5离散型随机变量及其函数的分布

所求概率为 P
X
1
X
1
PX 1 1 PX 0
C41 0.1 0.93 1 0.94
0.848
例7 设随机变量 的分布密度如下，求 P 2 4
1234
p1 1 1 1 8428
解：P
2
4
P2 P
4 4
P 2,3 P 1, 2,3
3
P
1 P
2, 3 4
4
7 8
nn
n
此分布称为（离散型的）均匀分布，对应的是古典概型。
（ （ （
（ （ （
※ 一维离散型随机变量的分布
例2 设口袋里装有3 个红球，2个白球，从中随机取出 4 球， 以 X 表示取出的白球数，试写出 X 的分布密度。
解：PX
1
C33C21 C54
2 5
此分布称为两点分布。
X 12 P 23
55
一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：
1 0 pi 1, i 1, 2,3,....... 2 pi 1 i 1
※ 一维离散型随机变量的分布
例1 设口袋里装有 n 个带有标号的小球，从中随机取出一球，
以 X 表示取出的小球的编号，试写出 X 的分布律。
X
解：
P
1 2 ... n
1 1 ... 1
例10 设随机变量 X 的分布律如下，求 a 及 X 的分布函数。
P X k ak, k 1,3,5
X
解：...... 故 X 的分布律是：
P
......综上所述，
135 135 999
0, 1,
F x PX x 9
4, 9 1,
x 1 1 x3
3 x 5 x5
例11 设 ~ B 2, p, ~ B 3, p 且 P 1 1
这里：0.8 1 0.2 0.22 0.23 0.24
不是几何分布
唔？ 0.81 0.25 1 0.25 1 0.2
※ 一维离散型随机变量的分布
例5 设在一次试验中事件Ａ出现的概率为 p 0 p 1 ,
X 表示Ａ在 n 次贝努里试验中出现的次数，
求 X 的分布律。
解：PX k Pn k Cnk pk 1 p nk k 0,1,2,...,n
如果随机变量的所有取值是有限或无限可数的，则称之 为离散型随机变量。
对于一维离散型随机变量，除分布函数之外，还可以把 随机变量的每一取值相应的概率罗列出来。
X
a1 a2 ... ai ...
P
p1 p2 ... pi ...
或：PX ai pi , i 1, 2,...
称为随机变量 X 的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。
6 7
例8 设有15 个工人间歇地用电，在任一时刻每个工人都以同样
的概率 0.3 需要一个单位的电力，如果工人独立工作，问 在任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率是多
少？若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，供 电系统最少供应多少个电力单位？
解：设在任一时刻需要供应的电力为 X ，则 X ~ B15, 0.3
点点点表示运气特好！
此分布称为几何分布。（与几何概率无关）
※ 一维离散型随机变量的分布
例4 某射手有 5 发子弹，他射击的命中率为 0.8 ，现他向一
目标射击，命中即止，求耗用子弹数 的概率函数。
解： X 1
2
3
4
5
P 0.8 0.2 0.8 0.22 0.8 0.23 0.8 0.24 0.8 0.25
X 1500 表示“元件寿命不大于 1500 小时 ”
100 X 1500
表示“元件寿命在 100 小时以上但不超出 1500 小时 ”
对任意的数集 S, P X S 反映了随机变量的取值规律。
称为 随机变量的分布。
随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。
※ 一维随机变量的分布函数
若X ~ Bn, p, 且n 较大,（n 10），p 较小,（ p 0.1 ）
则近似地，有 X ~ Pnp
即：Cnk pk
1 p nk
np k enp k!
例9 一台仪器平均在1000个工作小时内发生一次故障， 试求该仪器工作100个小时而无故障的概率。
解：设 A 表示“仪器在一小时内出故障”，则
Pa X b PX b PX b PX a PX b F b F a
Pa X b PX b PX a PX a F b F a PX a
Pa X b PX b PX b PX a PX a
PX b F b F a PX a
※ 一维离散型随机变量的分布
则任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率为
15
PX 10 C1k5 0.3k 0.715k 0.0037 （查表得） k 10 设若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，
最少供应 x 个电力单位，则 x
PX x C1k5 0.3k 0.715k 0.9999 k 0
1 e 2 e
1!
2!
2
P 1 P 0 P 1
20 e2 21 e2 e2 1 2 0.4060
0! 1!
例13 设随机变量 的分布密度如下，求 及其函数 sin ,
cos 的分布密度。
0
随机变量的函数
P 1 11 4 42
解：由 的分布律列出下表
P
1 11
4 42
0
样本点 t 表示“寿命为t 小时 ”
令X t t 与之对应，则 X t t t R, t 0
也是一维随机变量。
※ 一维随机变量
引入随机变量之后，事件可用“随机变量属于某个数集”去表示。
如：掷骰子一颗，观察其点数。
X
2,
14 3
X
2,3, 4 表示“点数为 2，3，4。”
又如：观察一电子元件的寿命。
欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。
一般来讲，要对任意的数集 S, 都求出P X S 是不实际的。
考察特殊的数集 S s s , x , x R
PX S PX x 记作 F x
称为 随机变量的分布函数。
随机变量的分布函数有以下重要性质：
1 0 F x 1, x
此分布称为二项分布。对应 n 次贝努里试验。
记作 X ~ Bn, p
例6
一大批零件的一级品率是10
0 0
。从中任取
4
个，求取出的
一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有
一个一级品的概率。
解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作 4 次贝努里试验。
即 X ~ B4, 0.1
故PX k P4 k C4k 0.1k0.94k , k 0,1, 2,3, 4
2 F x1 F x2 , x1 x2 （单调非降）
3 lim F x 0, lim F x 1, lim F x F a
x
x
xa
记为 F 记为 F
是左连续的
※ 一维随机变量的分布函数
随机变量的分布函数有以下重要性质：
4 Pa X b PX b PX a F b F a
sin 0 0 0
cos 1 1 1
0
（退化分布）
Fra Baidu bibliotekP1
1 1
P31 44
在两点分布中，若 X 的取值为 0，1，则称作 0 1 分布。
※ 一维离散型随机变量的分布
例3 在一堆次品率为 2 0 0 的产品中有放回地每次抽取一件，
直到取到次品为止，求抽取的次数 X 的概率分布。
解： X 1
2
...
i
...
P 0.02 0.98 0.02 ... 0.98i1 0.02 ...
P X k ak, k 1,3,5
解：由 a 3a 5a 1
a1
9
X 135
故 X 的分布律是：
P
135
999
当 x 1 时，F x PX x P 0
当1 x 3 时， F x PX x PX 1 1
当
3
x
5
时，F x
PX
x
PX
9
1,3
4
9
当 x 5 时，F x PX x P 1
2
求 P 1, P 2
解：P 1 1 P 1
1 P 0 1 1 p2 1
2
1 p2 1
p 1 1
2
2
P 1 P 0 1 p3 1
22
P 2 C32 p2 1 p1
31
1
2
2
1 0.1820 2
例12 设 ~ P 且 P 1 P 2
求：P 1
解：P 1 P 2
查表得 x 11
若随机变量 X 的分布密度是：
PX k k e , k 0,1, 2,..., 0
k!
则称 X 服从泊松分布，记作 X ~ P
泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。
其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的
平均数）。所以它的一个重要应用是——
※ 一维随机变量
定义——
设随机试验的样本空间 的每一个样本点 均有唯一的实数
X 与之对应，称X 为 上的一维随机变量。
如：掷骰子一颗，观察其点数。
样本点 i 表示“点数为i ”
令 X i i 与之对应，则 X i i 1, 2,3, 4,5,6
是一维随机变量。
又如：观察一电子元件的寿命。
P A 0.001
由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故障。
令 X 表示 “100 个小时内 A 出现的次数”，则
~ X ~ B100, 0.001 近似 P0.1
所求概率为：
PX 0 0.10 e0.1 e0.1 0.9048
0!
例10 设随机变量 X 的分布律如下，求 a 及 X 的分布函数。