自旋轨道耦合的推导

课程作业

题目: 自旋轨道耦合的推导

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2014年11月8号

摘要：本文通过计算电子的进动动能得出自旋轨道耦合公式，并对课本中∆E ls=1

这个模糊的问题提出看法。

2

关键字:自旋-轨道耦合能；托马斯进动；

目录

1引言 (4)

2关于课本推导的讨论 (4)

3自旋同轨道相互作用推导 (5)

4参考文献 (7)

1 引言

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型（shell model）能级的位移。本文根据环形电流公式计算有效磁场来推导相互作用的公式。

2 关于课本推导的讨论

在原子物理学课本中130-131面对相互作用公式进行了推导。推导思路是这样。电子的自旋轨道耦合能一般都根据电磁学理论得出。如图1设原子磁矩与磁场之间的夹角是θ。则原子受力矩

使转向的方向，使θ减小。若θ增加dθ，做功

力矩作功dA等于势能W的减小,

选取θ=π

2

,W=0则具有磁矩的原子在磁场中具有能量

由此得出, 自旋磁矩为s的电子在磁场中所具有的能量

但是电子磁矩是由于它具有轨道角动量。电子磁矩在磁场中受力矩作用不是使磁矩转向磁场方向, 而是使电子的角动量绕磁场方向作拉摩尔进动, 使电子的动能发生变化。这和磁性物体在磁场中具有势能的机制有根本区别。另外考虑到参照系问题。一般选取实验室坐标系, 在这里就是原子核或原子实, 严格来说应是质心坐标系。但从原子核坐标系来看, 电子处只有静电场而无磁场, 所以无法用上式来计算∆E ls。

为了解决存在问题, 一般认为上式中的是在电子坐标系中所观察到的磁场, 也就是电子感受到由于其轨道运动产生的磁场, 即原子核绕电子运动所产生的磁场。然后考虑到电子绕原子核旋转, 有一个加速度, 因此电子坐标系相对于原子核坐标系有一个托马斯进动。由此可推得, 原子核坐标系中观察到的

电子处的磁场（等效磁场）应为应为1

2

。但这仍和原子核坐标系中在电子

处只观察到静电场的事实相矛盾。有的认为, 由于“ 原子核和电子坐标系之间有个相对论时间差, 并依此修正。或笼统指出, 按相对论处理, ∆E ls的值是上

式的1

2

这就造成的理解的困难。另外根据参考文献四课本中的推导仍然有不严

谨的地方。所以下边用的是另外一种推导方法。

3 自旋同轨道相互作用推导

计算电子作拉摩尔进动所引起的动能变化, 再由原子核坐标系中所观察到的电子的进动角速度, 最后给出自旋—轨道耦合能的计算式。

如图所示，电子绕原子核运动, 轨道角动量为，磁矩为。电子绕核运动的动能为

在磁场中受力矩

作用, 使绕作拉摩尔进动, 进动角速度

方向与一致。设与间的夹角为α，把分成两个分量：方向的分量，它和电子的轨道角速度φ同向或反向。使电子沿轨道方向的角速

度增加（或减小）ωcosα。垂直于的分量。设电子至OA的距离

为d，该分量使电子获得垂直于轨道平面的线速度。在这种情况下电子具有的动能为

由于进动, 电子的动能增量

由于在一般磁场中, 进动角速度比轨道运动角速度小得多，所以等式右边的第

二、第三项和第一项相比可以略去。有

为电子的轨道角动量, P φ=mr 2

φ 。

推广用于自旋角动量, 可得电子自旋角动量作拉摩尔进动的动能，即自旋

—轨道耦合能为

式中

为电子的自旋角动量。下面计算电子的进动角速度

。如图, 电子绕原

子实运动,Z ∗为原子实的有效电荷数(对原子核, Z ∗=

Z ) 。对电子坐标系来说, 原子实绕电子运动, 在电子处

产生一个磁场

。原子实相对于电子的速度为, 和电子

绕原子实运动的速度大小相等, 方向相反。由毕奥—萨伐尔定律得

为电子的轨道角动量。

电子的自旋角动量在该场中的拉摩尔进动角速度为

由于电子绕原子实运动, 有一个加速度

在原子实坐标系中将观察到电子坐标

系的坐标轴会发生进动托马斯进动, 由有关文献可知, 其角速度为

ωT

=

12C 2

aνcosβ

•

e

Z *

e -r v

αH

m

这样, 在原子实坐标系中观察到电子的进动角速度为

把上式代入得

从上面推导可以看出, 在原子实坐标系看来, 由于电子具有加速度, 引起电子

坐标系的进动, 使电子的进动角速度减少到原来的1

2

，而不是磁场变为1

2

（磁

场始终为零）。

根据量子力学知识

最后得到电子的自旋—轨道耦合能的计算为

其中为精细结构常数, 为里德伯常数。

5 参考文献

[1] 段炎平.自旋一轨道祸合表达式的推导[J]，苏州教育学院学报,1991,3

[2]褚圣麟.原子物理学[M]，高等教育出版社

[3]吴榕生. 用公式ESI=S.W推导自旋—轨道耦合能[J]，大学物理，1992，11

（11）：31-32.

[4]向智健.电子自旋一轨道耦合能量算符[J]，自然科学报，1988，2.