第九章质点动力学的基本方程

动力学/质点动力学基本方程 第二定律 质点的质量和加速度的大小的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第二定律公式
maF
——质点动力学的基本方程
国际单位：质量的单位为kg，加速度的单位为m/s2，力的单位为N（牛顿），且 1N =1kg×1m/s2。
动力学/质点动力学基本方程 几点说明：
——积分问题
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； ⑤ 求解未知量。
动力学/质点动力学基本方程 注意：积分应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度的函数时 如力是位置的函数时
——可直接分离变量积分
dv dv ds v dv dt ds dt ds
（1） 适用范围：惯性系，一般将固连于地面的坐标系 或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系。
（2） 为合外力 F
（3）矢量微分方程
（4）以牛顿三定律为基础的力学为古典力学
maF
第三定律——作用与反作用定律
两物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一条直线，并同时分别作用在两个物 体上。
v v0mxvdvx
R xmx2g2R dx
则在任意位置时的速度
v (v022gR)2gxR2
动力学/质点动力学基本方程
v (v202gR)2gR2 x
v 2gR 可见，v 随着 x 的增加而减小。若
，则在某一位置x=R+H
时速度将减小到零，火箭回落。若
2
时，无论x多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去0不返 时（
y 0
m ymgcy
y
v
M
R
P
x
O
动力学/质点动力学基本方程 （2）下降阶段
受力分析：重力 P 、阻力 R
则沿y轴的质点运动微分方程
my P R my mg c y
y 0
m ymgcy
因此，对于整个上升，下降过程质点的运动微分方程为
m ym gcy
初始条件为：
t 0: y 0, y v0
d2s
mamdt2 F
a
man mv2 Fn
0Fb
——质点弧坐标形式的运动微分方程
τb
F n
m
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标形式，柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
动力学/质点动力学基本方程 §9-3 质点动力学的两类基本问题
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力
mx Psint
x
或
mdv Psint
O
x
F
dt
上式可分离变量积分，由运动的初始条件确定积分的 下限，即有：
动力学/质点动力学基本方程
v
t
m d v Psintdt
v0
0
得：
m vm0v P(c ots1)
dx dt
vv0m P(1cost)
再次分离变量积分， 有
x
t
tP
x 0d x0v0 d t0m(1cot)d st
G
T Tmax
② Tmax 称为动拉力，由两部分组成，一部分等于 物体重量，称为静拉力，另一部分由加速度引起，
称为附加动拉力。
动力学/质点动力学基本方程 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象； ② 正确进行受力分析，画出受力图； （判断力是什么性质的力，对变力建立力的表达式） ③ 正确进行运动分析； (除分析质点的运动特征外，还要确定其运动初始条件）
例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁 作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。 突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动。求钢丝绳的最大拉力。
解： ①选重物为研究对象
②受力分析如图所示
③运动分析，沿以O为圆 心，l 为半径的圆弧摆动。
n
T
v
G
④列出自然形式的质点运动微分方程
F
f
mM x2
mg f
mM R2
F
mgR2 x2
质点沿x轴的运动微分方程为：
dx2 mgR2 mdt2 x2
动力学/质点动力学基本方程
即：
mdvx mgR2
dt
x2
dvx dv x dx v xdv x dt dx dt dx
mvx ddvxx mxg2 2R
用分离变量积分，初始条件：
(t0:xR ,vxv0)
第九章质点动力学的基本方程
1
2、动力学的基本问题 大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：
已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
3、动力学的主要内容
第九章 第十章 第十一章 第十二章 第十三章 第十四章
——先进行变量置换 ——再分离变量积分
动力学/质点动力学基本方程
例2 一质量为m的质点M，以 从地面往上抛，空气阻力
件。
Rcv
v 。试建立质点的运动微分方程，并写出初始条 0
解： （1）上升阶段
受力分析：
重力 P 、阻力 R
建立如图坐标系，
则沿y轴的质点运动微分方程
my P R 即 my mg c y
解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象； （一般选择联系已知量和待求量的质点） ②正确进行受力分析,注意主动力和约束反力，画出受力图； （应在一般位置上进行分析)
——微分问题
③ 正确进行运动分析；
（分析质点运动的特征量）
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程； ⑤ 求解未知量。
（建立坐标系）
动力学/质点动力学基本方程
质点动力学的基本方程 动量定理 动量矩定理 动能定理 达朗贝尔原理 虚位移原理(简介）
动力学/质点动力学基本方程 第九章 质点动力学的基本方程
动力学/质点动力学基本方程 §9-1 动力学的基本定律
——牛顿三定律
第一定律——惯性定律
任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。质量为物体惯性的度量。
）的最小初速度
v02 2gR
x
v0 2gR 29.81036370
11.2 (km/s) ——第二宇宙速度
动力学/质点动力学基本方程
课后作业:
9—2 9—3 9—11 9—12
谢谢
y R
v
M
P
x
O
动力学/质点动力学基本方程
例3：在简谐力作用下质点沿直线的运动。
质量为m的质点在已知力
作用下沿轴运动，设
时， ，
FPsi nt
t 0 x x0 v v0
本题为已知力是时间函数求质点运动规律的问题。
解：
质点在任意位置的受力分析如图
，求质点的运动规律。
质点沿 x 轴的运动微分方程为：
得： xx0(v0m P )tm P 2si n t
动力学/质点动力学基本方程
xx0(v0m P )tm P 2sin t
动力学/质点动力学基本方程 例4： 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解： 这是已知力是位置函数的第二类问题。 取火箭（质点）为研究对象。
建立坐标系如图示，火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
ma F
G g
dv dt
Gsin
动力学/质点动力学基本方程
ma F Gdv Gsin (1) g dt
mna
Fn G g
v2 l
TGcos( 2 )
n
T
v
⑤求解未知量
由(2)式得
TG(cos v2 )
gl
由(1)式知，重物作减速运动故
0:
[注]
Tmax
G(1
v02 ) gl
① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或增加绳长。
动力学/质点动力学基本方程
§9-2 质点的运动微分方程
将动力学基本方程
表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。 Fma
矢量形式
mrF
——为质点矢量形式的运动微分方程
1.直角坐标上的投影
mxX myY
——质点直角坐标形式的运动微分方程
mzZ
动力学/wk.baidu.com点动力学基本方程
2.自然轴上的投影
（+）