《基本不等式的实际应用》ppt课件
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20 10 x 20 10 x
,则
5
S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)· +160=80 10(2 x+ x )+4160(x>1).
5 5 x
(2)∵80 10(2 x+ x )+4160≥80 10×2 2 x × =1600+4160=5760, 当且仅当 2 x= ,即 x=2.5 时等号成立,此
(1)若设休闲区的长和宽的比
A1B 1 B 1 C1
=x(x>1),
求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的 解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
.. 导. 学 固思
【解析】(1)设休闲区的宽为 a 米,则长为 ax 米,由 a2x=4000,得 a=
x 5
+4160
时,a=40,ax=100. ∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米,宽 40 米.
.. 导. 学 固思
把实际问题转化成数学模型
如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为
200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周 壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的 壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元 (池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可
问题4
2 2 2 2
利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二
定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是 定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对 不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成 可用基本不等式的形式, 倘若要多次利用不等式求最值, 还必须保证每次取“=”号的一致性.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则 不能用它来求最值,比如求 f(x)=sin x+sinx ,x∈(0,π)的 最值时,不能这样做:f(x)=sin x+ sinx ≥2 sinx· sinx =2 2 , 因为当 x∈(0,π)时无法满足 sin x=sinx .
9 x -1
9
x -1
,即 x=4 时取“=”.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式解实际应用问题 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公
园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴
影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人
行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
第7课时 基本不等式的实际应用
.. 导. 学 固思
1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题.
.. 导. 学 固思
今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,
我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的
海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白 各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值 是 dm2.
.. 导. 学 固思
1
在下列不等式的证明过程中,正确的是( D ).
A.若 a,b∈R,则b +a ≥2
a b a b
× a =2
b
B.若 a,b 都为正数,则 lg a+lg b≥2 lga·lgb C.若 x<0,则 x+ ≥-2 x· =-2 2
x x 2 2
D.若 x≤0,则 3x+3-x≥2 3x ·3-x =2
使总价最低.
.. 导. 学 固思
200 x
.. 导. 学 固思
问题1 设阴影部分的高为 x dm,宽为
2
72 x
dm,四周空白部分面
积是 y dm .由题意得 y=(x+4)( +2)x
72
72=8+2(x+
144 x
)≥8+2×2 x· ,即
144 x
=
56
.
当且仅当
x=12
时,取得最小值.
问题2 用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量 定为函数; (2)建立相应的 函数关系式 ,把实际问题抽象 为函数的最大值或最小值 问题; 最大值或最小值 ; (3)在定义域内,求出函数的
C.3
D.4
【解析】∵x< ,∴4x-5<0, ∴y=4x-5+
1 4x -5
+3=-[(5-4x)+
1 5-4x
1 5-4x
]+3
≤-2 (5-4x)· 当且仅当 5-4x=
1 5-4x
+3=1.
,即 x=1 时等号成立.
∴当 x=1 时,函数取最大值 1.
.. 导. 学 固思
某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费
为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的 总运费与总存储费用之和最小,则x= .
【解析】一年的总运费与总存储费用之和为
400 x 400 x
20
吨
×4+4x=4(
400 x
+x)≥4×2
400 x
·x=160,当且仅当
=x,即 x=20 时等号成立.
.. 导. 学 固思
4
已知 a,b,c 都为正数,且 a+b+c=1, 求证:( -1)( -1)( -1)≥8.
【解析】对于 A,若 + ≥2,则须 a,b 同号;对于 B,应有
b a a b 2 x 2
a>1,b>1;对于 C,∵x<0,∴x+ =-[(-x)+ ]≤-2 2;只有 D 正
-x
确.
.. 导. 学 固思
2
已知 x<4 ,则函数 y=4x-2+
5
1
4x -5
的最大值为( B ).
A.5
5 4
B.1
1 3 2 bc a
·
·
=8,
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式求函数的最值
求函数 y= x -1 (x>1)的最小值.
【解析】y=
x 2 -1+9 x -1
x 2 +8
=(x-1)+
9 x -1
+2, +2=8.
∵x-1>0,∴y≥2 (x-1)· 当且仅当 x-1= ∴ymin=8.
a b c 1 1 1
【解析】∵a,b,c 都为正数,a+b+c=1, ∴ -1=
a 1 b 1 1-a b+c b c a
=
同理 -1≥
1 a 1 b
a a a 2 ac 1 b 1 c c
= + ≥
2 bc a c
. .
2 ac b 2 ab c
, -1≥
2 ab
上述三个不等式两边均为正,分别相Байду номын сангаас,得 ( -1)( -1)( -1)≥
,则
5
S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)· +160=80 10(2 x+ x )+4160(x>1).
5 5 x
(2)∵80 10(2 x+ x )+4160≥80 10×2 2 x × =1600+4160=5760, 当且仅当 2 x= ,即 x=2.5 时等号成立,此
(1)若设休闲区的长和宽的比
A1B 1 B 1 C1
=x(x>1),
求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的 解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
.. 导. 学 固思
【解析】(1)设休闲区的宽为 a 米,则长为 ax 米,由 a2x=4000,得 a=
x 5
+4160
时,a=40,ax=100. ∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米,宽 40 米.
.. 导. 学 固思
把实际问题转化成数学模型
如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为
200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周 壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的 壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元 (池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可
问题4
2 2 2 2
利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二
定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是 定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对 不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成 可用基本不等式的形式, 倘若要多次利用不等式求最值, 还必须保证每次取“=”号的一致性.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则 不能用它来求最值,比如求 f(x)=sin x+sinx ,x∈(0,π)的 最值时,不能这样做:f(x)=sin x+ sinx ≥2 sinx· sinx =2 2 , 因为当 x∈(0,π)时无法满足 sin x=sinx .
9 x -1
9
x -1
,即 x=4 时取“=”.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式解实际应用问题 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公
园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴
影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人
行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
第7课时 基本不等式的实际应用
.. 导. 学 固思
1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题. 3.能利用基本不等式解决实际问题.
.. 导. 学 固思
今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,
我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的
海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白 各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值 是 dm2.
.. 导. 学 固思
1
在下列不等式的证明过程中,正确的是( D ).
A.若 a,b∈R,则b +a ≥2
a b a b
× a =2
b
B.若 a,b 都为正数,则 lg a+lg b≥2 lga·lgb C.若 x<0,则 x+ ≥-2 x· =-2 2
x x 2 2
D.若 x≤0,则 3x+3-x≥2 3x ·3-x =2
使总价最低.
.. 导. 学 固思
200 x
.. 导. 学 固思
问题1 设阴影部分的高为 x dm,宽为
2
72 x
dm,四周空白部分面
积是 y dm .由题意得 y=(x+4)( +2)x
72
72=8+2(x+
144 x
)≥8+2×2 x· ,即
144 x
=
56
.
当且仅当
x=12
时,取得最小值.
问题2 用基本不等式解实际应用问题的步骤 (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量 定为函数; (2)建立相应的 函数关系式 ,把实际问题抽象 为函数的最大值或最小值 问题; 最大值或最小值 ; (3)在定义域内,求出函数的
C.3
D.4
【解析】∵x< ,∴4x-5<0, ∴y=4x-5+
1 4x -5
+3=-[(5-4x)+
1 5-4x
1 5-4x
]+3
≤-2 (5-4x)· 当且仅当 5-4x=
1 5-4x
+3=1.
,即 x=1 时等号成立.
∴当 x=1 时,函数取最大值 1.
.. 导. 学 固思
某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费
为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的 总运费与总存储费用之和最小,则x= .
【解析】一年的总运费与总存储费用之和为
400 x 400 x
20
吨
×4+4x=4(
400 x
+x)≥4×2
400 x
·x=160,当且仅当
=x,即 x=20 时等号成立.
.. 导. 学 固思
4
已知 a,b,c 都为正数,且 a+b+c=1, 求证:( -1)( -1)( -1)≥8.
【解析】对于 A,若 + ≥2,则须 a,b 同号;对于 B,应有
b a a b 2 x 2
a>1,b>1;对于 C,∵x<0,∴x+ =-[(-x)+ ]≤-2 2;只有 D 正
-x
确.
.. 导. 学 固思
2
已知 x<4 ,则函数 y=4x-2+
5
1
4x -5
的最大值为( B ).
A.5
5 4
B.1
1 3 2 bc a
·
·
=8,
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
.. 导. 学 固思
利用基本不等式求函数的最值
求函数 y= x -1 (x>1)的最小值.
【解析】y=
x 2 -1+9 x -1
x 2 +8
=(x-1)+
9 x -1
+2, +2=8.
∵x-1>0,∴y≥2 (x-1)· 当且仅当 x-1= ∴ymin=8.
a b c 1 1 1
【解析】∵a,b,c 都为正数,a+b+c=1, ∴ -1=
a 1 b 1 1-a b+c b c a
=
同理 -1≥
1 a 1 b
a a a 2 ac 1 b 1 c c
= + ≥
2 bc a c
. .
2 ac b 2 ab c
, -1≥
2 ab
上述三个不等式两边均为正,分别相Байду номын сангаас,得 ( -1)( -1)( -1)≥