探析几何学“维数”与空间“维”数的区别

探析几何学“维数”与空间“维”数的区别

作者：徐敏

来源：《成长·读写月刊》2017年第11期

【摘要】几何学的“维”数是基本几何图形的活动自由度。空间、几何元素的坐标及“维”数的定义让我门认识到空间“维”数与几何学“维”数的不同，更好的掌握空间“维”数与几何学“维”数的联系和区别。无论是原来的证书维数还是近几十年产生的新兴的分形几何学中的分数维数都是涉及到基本的“维”数问题。

【关键词】空间维数；几何学维数；活动自由度；有序数组；独立参数

在高等几何学的学习过程中须掌握一个基本问题——维数问题。如空间解析几何的射影变换群称为“八维群”，而仿射变换群是射影变换群的一个子群，也称“六维群”等等。但这里所涉及到的“维”数仅限于高等几何学中的空间的维数与几何学的维数。

几何学或者说是西方几何学最早来源于古埃及，埃及的几何学只有实际问题的解决而没有定理，没有规律的精确表达，金字塔的辉煌说明了数学的辉煌，但埃及人在辉煌面前止步.如将“几何学”的重大历史事件看作“点”，按时间的循环排列起来，只涉及哪个“点”是在哪两个“点”之间，下面我们就其“维”数问题进行研究：

一、空间、几何元素的坐标及“维”数的定义

空间是从物理学上借用来的概念，后再数学上得到广泛应用，因此克难攻坚的概念对我们来说是熟悉的。我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中。如果需要用三个方向来表示，也就是说空间是“三维”的。爱因斯坦认为：每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如，我们所住的房子是由长度.宽度和高度和时间（慈宁宫房子盖起时算起到最后房子倒塌为止）制约的。在数学中经常用的“空间”这个概念所指的范围很广，一般指某种对象（现象、图形、函数等）的任意集合，只书名其“距离”或“领域”的概念即可.

定义1：一类基本元素的非空集合称为空间。用数作基本元素构成数空间。数空间有实的、复的、一维的、二维的……n维的以及无情维的等等，如用图形作基本元素称为点空间。高等几何中除点之外及无穷维的等等，如用图形作基本元素称为点空间。高等几何中除点之外，还有其他简单的几何图形。如线、三角形和多边形、（平面）、园、球……..，对应有线空间面空间、圆空间、球空间等等

数空间和点空间是相互对应的，即

一维实数空间←—→ 直线上的点空间

二维实数空间←—→ 平面上的点的空间

三维实数空间←—→ 三度的点的空间

…… ……

n维实数空间←—→ n度的点空间

…… ……

在用代数工具处理几何问题时，就需要建立一定的坐标系而坐标系的类型及选用就须考虑几何元素的坐标.

定义2：如果一个数或一个有序数组的集合能与几何元素的全体建立一一对应，那么这个数或这个有序数组称为这个几何元素的坐标。

例如：直线上的点的坐标为X

平面上的点的坐标（X1，X2）

平面上图的坐标为有序组（a，b，r） {圆心（a，b）半径为r}

所谓“维”的概念如果我们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是一；一个的三角形的维数是二；一个立方体内所有的集合是三维的。

定义3：空间的维数指构成空间的基本元素（比如点）的活动自由度，就是点的独立坐标数。如：直线上的点集是一维，通常称直线为一维空间，记作V1，V1中的元素记为P （X），平面上的点集是二维的，通常称平面上的点为而为空间，记作V2，V2中的元素记作P（X1，X2），n维空间记作Vn，Vn中的元素记作P（X1，X2，X3，…….Xn）。几何学研究的n维空间的概念就可以理解成由空间的点的n个坐标决定，一般来说，某个图形由n个条件给出，那么这个图形就是n维的。

定义4：几何学的维数是指基本几何图形（比如：点、直线、平面、园、球等）的活动自由度，就是这些基本图形的独立坐标数或方程中的独立参数个数，如平面上的集合是二维的，空间中的平面集合的是三维的。

定义5：如果在线性空间v中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个能够无关的向量，那么V就称为无限维的。

二、几何学的“维”数与空间的“维”数的区别

除了几何学与空间的起源和定义不同之处，还有其他的区别，下面举例说明：

例1：以三维空间内直线为几何元素是几维的？

解：三维空间内直线的一般式方程为

L：A1X+B1Y+C1Z+D1=0A2X+B2Y+C2Z+D2=0

将它化成射影

Y=AX+BZ=CX+D （1）

直线1与方程组（1）可建立一一对应，可得直线1决定于独立参数a，b，c，d

所以，三维空间中的直线几何学是四维的。

例2：以二维空间内的圆锥曲线为集合元素的集合学是几维的？

解：平面上圆锥曲线的一般方程为

ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0且a，b，h不全为0，

与上例相同不妨设a≠0得

x2+2h'xy+b'y2+2g'x+2f'y+c'=0

有序数列（h'，b'，g'，f'，c'）可与平面上的圆锥曲线建立一一对应，所以该数组可作为平面上圆锥曲线的坐标，即二维空间上的圆锥曲线为几何元素的几何学是五维的。