测量误差及其处理的基本知识.

第5章

测量误差及其处理的基本知识

学习重点：测量误差的分类和偶然误差的性质、评定精度的指标、算术平均值及其中误差的计算。

5.1测量误差概述

5.1.1测量误差的来源与分类

一、 观测值及其误差

测量获得的数据称为观测值，观测值i L 与真值X 之差即为观测值的真误差i ∆：

i ∆＝i L －X (i =1、2、3．．．n )

(5-1)

二、 测量误差的来源

产生测量误差的来源有以下三个方面： (1) 仪器性能的限制； (2) 观测者本身的限制； (3) 外界条件的影响。 三、测量误差的分类

根据对测量成果影响的性质，可将误差分为以下两类： (一)系统误差

系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。只要采取恰当的方法就可以将系统误差的影响予以消除。

（二）偶然误差

偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。偶然误差总是不可避免地存在于观测值中。

5.1.2偶然误差的特性

偶然误差具有以下特性：

1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；

2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；

3.绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等；

4.当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即

5.2 评定精度的指标

测量中最常用的评定精度的指标是中误差。 一、 中误差

设在相同条件下，对真值为X 的量作n 次观测，每次观测值为i L ，其真误差i ∆：

i ∆＝i L －X (i =1，2，3．．．n )

(5-5)

则中误差m 的定义公式为

m = []n

∆∆±

(5-6)

在使用中误差评定观测值的精度时，需要注意以下几点： (1) 观测值的精度必须相等，且个数较多。

(2) 依据(5-6)式计算的中误差，代表一组等精度观测中每一个观测值的精度。 (3) 中误差数值前应冠以“±”号。

例如，有甲、乙两组各含10个观测值，其真误差分别为

甲组： +3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1

乙组：

0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1

则依据(5-6)可计算两组观测值的中误差分别为：

7.210)

1323402423(222222222±=+++++++++±=甲m

6.310

)

1308112710(22222222±=+++++++++±=乙m

即知，甲乙两组中每个观测值的精度可分别以7.2±和6.3±表示，而同一组中真误差的差异，只是偶然误差的反映。由于乙甲m m <，所以，甲组观测值较乙组观测值的精度高。 二、 容许误差

通常规定以两倍(要求较严)或三倍(要求较宽)中误差作为偶然误差的容许误差或限差，即

限∆＝2~3m

(5-9)

三、 相对误差

相对误差就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）相除，再将分子化为1，分母取其整数后的比值(常以K 表示)，如下式所示。

K =

|

|/1

||m D D m = （5-10）

一般当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，适于采用相对误差作为衡量

观测值精度的标准，例如距离测量。

５．３观测值函数的中误差

表述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。 ５．３．１误差传播定律

（一） 倍数函数 设有函数

Z = kx

(5-11) 已知x 之中误差为x m ，Z 之中误差Z m 为：

Z m ＝x m k ⋅±

(5-12)

例5-1在1:1000比例尺地形图上，量得A 、B 两点间的距离AB d =134.6mm ，其中误差AB d m ＝±0.2mm ，求A 、B 两点间的实地距离AB D 及其中误差AB D m 。

解： AB AB d D ⨯=1000=1000⨯134.6=134600mm=134.6m ±=⋅±=AB AB d D m m 10001000⨯0.2=±200mm=±0.2m 则A 、B 两点间的实地距离可表达为 AB D =134.6m ±0.2m （二） 和差函数

设有函数

=Z y x ±

(5-13)

已知x 、y 之中误差分别为x m 、y m ， Z 之中误差Z m 为：

2

2y x Z m m m +±=

(5-14)

例5-2 设对某三角形观测了其中a 、b 两个角，测角中误差分别为3.4''±=a m ，

4.5''±=b m ，求按公式b a c --=ο180 计算的第三角c 的中误差c m 。

解： 9.64.53.42

2

2

2

''±=+±=+±=b a c m m m

（三）线性函数

设Z 是一组独立观测值1x 、2x ．．．n x 之线性函数(1k 、2k ．．．n k 为常数)，即

Z =n n x k x k x k x k ±±±± (332211)

(5-15)

将根据观测值的中误差1x m 、2x m 、

3x m ．．．xn m 求得函数z 的中误差Z m 为

2

2232322222121xn n x x x Z m k ．．．m k m k m k m ++++±=

(5-16)

例5-3 自A 点经B 点至C 点进行支水准往返测量（图5-4），设各段往返所测高差及其中

误差分别为

往测：AB h =+2.426m ±4mm BC h =－1.574m ±6mm 返测：CB h =+1.562m ±6mm BA h =－2.440m ±4mm

求A 点至C 点间的高差AC h 及其中误差AC h m 。

解： AC h =

=+-+2)

562.1574.1(2)440.2426.2(+0.865m

1.5188)66(4

1

)44(412222±=+±=+++±=AC h m mm A 点至C 点间的实测高差可表达为AC h =+0.865m ±5.1mm

（四） 非线性函数

非线性函数即一般函数，其形式为

1(x f Z =，2x ……n x )

(5-17)

式中i x (i =1、2……n )为独立观测值，已知其中误差为xi m (i =1、2……n )，Z 之

中误差Z m 为。

2

2222221)(......)()(

21n x n

x x Z m x f m x f m x f m ∂∂++∂∂+∂∂±= (5-18)

式中，

i

x f

∂∂(i =1、2……n )是函数对各变量所取的偏导数

例5-4 已测A ~B 点间的平距D =184.62m ±5cm ，方位角α=020422146''±'''ο

，求A ~B 点坐标增量x ∆及其中误差x m ∆。 解 A ~B 点坐标增量y x 、∆∆：

0422146cos 62.184cos '''⨯=⋅=∆οαD x =－153.73m

先以x ∆分别对D 和α求偏导数：