:由2NE NM NF =+可得点E 为MF 的中点,准线方程1x =-,焦点()1,0F ,不防设点N 在第三象限,因为MNF ∠为直角,所以12NE MF EF ==,由抛物线的定义得//NE x 轴,则可求得((1,,0,,1,2E M N ⎛-- ⎝,即NF =MN =所以2MNF S ∆=. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.解: (Ⅰ)m n ⊥,则有()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=,()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ∴⋅++⋅=,()()2cos sin sin cos cos sin sin sin B A C B C B B C A ∴=-⋅+⋅=-+=-,1cos 2B ∴=-23B π∴=. …………………………6分(Ⅱ)根据余弦定理可知222222cos ,36b a c ac B a c ac =+-∴=++,……………8分又()()22236,36,62a c a c ac a c ac a c +⎛⎫=+-∴+-=≤∴<+≤ ⎪⎝⎭则ABC ∆的周长的取值范围是(12,6+. …………………………12分18.解：平面在菱形中，又平面平面平面平面平面与底面所成角为设交于点以为坐标原点如图建立空间直角坐标系则同理设平面的法向量则设平面的法向量则设二面角为19．解：如折线图数据可知代入线性回归方程可得将代入方程可得千万立方米.根据分层次抽样可知类，类，类抽取人数分别为辆，辆，辆，则当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆时，此时当类抽辆时，此时所以的分布列为：（万元）.20.解：由题可得223,b PE a==因为15PE =，由椭圆的定义得4,a =所以212,b = 所以椭圆E 方程为221.1612x y += ()II 易知点P 的坐标为()2,3.因为22,APF BPF ∠=∠所以直线,PA PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为,k 则直线PB 的斜率为-k ，设()()1122,,,,A x y B x y 则直线PA 的方程为()32,y k x -=-由 ()223211612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()()()22234832432480,k x k k x k ++-+--=()12823234k k x k-∴+=+ 同理直线PB 的方程为()2,y k x -=--可得()()222-8238232,3434k k k k x k k -++==++2121222161248,,3434k kx x x x k k--∴+=-++ ()()()121212121212232341,2AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---∴满足条件的直线AB 的方程为()111,2y x +=-即为230.x y --= 21.()I 函数()ln f x a x =的定义域为()0,a x +∞=，，()()'',g a f x x x == 设曲线()y f x =与曲线()g x =()00,x y由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =解得204,0.x a a =〉 由()()00f x g x =可得0ln a x =解得.2ea =()II 函数()()112xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2e H x xf x x x ==与函数()112xxe G x -=-在区间()0,x ∈+∞是否有交点. ()()ln .2e H x xf x x x ==可得()()ln 1ln 222e e e H x x x +=+‘ 令()0,Hx 〉’解得1,,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭此时函数()H x 单调递增;令()0,Hx 〈’解得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =时，函数()H x 取得极小值即最小值，11=-.2H e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1G 12x xe x -=-可得()()'11G 12x x x e -=-令()'G 0x 〉，解得1x 〈〈0，此时函数()G x 单调递增;令()'G 0x 〈解得1x 〉，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，()1G 1=.2-因此两个函数无交点，即函数()()112xxe F x xf x -=-+无零点. 22.解：曲线(()22114C x y +-=：化为极坐标方程是2sin ρθθ+11 设曲线2C 上的点(),Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到,6P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，代入可得2C的极坐标方程是=2cos ρθθ+. ()II 将=3πθ()0ρ〉分别代入12,C C 的极坐标方程，得到1212=4==4AB ρρρρ--23.()I ()101011f x m x m x m +≥⇒--≥⇒-≤≤+ 由()10f x +≥的解集为[]0,2可知=1.m ()II 111123a b c ++=则()11123322323111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++= ⎪⎝⎭ 233233692323b a c a c b a b a c b c++++++≥+= 当且仅当23a b c ==时等号成立，即33,12a b c ===，时等号成立.。

甘肃省兰州市2018届高三一诊数学(理)试题+Word版含答案

XX 市2018年高三诊断考试数学〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U MC N =〔〕A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞ 2.已知复数512z i =-+〔i 是虚数单位〕，则下列说法正确的是〔〕 A ．复数z 的实部为5 B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =〔〕A 3B ．3．3．34.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为〔〕 A ．54B ．5C ．54D 5 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于〔〕A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i ib a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=〔〕A ．20171009 B ．20172018 C ．20182019 D ．403620197.若1(1)nx x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为〔〕A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．128.X 徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也〞.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称X 徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为〔〕A ．3πB ．32π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是〔〕A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q 的〔〕A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值X 围是〔〕A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5] 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有〔〕A ．()()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ．()()64f ππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+= ． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ= ．16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 〔一〕必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =，(3,1)b =，函数()f x a b m =⋅+. 〔1〕求()f x 的最小正周期；〔2〕当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .〔1〕求证：AE ⊥平面BCE ；〔2〕求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y 〔单位：kg 〕与该地当日最高气温x 〔单位：C 〕的相关数据，如下表：x11 9 8 5 2 y78 8 1012〔1〕试求y 与x 的回归方程y bx a =+；〔2〕判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；〔3〕假定该地12月份的日最高气温2(,)XN μσ，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据1122211()()()nni i iii i nni ii i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，10 3.2≈， 3.2 1.8≈，若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . 〔1〕求点P 的轨迹E 的方程；〔2〕设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W 〔Q ，R ，S ，T 为不同的四个点〕.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. 〔1〕证明：当1x >时，①1<，②1x e x ->；〔2〕证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+.〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 是参数〕，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. 〔1〕求圆心C 的直角坐标；〔2〕由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.〔1〕当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；〔2〕若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值X 围.XX 市2018年高三诊断考试数学〔理科〕试题参考答案与评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25-14. 2 15. 3π16. 10 三、解答题17.〔1〕由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. 〔2〕由〔1〕知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+. 18.〔1〕因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥. 又BCBF B =，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .〔2〕方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅==∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n ，平面CDE 的法向量为2n ，易知1(0,1,0)n =，令2(,,)n x y z =，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-，于是，12cos ,n n <>121211n n n n ⋅==⋅3=. 此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 19.〔1〕由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-，221ni i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-，a y bx =-9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为0.5612.92y x =-+.〔2〕由0.560b =-<知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得，0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg.〔3〕由〔1〕知7x μ≈=， 3.2σ=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=. 20.解：〔1〕设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=.〔2〕①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<. ②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立. 综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169.21.解：〔1〕令()1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=-<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln 1)0m x =<，ln 1<成立；令1()x n x ex -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.〔2〕1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+=+，由〔1〕1<，所以1+，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-，由〔1〕1x ex ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证. 22.解：〔1〕∵ρθθ=-，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y ++=，即22()(122x y -++=，∴圆心直角坐标为(22-. 〔2〕方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是. 方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：〔1〕当2a =时，2221x x x -+≥+，所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞.〔2〕3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三第一次质量检测

张掖市2017~2018学年度全市高三高考备考质量诊断第一次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|48},{|60}M x x N x x x =<<=-<，则MN =（）A ．{|04}x x <<B ．{|68}x x <<C ．{|46}x x <<D ．{|48}x x << 2. 若23(2)(,)i a bi a b R -=+∈，则a b +=（） A ．7 B ．7- C ．1 D ．1-3.下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 4. 已知tan()4cos(2),22ππθπθθ-=-<，则tan 2θ=（）A ．158-B ．158C ．157-D ．1575. 已知双曲线22211251x y m m +=+-的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（） A ．53± B ．35± C ．34±D ．43±6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A ．2B ．3C ．4D ．57. 若实数,x y 满足约束条件22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，则4z x y =-的最大值为（）A ．3B ．1-C ．4-D ．128.设,A B 是椭圆22:1122x y C +=的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆22:10M x y +=的一个交点，则 PA PB -=（）A ．22B ．43C ．42D ．62 9. 设0w >，函数2cos()17y wx π=+-的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（） A ．32 B ．23 C ．43 D ．3410.函数()28(sin )2x x f x x x -=+-的部分图象大致是（）11. 如图，格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A ．52πB ．45πC ．41πD ．34π12. 已知函数()()411,ln(2)2xf x eg x x-==+，若()()f mg n=成立，则n m-的最小值为（）A．2ln213-B．12ln23+C．12ln23+D．1ln24-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(6,2),(1,)a b m=-=，且a b⊥，则2a b-=．14.若623601236(13)x a a x a x a x a x-=+++++，则32aa=．15.如图，E是正方体1111ABCD A B C D-的棱11C D上的一点，且1//BD平面1B CE，则异面直线1BD与CE所成成角的余弦值为．16.在ABC∆中，3,4AC CB==，边AB的中点为D，则sinsinACDDCB∠=∠．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：17. 已知等比数列{}n a的前n项和{},22,n n n nS S a b=-为等差数列，3226,10b a b b=+= .（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}(23)n na b-的前n项和nT .18. “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元. （1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望. 19.如图，四边形ABCD 是矩形33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 设直线l 的方程为(2)5x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点(5,2)A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程；（2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点(1,2)B . 21.已知函数()2()xf x ax e a R =-∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x '=的最大值；（2）若对任意120x x ≤<都有2211()(22ln 2)()(22ln 2)f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围.22.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，曲线1C ，2C 相交于,A B 两点.（1）求两点,A B 的极坐标；（2）曲线1C 与直线32(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度. 23.已知函数()3,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: BDCAD 11、A 12：C二、填空题13. 454-15 16.43三、解答题17.解：(1)当1n =时，12a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以{}n a 是以为首项2，为公比2的对边数列，即2nn a =，又322844,210b a b b b ==+==，所以1n b n =+.（2）因为(23)(21)2nn n a b n -=-⋅，所以23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减23113(222)(21)2n n n T n +-=++++--⋅，所以1(23)26n n T n +=-⋅+.18.解：（1）献爱心参与者中奖即为事件12213373733108517()12024C C C C C AP A C ++===.（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则20,10,0,80X=-，则373107(20)24CP XC===,123731021(10)40C CP XC===,21373107(0)40C CP XC===,233101(80)120CP XC=-==,因此的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为()72171125201008024404012012E X=⨯+⨯+⨯-⨯=元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为125900937512⨯=元.19.解：（1）证明：设BE交AC于F，因为四边形ABCD是矩形，33,3,2AB BC DE EC===，所以3,CF BCCEBC AB==，又2ABC BCDπ∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB∆∆∠=∠，因为2BEC ACE ACB ACEπ∠+∠=∠+∠=，所以AC BE⊥，又PE⊥平面ABCD，所以AC PE⊥，而PE BE E=，所以AC⊥平面PBE.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,23,0),3,0),3,0),6)A B C P-,设平面APB的法向量1111(,,)n x y z=，则11113303360x z⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取11z=，即16(,0,1)n=，设平面BPC的法向量2222(,,)n x y z=，则2222303360xx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z=，即2(0,2,1)n=，设平面APB和平面BPC所成的二面角为θ，则12125cos5533n nn nθ⋅===⋅⋅.20.解（1）联立方程组2(25)4x my my x=++⎧⎨=⎩，消去x得244(25)0y my m--+=设1122(,),(,)P x y Q x y，则12124,820y y m y y m+==--因为A为线段PQ的中点，所以12222y ym+==-，解得1m=-，所以直线l的方程为30x y+-=.（2）证明：因为21212()2(25)4410x x m y y m m m+=+++=++，2222121212()(25)4416y y y yx x m=⋅==+所以1212(1)(1)(2)(2)BP BQ x x y y⋅=--+--，即12121212[()1][2()4]BP BQ x x x x y y y y⋅=-+++-++所以22[(25)(4410)1][8202(4)4]0 BP BQ m m m m m⋅=+-++++---+=，因此BP BQ⊥，即以线段PQ为直径的圆横过点(1,2)B.21.解：由()2xf x ax e'=-，得，(1)202ef a e a=-=⇒=，令()()xg x f x ex e'==-，则()xg x e e'=-，可知函数()g x在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)0g x g ''==.（2）由题意得可知函数()()2(22ln 2)(2ln 2)x h x f x x ax x e =+-=+--在[0,)+∞上单调递减，从而()2(22ln 2)0x h x ax e '=+--≤ 在[0,)+∞上恒成立，令()2(22ln 2)x F x ax e =+--，则()2x F x a e '=-，当12a ≤时，()0F x '≤，所以函数()F x 在[0,)+∞上单调递减，则()()max 012ln 20F x F ==-<，当12a >时，()20F x a ex '=-=，得ln 2x a =，所以函数()F x 在[0,ln 2)a 上单调递增，在[ln 2,)a +∞上单调递减，则()()max ln 22222ln 220F x F a alo a a ==+--≤，即2ln 222ln 22a a a -≤-，通过求函数ln y x x x =-的导数可知它在[1,)+∞上单调递增，故112a <≤，综上，实数a 的取值范围是(,1]-∞.22.解（1）由22cos 218cos 1836ρθπρπθ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩，解得236ρ=，即6ρ=±，所以,A B 两点的极坐标为(6,),(6,)66A B ππ-或7(6,)6B π. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线方程32212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，整理得243280t t +-=，即121243,28t t t t +=-=-，所以2(43)4(28)410MN =--⨯-=23.解：（1）当1a =-时，不等式131x x +-+≤，当3x ≤-时，不等式转化为(1)(3)1x x -+++≤，不等式解集为空集；当31x -<≤-时，不等式转化为(1)(3)1x x -+-+≤，解得512x -≤<-，当时，不等式转化为(1)(3)1x x +-+≤恒成立，综上所示不等式的解集为5[,)2+∞.（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，即7x a x -≤+，即727a x -≤≤+恒成立，又因为[0,3]x ∈，所以77a -≤≤，所以a 的取值范围是[]7,7-.。

2018届甘肃省武威市凉州区高三第一次诊断考试理科数学试题及答案

甘肃省武威市凉州区2018届高三第一次诊断考试数学（理）试题一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.若非空集合A={x|2135a x a +≤≤-},B={x|3≤x ≤22},则能使A ⊆B,成立的实数a 的集合是A A.{a|6≤a ≤9}B ．{a|1≤a ≤9}C ．{a|a ≤9}D ．∅ 2.设1z i =+(i 是虚数单位),则22z z+=A ．1i --B ．1i +C ．1i -D ． 1i -+3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,6,2105==S S ,则=++++2019181716a a a a a A ．54B ．48C ．32D ．16c b a ≥+恒成立4.已知：b a ,均为正数，241=+ba，则使的c 的取值范围是C ．(9.,2A ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(]1,05．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为A ．9B ．10C ．45D ．556.若()0210=+⎰dx mx x ，则实数m 的值为 A ．31- B ．32- C ．1- D ．2-7．若x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－y －≤＋－≥则x ＋2y的最大值为A ．132B ．6C ．11D ．10[] 8．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A ．24B ．C ．．9、函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,>ωA ）的图象如右图所示，为了得到x A x g ωcos )(-= 的图象，可以将)(x f 的图象A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移125π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向左平移125π个单位长度 10．下列函数中，在(0,)2π上有零点的函数是A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-[C ．2()sin f x x x =-D ．22()sin f x x x π=-11 ．若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 A．1(,4B．1(,8 C．1(4D．1(812．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2]B ．(1,2)C ．[2,+ ∞)D ． (2,+ ∞) 第Ⅱ卷(90分)二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,20092007220092007S S -=,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是__________｡14．已知点O 为ABC ∆2,则=∙BC AO ____________． 15．已知圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A,B 两点,且|AB|=6,则圆C 的方程为___________.16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA1＝，则球O 的表面积为____________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分12分)已知函数()R x x x x f ∈-+-=,cos 21)322cos()(2π．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）ABC ∆的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1,2B f b ==c = 且,a b >试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 18．（本小题满分12分）为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17，如右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ) 设,x y 表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知[)[],13,1417,18x y ∈ 求事件“2x y ->”的概率；（Ⅱ）根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如附表：附表:根据附表数据，请通过计算说明能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题共12分）如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥．⑴ 求证：AD AC '⊥；⑵若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知圆心为F 1的圆的方程为22(2)32x y ＋＋＝，F 2（2，0），C 是圆F 1上的动点，F 2C 的垂直平分线交F 1C 于M ．DCBANMDC BA C′（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设N （0，2），过点P （－1，－2）作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．21. （本小题满分12分）已知函数()1ln f x a x x=+（a 为参数）（1）若1a =，求函数()f x 单调区间；（2）当(]0,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（本小题满分10分）如图,AB 是⊙O 的直径,弦BD 、CA 的延长线相交于点E,EF 垂直BA 的延长线于点F. 求证:(1)DFA DEA ∠=∠;(2)AB 2=BE •BD-AE •AC.23.已知直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 线段MA ，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求||||MA MB ⋅的值．24．（本小题满分10分）设关于x 的不等式2log (|||4|)x x a +-> (1)当3a =时,解这个不等式;(2)若不等式解集为R ,求a 的取值范围;凉州区2018届高三年级第一次诊断考试数学试卷（理）答案一、选择题 ABDAD BCCBD BC 二、填空题 13．1+n n14.6 15.()18122=++y x 16. 16π………………6分∵0πC <<， ∴π3C =或2π3。

【兰州一诊】兰州市2018届高三诊断考试理科数学(含答案)(2018.03)

x 1
16 . 9
x ( x 1 ) ，则 m '( x)
所以所求回归直线方程为 y 0.56x 12.92 .
0.56 0 知， y 与 x 负相关.将 x 6 代入回归方程可得，（2）由 b
y 0.56 6 12.92 9.56 ，
即可预测当日销售量为 9.56kg . （3）由（1）知 x 7 ，
S 2 3.2 ，所以
1 1 P( X ) P ( 2 X 2 ) 2 2
P(3.8 X 13.4) P( X 2 )
0.8185 .
20.解：（1）设动圆半径为 r ，由于 D 在圆内，圆 P 与圆 C 内切，则 PC 2 2 r ， PD r ， PC PD 2 2 CD 2 ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 E 是椭圆， a
y k1 ( x 1) 2 2 2 2 解方程组 x 2 ，得 (2k 1) x 4k x 2k 2 0 ， 2 y 1 2
则 QS 2 2
k 2 1 ， 2k 2 1
k 2 1 同理得 RT 2 2 2 ， k 2
∴ SQSRT
3 cos 2x sin 2x m 2sin(2 x ) m ， 3
所以 f ( x ) 的最小正周期为 T . （2）由（1）知： f ( x) 2sin(2 x 当 x [0,

3
)m，

2
] 时， 2 x

所以当 2 x

3

4 时， f ( x ) 的最小值为 3 m . 3

甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(理)试题解析版

1．C【解析】，，所以或，，故选C．得，即，，故选D．5．A【解析】试题分析：∵M是BC的中点，AM=1，，∴,故选A考点：本题考查向量的数量积公式与向量加法的三角形法则点评：解决本题的关键是恰当地利用向量的相关公式灵活变形达到了用已知向量表示未知向量，且求出未知向量的目标6．D【解析】，，，，，，故选D．【方法点晴】本题主要考查“累加法”的应用、等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．7．B，球体积为，故选B．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．9．A【解析】模拟程序框图的运行过程，每四个和为，可得出该程序运行后输出的算式：+，所以该程序运行后输出的值是，故选A ．【解析】过点M 作圆的两条切线，切点分别为A B 、，连接AC BC MC 、、，若圆C 上存在两点,A B ，使得MA MB ⊥，只需045AMC ∠≥，sin 2AMC ∠=≥，解得26t ≤≤,选C ．12． C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C ．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．13．【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变换，属于中档题．已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数．16．10【解析】，因此是上的增函数，，函数在上有一个零点，函数在上有一个零点，同理，，因此是上的减函数，，函数在上有一个零点，函数在上有一个零点，函数的零点均在区间内，，，故答案为．17．（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积公式以及两角和的正弦公式化简，利用周期公式可得的最小正周期为；（2）由（1）知：，当时，，利用正弦函数的单调性，结合正弦函数的图象可得到的最小值为，∴，即．所以当时，的最小值为．又∵的最小值为，∴，即．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．18．（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由面，可得，所以，由面，可得．由线面垂直的判定定理可得平面；（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得平面与平面所成角的余弦值．试题解析：（1）因为面，所以，又，所以．因为面，所以．又，所以面，即平面．（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，设平面的法向量，平面的法向量为，易知，令，则，故，令，得，，于是，．此即平面与平面所成角的余弦值．19．（1）．（2）．（3）．所以所求回归直线方程为．（2）由知，与负相关．将代入回归方程可得，，即可预测当日销售量为．（3）由（1）知，，所以．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及其应用、正态分布的应用，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．20．（1）．（2）①见解析．②．的方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，又因，，，为不同的四个点，．②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为．若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得，则，同理得，∴，当且仅当，即时等号成立．综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为．21．（1）见解析；（2）见解析．而，所以，成立；令，则，为上的增函数，而，所以，成立．（2），即，由（1），所以，，所以，只需证，即，由（1），所以只需证，只需证，即，上式已知成立，故原式成立，得证．22．（1）．（2）．∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．方法2：直线的普通方程为，∴圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．23．（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）当时，，化为，可得或，从而可得不等式的解集；（2）化简，因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以．试题解析：（1）当时，，所以，所以或，。

甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第一次考试数学(理)试题(含答案)

张掖市2017~2018学年度全市高三高考备考质量诊断第一次考试数学（理科）一、选择题：1. 若集合2{|48},{|60}M x x N x x x =<<=-<，则M N =（）A. {|04}x x <<B. {|68}x x <<C. {|46}x x <<D. {|48}x x <<【答案】C 【解析】因为集合2{|48},{|60}M x x N x x x =<<=-<{}{}|06,|46x x M N x x =<<⋂=<<，故选C.2. 若23(2)(,)i a bi a b R -=+∈，则a b +=（） A. 7 B. 7-C. 1D. 1-【答案】A 【解析】()232i 34i=i i,a b a b -=-+=-3,4,7a b a b ∴==∴+=,故选A.3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（） A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B 【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加，B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月，C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大，D 正确，故选B. 4. 已知tan()4cos(2),22ππθπθθ-=-<，则tan 2θ=（）A. 15B.15 C. 15 D.15 【答案】D 【解析】()cos tan 4cos 2,4cos 2sin πθθπθθθ⎛⎫-=-∴= ⎪⎝⎭，又2πθ<，故14sin θ=，且0,tan 215πθθ<<∴=从而22tan 1515tan 21tan 7115θθθ===--，故选D. 5. 已知双曲线22211251x y m m -=+-的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. 53±B. 35±C. 34±D. 43±【答案】C 【解析】因为双曲线22211251x y m m +=+-的实轴长为8，所以21216m +=，解得2(2m m ==-舍去），4,3a b ∴==，该双曲线的渐近线的斜率为34b a ±=±，故选C. 6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】执行图中程序框图，1 0,2,1;2,,2;3s a n s a n======7337,,3;3,2412s a n s====>结束循环，输出3n=,故选B.7. 若实数,x y满足约束条件22026003x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，则4z x y=-的最大值为（）A. 3B. 1-C. 4-D. 12【答案】D【解析】画出约束条件22026003x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩表示的可行域，如图，由图知直线4z x y=-过点()3,0时z有最大值，且max43012z=⨯-=，故选D.8. 设,A B是椭圆22:1122x yC+=的两个焦点，点P是椭圆C与圆22:10M x y+=的一个交点，则PA PB-=（）A. 22B. 43C. 2D. 62【答案】C 【解析】由题意知()222243240PA PB a PA PB c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，()2222PA PB PA PB PA PB ∴+=++，解得28PA PB =，()222232PA PB PA PB PA PB ∴-=+-=，42PA PB -=，故选C.9. 设0w >，函数2cos 17y wx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是( ) A.32B.23 C.43D.34【答案】A 【解析】将2cos 17y wx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后对应的函数为442cos 12cos 1,3773w y w x wx ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数2cos 17y wx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，所以有()423w k k π=π∈Z ，即32kw =，又0,1w k >∴≥，故3322k w =≥，故选A.10. 函数28(sin )()2x x f x x x -=+-的部分图像大致是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】()()()()28sin ,2x x f x f x f x x x -+-==-∴+-为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时，设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，即()sin g x x x =-在区间()0,1上递增，且()()00,0g g x =∴>，又()()22210,x x x x +-=+-<∴在区间()0,1上()0f x <，排除B ；当1x >时，()0f x >，排除C ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A. 52πB. 45πC. 41πD. 34π【答案】A 【解析】由三视图可得，该几何体为四棱锥，如图所示，底面对角线的交点到各得到距离相等，所以外接球的球心是底面对角线的交点222,2313O r ∴=+=，外接球的表面积为2452r ππ=，故选A. 12. 已知函数()()()411,ln 22x f x e g x x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A.2ln213- B. 12ln23+ C. 1ln24+ D. 1ln24-【答案】C 【解析】设()()411ln 202m en k k -=+=>，则121ln 1,442k k m n e -=+=，令()121ln 1244k k h k n m e -=-=--，()1211'24k h k e k -∴=-，又()1211'24k h k e k-=-是增函数，()1'0,2h h k ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，()min 11ln 224h k h +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 24+，故选C. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的最值即可.二、填空题13. 已知向量(6,2),(1,)a b m =-=，且a b ⊥，则2a b -= __________．【答案】45 【解析】由题设6203m m -=⇒=，则()6,2a =-，()1,3b =，()24,8a b -=-，所以2a b -41445=+=，应填答案45．14. 若623601236(13)x a a x a x a x a x -=+++++，则32a a =__________．【答案】-4 【解析】因为()()()()33326323362622263603,3,4153C a a C a C a C --=-=-∴===--，故答案为4-. 15. 如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．【答案】155【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,B C BC O =，如图，当E 为11C D 中点时，11//,//BD OE BD ∴平面1B CE ，则OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角，在OEC ∆中，155,2,3,cos 235EC OC OE OEC ===∴∠==⨯故答案为155. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.16. 在ABC ∆中，3,4AC CB ==，边AB 的中点为D ，则sin sin ACDDCB∠=∠__________.【答案】43【解析】如图所示，作CE AB ⊥于点E ，则：11sin 22111sin 22ACD BCDAD CEAC AD ACD S S BD CE BC BD DCB ⨯⨯⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯⨯⨯∠，则：sin 4sin 3ACD BCDCB AC ∠==∠.三、解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为{},22,n n n n S S a b =-为等差数列，3226,10b a b b =+=. （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）求数列{}(23)n n a b -的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =,1n b n =+（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】试题分析：(1)分类讨论1n =和2n ≥两种情况可得数列{}n a 的通项公式为2nn a =，据此计算可得1n b n =+；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列(){}23n n a b -的前n 项和()12326n n T n +=-⋅+.试题解析：（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即2nn a =，又322644,210b a b b b ==+==，所以1n b n =+. （2）因为()()23212nn n a b n -=-⋅，所以()23123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，②由①-②得()()23122222212n n n T n +-=++++--⋅，所以()12326n n T n +=-⋅+.18. “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱子中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全是红球奖金100元.（1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐900位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望. 【答案】（1）1724.（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）()1221337373310851712024C C C C C P A C ++===；（2）由题可知，设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则20,10,0,80X =-，求出每种情况的概率，写出分布列，求出期望，最后再乘以900. 试题解析：（1）献爱心参与者中奖记为事件A ，则()1221337373310851712020C C C C C P A C ++===. （2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则20,10,0,80X =-，则()3731072024C P X C ===,()1237310211040C C P X C ===, ()21373107040C C P X C ===,()23310180120C P X C =-==,因此分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为()72171125201008024404012012E X =⨯+⨯+⨯-⨯=元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为125900937512⨯=元.19. 如图，四边形ABCD是矩形33,3,2,AB BC DE EC PE===⊥平面,6ABCD PE=.（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；（2）求二面角A PB C--的余弦值.【答案】（1）见解析(2)5.【解析】【详解】试题分析：（1）根据ABC BCE∆~∆可得AC BE⊥,由PE⊥平面ABCD，可得AC PE⊥，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBE，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBE；（2）以过E作CD的垂线为x轴，以EC为y，以EP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APB的法向量16n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭与平面BPC的法向量()20,2,1n=利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）证明：设BE交AC于F，因为四边形ABCD是矩形，33,3,2AB BC DE EC===，所以3,CF BCCEBC AB==，又2ABC BCDπ∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB∆∆∠=∠，因为2BEC ACE ACB ACEπ∠+∠=∠+∠=，所以AC BE⊥，又PE⊥平面ABCD，所以AC PE⊥，而PE BE E⋂=，所以AC⊥平面PBE.由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBE(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,23,0,3,0,3,0,6A B C P -, 设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =，则11113303360x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取11z =，即16n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =，则2222303360x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21z =，即()20,2,1n =，设平面APB 和平面BPC 所成的二面角为θ，则12125cos 5533n n n n θ⋅===⋅⋅.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 设直线l 的方程为x =()25m y ++,该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点. (1)若点()5,2A -为线段PQ 的中点,求直线l 的方程; (2)证明:以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 【答案】见解析. 【解析】试题分析：（1）联立方程组()2254x my m y x⎧=++⎨=⎩，消去x 得()244250y my m --+=，根据点()5,2A -为线段PQ 的中点以及韦达定理可得12222y y m +==-，从而可得直线l 的方程；（2）要证明以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B ，只需证明()()()()121211220BP BQ x x y y ⋅=--+--=，根据韦达定理将上式用m 表示，化简消去m 即可的结果.试题解析：（1）联立方程组()2254x my m y x ⎧=++⎨=⎩，消去x 得()244250y my m --+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==-- 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-，所以直线l 的方程为30x y +-=.（2）证明：因为()()212122254410x x m y y m m m +=+++=++，()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+所以()()()()12121122BP BQ x x y y ⋅=--+--，即()][()12121212124BP BQ x x x x y y y y ⎡⎤⋅=-+++-++⎣⎦所以()()][()2225441018202440BP BQ m m m m m ⎡⎤⋅=+-++++---+=⎣⎦，因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点()1,2B . 21. 已知函数()()2xf x ax ea R =-∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()'y f x =的最大值；（2）若对任意120x x ≤<，都有()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(,1]-∞. 【解析】试题分析：（1）由曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，可得()'120f a e =-=，2ea =，再求出()'f x 的导函数()'x g x e e =-可得()'f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max ''10f x f ==；（2）()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-，等价于函数()()()()222ln222ln2xh x f x x ax x e =+-=+--在[)0,+∞上单调递减，即()()'222ln20x h x ax e =+--≤在[)0,+∞上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出'(h x ）的最大值即可的结果.试题解析：（1）由()'2xf x ax e =-，得()'120f a e =-=，2ea =，令()()'xg x f x ex e ==-，则()'x g x e e =-，可知函数()g x (),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max ''10f x f ==．（2）由题可知函数()()()()222ln222ln2xh x f x x ax x e =+-=+--在[)0,+∞上单调递减，从而()()'222ln20x h x ax e =+--≤在[)0,+∞上恒成立，令()()222ln2xF x ax e =+--，则()'2xF x a e =-，当12a ≤时，()'0F x ≤，所以函数()F x 在[)0,+∞上单调递减，则()()max 012ln20F x F ==-<；当12a >时，令()'20xF x a e =-=，得ln2x a =，所以函数()F x 在())0,ln 2a ⎡⎣上单调递增，在())ln 2,a ⎡+∞⎣上单调递减，则()()()max ln 2F x F a = 2ln222ln220a a a =+--≤，即2ln222ln22a a a -≤-，通过求函数ln y x x x=-的导数可知它在[)1,+∞上单调递增，故112a <≤．综上，1a ≤，即a 的取值范围是(],1-∞．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点参数，即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.22. 已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，曲线1C ，2C 相交于,A B 两点.（1）求两点,A B 的极坐标；（2）曲线1C 与直线22(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度.【答案】（1）(6,),(6,)66A B ππ-或7(6,)6B π；（2）【解析】试题分析：（1）2cos 218{6ρθπθ== ，解得6ρ=± ，即求得点,A B 的极坐标分别是6,,6,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）直线的参数方程代入曲线1C 的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，弦长12MN t t =- .试题解析：(1)由2218{6cos ρθπθ==，得2cos 183πρ=，所以236ρ=，即6ρ=±，所以,A B 两点极坐标为6,,6,66A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或76,6B π⎛⎫⎪⎝⎭. (2)由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线2{12x y t=+=代入2218x y -=, 整理得2280t +-=，即1212?28t t t t +=-=-，所以MN ==23. 已知函数()3,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围.【答案】（1）5[,)2+∞；（2）[]7,7-.【解析】试题分析：（1）利用零点分段法解含绝对值不等式；（2）()4f x ≤恒成立，即7x a x -≤+，亦即727a x -≤≤+恒成立，转为最值问题即可.试题解析：(1)当1a =-时，不等式为131x x +-+≤；当3x ≤-时，不等式转化为()()131x x -+++≤，不等式解集为空集；当31x -<<-时，不等式转化为()()131x x -+-+≤，解之得512x -≤<-；当1x ≥-时，不等式转化为()()131x x +-+≤，恒成立；综上所求不等式的解集为5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. (2)若[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，即7x a x -≤+，亦即727a x -≤≤+恒成立，又因为[]0,3x ∈，所以77a -≤≤，所以a 的取值范围为[]7,7-.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。