C类运筹学ppt 第8章 排队论

( 1 t ) i 1 t ( 2 t ) j 2 t 设两个波松分布为 : Pi ( t ) e , Pj ( t ) e i! j! 令 n i j , 在( 0, t )内 来 到n 个 顾 客 的 概 率 为 P x1 x 2 n
j 0
排队论
• • • • • 排队系统 M/M/1系统 M/M/s系统 M/G/1系统 排队 系统经济分析
排队系统/背景:
排队:若顾客想要得到一项服务,而服务器(泛指,也包括人)又在忙,就 形成排队. 要减少排队时间,最好是增加服务器,但是增加服务器就会提高成本, 我们希望在两者之间寻求一种平衡,使有关各方都能满意.
• 典型分布 —— 泊松分布及其性质，负指数分布
泊松分布 (平稳状态） > 0 为单位时间平均 到达的顾客数： P { I = n } = n e- / n! (n = 0,1,2,……) 负指数分布 为平均服务率，即单位时间服 务的顾客数 P（服务时间≤ t ) = 1- e- t t ≥0 • 系统状态概率分布及状态转移速度图 —— 基 本的概率分布推导
常用的概率分布
1、定长分布
– 流水线的加工时间
1 当t l F (t ) 0 当t l
2、负指数分布
– 一类最常用的分布，如上述通话时长，可靠性
F ( t ) 1 e t f ( t ) e t
f(t) 1 0 l 定长分布 F(t) t
h 0 te t dt 1 /
P x1 j P x2 n j

( 1 t ) j 1 t ( 2 t ) n j 2 t ( 1 2 ) n t n ( 1 2 ) t e e e j! ( n j )! n! j 0
泊松输入过程及其特点
• 泊松过程的到达间隔时间为负指数分布
• 排队论研究的内容和目的 —— 提出排队论关 心的问题和需要计算的一些量 研究内容： 数量指标：队长、等待时间和逗留时间 的分布、忙期和闲期的分布、服务设备利用 率、顾客损失率等； 排队系统优化问题：系统最优设计问题 和动态控制问题。 研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究， 使系统达到最优设计和最优控制，以最小费 用实现系统的最大效益。
( 24 1 / 8) 3 241 / 8 P3 (1 / 8) e 0.224 3!
(2) 3 个顾客全是购买 B 类商品的概率为
(16 1 / 8 ) 3 161 / 8 PB 3 (1 / 8 ) PA0 (1 / 8) e e 81 / 8 3! 0.0664
1 Cn ( t o( t ))(1 t o( t ))n1 n t o( t )

• 在 t 内有 k >1 个服务台终结的概率为 o(t )，称为普通性 k Cn ( t o( t ))k (1 t o( t ))nk o( t )
生灭过程
• 一种描述自然界生灭现象的数学方法，如细菌的繁殖和灭亡，人 口的增减，生物种群的灭种现象等 • 采用马氏链 – 令 N(t)代表系统在时刻 t 的状态，下一瞬间 t+t 系统的状态 只能转移到相邻状态，或维持不变，如图所示
j t
j j+j)t
j+1 j j 1
jt
排队系统输入
泊松输入 — 负指数服务的排队系统 • 对于泊松输入 - 负指数分布服务的排队系统 的一般决策过程： ① 根据已知条件绘制状态转移速度图 ② 依据状态转移速度图写出各稳态概率之间 的关系 ③ 求出 P0 及 Pn ④ 计算各项数量运行指标 ⑤ 用系统运行指标构造目标函数，对系统进 行优化
( t ) k t Pk ( t ) e k!
– 是到达率 – 电话呼叫的到达，商店的顾客到达，十字路口的ຫໍສະໝຸດ Baidu车流，港 口到达的船只，机场到达的飞机等
泊松输入过程及其特点
(1) 平稳性：顾客到达数只与时间区间长度有关
(2) 无后效性：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的 (3) 普通性：在 t 时间内到达一个顾客的概率为 t +o(t )，到达 两个或两个以上顾客的概率为 o(t )；即两个顾客不可能同时到 达 • 泊松过程具有可迭加性 – 即独立的泊波松分布变量的和仍为波松分布

P t0 h t t0 P h t t0 P h t0 P h t0 P h t0 1 (1 e
t0


1 e ( t t0 ) (1 e t0 ) )
1 e t
Q .E.D
– 令 代表间隔时间，则概率 P{ > t}代表时间区 间(0, t)内没有顾客来的概率；由泊松分布可知 P0(t)= P{ > t}=et – 故间隔时间 的分布为 P{ t}=1et
马尔科夫链
• 马尔科夫链(Markov Chain)又简称马氏链，是一种离散事件随机 过程。用数学式表达为 P{Xn+1=xn+1| X1=x1, X2=x2, ... , Xn=xn}= P{Xn+1=xn+1| Xn=xn} – Xn+1的状态只与 Xn的状态有关，与 Xn 前的状态无关，具有无 记忆性，或无后效性，又称马氏性
输入过程
• 即顾客到达的分布，可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以 用单位时间内到达的顾客数描述 – 间隔时间服从定长分布 – 单位时间内到达的顾客数服从泊松分布(法国数学家Poisson, 1837) – 间隔时间服从爱尔兰分布 – 一般独立同分布 泊松输入过程及其特点 • (0, t)时间内到达 k 个顾客的个数服从波松分布，若
t
t+t
• 三种转移是不相容的，三者必居其一 • 只有具有无记忆性和普通性的过程(分布)才适用马氏链 • 令 Pj(t)=P{N(t)=j}代表系统在时刻 t 处于状态 j 的概率
生灭过程的马氏链
1+1)t j-1+j-1)t j+j)t j+1+j+1)t
• 一个服从负指数分布的服务，在下一瞬间结束的概率
负指数分布的特点

应用无记忆性
P h t0 t h t0 1 e t 1 [1 t ( t ) 2 2! ( t ) 3 3! ] t o ( t )
• 在 t 内服务终结的概率只与 和 t 成正比，与 t0 无关；因此 又称为终结率，或离去率 • 同理，在 t 内服务不终结的概率为 1– t +o(t ) • n 个独立同分布(负指数)的服务台同时被占用，在 t 内只有一个 服务台终结的概率为


1 f(t) 0
F(t)
负指数分布
t
常用的概率分布
3、爱尔兰分布
– 一种代表性更广的分布 ( k 1)! – k 为整数，称为 k 阶爱尔兰分布；当 k=1 时， 退化为负指数分布；k 时趋向定长分布 – 爱尔兰分布实际上是 k 个独立同分布的负指数 分布随机变量的和的分布，即 k 个服务台的串 联，每个服务台的平均服务时长为 1/k
排队系统应用分类
• 商业服务系统-银行、电信 • 内部服务系统-设备维护、制造系统 • 运输服务系统-高速收费
排队系统的研究方法
• • • • 排队系统的绩效 了解排队系统 估计顾客到达及服务时间的分布 选择排队系统的模型
•
系统的运行指标 —— 提出一般常需要计算的一些量 最常用的量： 单位时间顾客平均到达数 单位时间平均服务顾客数 1. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 Pn 2. 系统中无顾客的概率 P0 3. 系统中平均排队的顾客数 Lq 4. 系统中的平均顾客数 Ls 5. 系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 6. 系统中顾客的平均逗留时间 Ws 7. 有效到达率 e 8. 有效离去率 e 此外还有：忙、空的概率等变量
生灭方程的推导过程
• 将上述三个差分方程化为微分方程
t 0
lim
p j ( t t ) p j ( t )
t ( j j ) p j (t )
j 1 p j 1 ( t ) j 1 p j 1 ( t ) j 1, 2,, n 1
• ①有请求服务的人或物； ②有为顾客服务的人或物； ③顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
• 结构： 排队的过程可表示为： 排队系统
顾客到达 排队 服务机构服务 顾客离去
排队系统有三个组成部分
• 输入过程： 顾客总体数（来源无限或有限） 顾客到来方式（单个或成批） 顾客流的概率分布（泊松流、定长、爱尔朗分布等） • 服务规则： 损失制（服务台满时顾客立即离去） 等待制（先到先服务，后到先服务，随机服务，优先权） 混合制（队长有限制，排队时间有限制） • 服务机构： 服务台数量及布置形式（单/多服务台，串、并列或结合） 某一时刻接受服务的顾客数（每服务台每次服务顾客数） 服务时间分布（负指数、定长、爱尔朗分布等）
• 排队模型的分类及排队系统的常用符号
肯道尔（D.G.Kendall）分类：A 其中： A 顾客到达的分布；
/B/C/D/E
B 服务时间的分布； C 服务台数； D 系统容量； E 顾客源的个体数。 表示分布的符号：M----指数分布或泊松输入；D---定长分布；Ek----k阶爱尔朗分布；GI----一般独立 随机分布；G----一般随机分布。
f(t)
k=20
f (t )
k( kt ) k 1
e kt
k=1 k=3 k=2
0

t
负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学分析变 得方便 • 无记忆性。指的是不管一次服务已经过去了多长时间，该次服务 所剩的服务时间仍服从原负指数分布
证 :令 h代表服务时间 , t0 代 表 服 务 已 过 去 的 时,间 则服务剩余时间为 h t0 , 它 的 分 布 函 数 为 P h t0 t h t0 P h t t0 h t0
– 状态转移是一步一步发生的，一步状态转移概率
Pij(t)=P{Xn+1=j| Xn=i}
例
一售货员出售两种商品A和B，每日工作 8 小时。购买每种商品 的顾客到达过程为波松分布，到达率分别为 A=8人/日， B=16 人/日，试求：(1) 1小时内来到顾客总数为 3 人的概率；(2) 三个 顾客全是购买B类商品的概率。 解：(1)总到达率为 A+ B=24人/日，1 小时=1/8 日，故
排队长度的决定因素:
1,前来接受服务的顾客的到达速度; 2,一台服务器为一个顾客服务的时间; 3,服务器的个数.
排队系统的形式:
单服务台,多服务台(串联,并联);顾客一个一个到达或成批到达; 顾客随机到达或有规律到达;服务时间是随机的或固定的;先到先服务 或先到后服务等.
概述 • 排队系统的特征： 排队系统又称随机 服务系统
• 另有两个边界方程
j 1, 2, , n 1
p0 ( t t ) p1 ( t ) 1t p0 ( t )(1 0 t ) o( t ) pn ( t t ) pn1 ( t )n1t pn ( t )(1 n t ) o( t )
0t
0
• 根据马氏链，应用全概率公式，有状态转移概率方程
1t
1t jt 1 ... j1 jt jt
jt
j j+1
nt ... n nt
jt
p j ( t t ) p j 1 ( t ) j 1 t p j 1 ( t ) j 1 t p j ( t )(1 j t j t ) o( t )