关于任意角的三等分问题
千古谜题--伽罗瓦的解答.
求方程根的问题！
（1）三等分任意角:设已知某角的角度为 3，得cos(3 ) a
则 cos(3 ) 4cos 3 3cos a 令 cos x
即问题转化为解方程： 4 x3 3 x a（, a为已知数）
（2）倍立方
x3 2
x3 2
（3）化圆为方
x2
x
花拉子米
早在古巴比伦时代,人们已经 掌握了解一次、二次方程的方法：
公元９世纪
“代数学”algebra） 这个词来源于花拉 子米所著的一本书
系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式
悲观派 乐天派
1494年,意大利数学家 帕西奥利
根本不可能
意大利波伦大学 教授费罗
x3 + mx n
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
• 一位颇受欢迎的医生
• 哲学家和数学家， • 占星术家
塔尔塔利亚
卡尔达诺
撰写代数著作《大术》
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将三次方程解 的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起。
ax2 + bx + c 0(a 0)
a( x + b )2 + 4ac b2 0
群的概念：
设G是一个集合，集合内的元素之间可以定义一个二元运算﹡
如果G满足如下的四条性质：
（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合
（2）（结合性）运算满足结合律，即 (a b) c a (b c)
e （3）（存在单位元）集合中存在单位元 ，对集合中任意元素 a
满足 ea ae a
用x 系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算
关于任意角的三等分问题
关于任意角的三等问题数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012007016 张成娇【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；一、前言《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.二、关于任意三等分角的历史在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否:①将一个给定角三等分?②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题.其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849- 1925) 总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题.三、用数域扩充的方法证明对于任意角不能三等分证明有许多的方法，如：1801年数学家高斯的证明方法：作圆的n 等分，当n 满足如下特征j1k km 1jn=2p p 其中，m 为非负整数，1p 、2p 、j p 为互不相同的费马素数（前5个费马素数为3,5,17,257,65537），i k 01i j = 或（=1、2、、）才可三等分角360n︒.在此主要是考虑到中学生的数学知识水平以及课程标准中对数域的要求，因而用采用数域扩充的方法来证明.1.预备知识(1)尺规作图的公法:①从任意一点到另一点,可作一直线;②任意有限长的线段,可顺着延长;③ 由一已知点及定距离,可作一个圆(说明的是圆规的用法).(2)可构作的概念: 经过平面上的两点，用直尺可以画一直线；经过一点用圆规可以画一个半径等于给定线段的圆，直线与直线、直线与圆和圆与圆都可能相交，这样的交点称为是用尺规可以构作的点，若交点在数轴上，也称对应的长度(实数)是可以构作的. (3)相关定理、概念定理1 设F 是R 的一个子域，则实数a 可由F 构作的充要条件是存在R 的子域链，使得0F F =，a F ∈ 且i i+1[F :F ]=2, i=12n 、、、. 推论2 设F 是R 的一个子域， a R ∈，如果a 可由F 构作，则必存在整数r ≥0，使得[F(a):F]=2r.定理3 设θ是一个角，另cos a θ=，则角θ可用尺规三等分的充要条件是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈，在()[]Q a x 中是可约的．2.证明证: 设θ是一个经过原点以x 轴为一条边的角，过原点作一半径为1的圆，圆与角的另一条边的交点的横坐标为cos θ∴ 角θ可构作的充要条件是实数cos θ可构作令3θϕ=,cos a θ=,2cos b ϕ=，则问题化为能否由()Q a 构作b有三倍角公式: 3cos 4cos 3cos θϕϕ=-∴ b 是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈的一个根假设()f x 在()[]Q a x 中可约,则由于b 是()f x 的根,而()f x 是3次的,所以()b Q a ∈或是()Q a 上的一个二次不可约多项式的根.若是前者,显然b 可以由()Q a 构作;若是后者, 则有[()():()]2Q a b Q a =,于是b 是可以由()Q a 构作的∴ 当()f x 在()[]Q a x 中可约时, b 可以由()Q a 构作的,从而θ可构作假设()f x 在()[]Q a x 中不可约,则()f x 就是b 在()Q a 上的极小多项式,从而有[()():()]3Q a b Q a =∴ b 不可由()Q a 构作,即θ不可构作 ∴ 三等分任意角是不可能的3.举例说明例如,角3π是不能用尺规三等分的,因为此时12a =,3()31f x x x =--在[]Q x 中不可约四、可三等分的特殊角用尺规将三等分一个任意角是不可能的, 但对于一些特殊角则可以利用尺规三等分，例说如下：1. 180︒可以三等分简析：根据上述的证明过程，因为此时cos 1a θ==-,32()32(1)(2)f x x x x x x =-+=-+-在[]Q x 中可约,从而可三等分.这时把一平角三等分，每一份的度数是60︒而等边三角形的每一内角是60︒，故可以利用作等边三角形的方法把平角三等分．作法:（1）如图1，A O B ∠为平角，分别在角的两边O A 、O B 上取两点C D 、. (2)分别以O O C D 、为边,作两个等边三角形(E C O FD O ∆∆、).则O E O F 、为平角A O B ∠的三等分线,即O E O F 、把平角A O B ∠三等分.2. 45︒角三等分简析: 因为把一个45︒的角三等分,每一份是15︒,而15︒恰好是30︒的一半，或者是604515︒-︒=︒，故仍可采用先作等边三角形的方法把45︒的角三等分.作法:(1)如图2, 45A O B ∠=︒.在O A 上任取一点C,以O C 为边,在A O B ∠内部作等边三角形O C D ∆.(2)作D A O ∠的平分线OE. (3)作E A O ∠的平分线OF. 则OE 、OF 把45︒的A O B ∠三等分3. 90︒角三等分简析: 根据上述的证明过程，因为此时cos 0a θ==, 32()3(3)f x x x x x =-=-在[]Q x 中可约,从而可三等分.此时把一直角三等分,每一份的度数是30︒,而906030︒-︒=︒,可用作等边三角形的方法把直角三等分.4. 还有135︒、36︒等可转化为形如180n ︒(n不为3的倍数, *n N∈)的角都可以三等分.此为俄国数学家罗巴切夫斯基经过多年努力得到的结论.因此根据这个结论也可以得到60︒、120︒等是不可三等分的.五、在高中数学教学中的研究课题现今的教育要求丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学追求的基本理念.独立自主、自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式.随着三等分角这部分内容进入高中数学课程，这使得三等分角成为一个很好的研究课题.下面简述两个.1. 在已有的数学知识水平上开展研究性学习比如参考文献[5]中对三等分角的研究，该文中作者在学生学了二倍角公式并逆用二倍角公式推得半角公式后，让学生推导三倍角公式.利用三倍角公式，从特殊的60︒角的三等分角20︒的可作性来尝试三等分角的问题．作者将课题分为4步：探索1 能否用尺规三等分60︒角?探索2 在0︒～180︒的几个特殊角中有哪些是可三等分?哪些是不可三等分?探索3 探索0︒～180︒的几个特殊角中可三等分角与不可三等分角的特点，能得出什么结论?探索4 证明形如180()kk N︒∈形式的角中，若k是3的倍数，则不可以三等分；否则就可以三等分．通过对三等分角的研究，让学生体会了其中蕴含的数学思想方法，从一般到特殊，再从特殊到一般，提高了分析问题和解决问题的能力．同时通过以上四个探索，可使同学们感到“三等分角”问题不再是那么的神秘、高不可攀，更不会再在三等分任意角的问题上作徒劳的努力．2. 将“三等分角问题”与数学实验相结合参考文献[6]一文中,作者试着从三等分角问题出发，在前人研究的基础上，结合自己的想法，设计了一个三等分角演示仪. 作者通过五个步骤:步骤1 研读课标,确定研究题目;步骤2搜寻课题的有关资料和研究现状;步骤3 确定研究题目的基本原理;步骤4 认真分析并解决遇到的问题;步骤5 动手操作设计三等分角演示仪;在进行实验的过程中,不仅了解了三等分角的相关知识,并将三等分角应用于数学实验中,激发了学生的学习兴趣和强烈的动手制作愿望，而且能使学生在学会知识的同时，掌握分析问题，解决问题的方法.既促进了学生自身的发展，也带动了数学实验的发展.六、结束语任意角的三等分问题是几何作图三大问题之一，并且在课改中，《三等分角与数域扩充》成为了高中数学选修系列3的一部分内容.选修系列3的内容相对新颖前沿，反映了某些重要的数学思想，并且具有一定的挑战性.可见对该问题的学习有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值，文化价值，应用价值的认识，并且在培养学生的思维能力，数学素养等方面有着重要作用.参考文献[1]王忠华.用尺规作图不可能三等分任意角[J].数学通讯，2001年第19期[2]曹亮吉.三等分任意角可能吗?[J].科学月刊，1978年第4期[3王美香.高中《三等分角与属于扩充》的数学探讨[J].中学数学杂志，2009年第7期[4]侯国兴.尺规作图三等分角[J].今日中学生，上旬版，2007年第12期[5]楼许静.我把嫦娥请下凡——一堂三等分角的研究课[J].高中数学教与学，2008年第6期[6]田晓娟.从“三等分角问题”浅谈数学实验[J].科学教育，2008年第3期[7]郭熙汉.数学知识探源[M].武汉:湖北教育出版社,1999[8]唐忠明.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2005。
任意锐角的三等分
任意锐角的三等分【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）.实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只能以近似的方式来解决•比如，以a为直径作一个圆，会容易做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）.求解：三等分a .一、作图（参照图2）（1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取OA=AA2=A2A3.（2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB同圆半径），以O 为圆心，以OA2 为半径，作A2B2 ，此时OA2=OB2 （同圆半径），以O 为圆心，以OA3 为半径，作A3B3 ，此时OA3=OB3 （同圆半径）.（3）作/ a的平分线OP.①以A3 为圆心，以OA3 为半径作弧lA ；②以B3 为圆心，以OA3 为半径作弧lB ，交lA 于P；③连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于C3，此时，/ xOP= / POy= / AOC= / COB= / A2OC2= / C2OB2= / A3OC3= / C3OB3.•••同一圆内等角对等弧，••• AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2 ，连接A3W3 ，V3B3.（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3 （同圆半径），贝y OW3 , OV3 三等分/ a ,即/ A3OW3= / W3OV3= /V3OB3.二、证明1.作辅助图（参照图3）.( 1)连接A3V3 交OW3 于KW.(2)以OKW为直径作O R.①以OKW 为半径，以O为圆心作弧101 ,102，以OKW 为半径，以KW为圆心作弧IK1交101于M，作弧IK2交102 于N.②连接MN交OKW 于R,则MN是OKW 的垂直平分线，R 是垂足.••• 0W3是OKW 所在的直线段，•••0W3丄MN.③以R为圆心，以RO (=RKW )为半径，作O R,交MN 于m, n,交0A3 于O, a,交0W3 于0, KW，交0V3 于0, E,交0B3 于O, b,交A3V3 于KW , KW 是A3V3 与O R 的唯一公共点.2.证明.(1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知：O R交A3V3于KW，即KW 是A3V3与O R的唯一公共点.根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点, 可以得出结论：A3V3是O R的一条切线；另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可以得出结论：A3V3丄RKW. v 0W3是RKW 所在的直？段，••• A3V3丄0W3 , KW 是垂足.（2）在Rt △ OKWA3 与Rt △ OKWV3 中，•/ A3V3 丄OW3 , •••/ OKWA3= / OKWV3=90 ° ,v 同圆半径，OA3=OV3 , OKW 为共有直角边，根据HL定理，Rt△ OKWA3 ◎ Rt△ OKWV3.〔•对应边相等，. A3KW=KWV3.（3）在Rt△ W3KWA3 与Rt△ W3KWV3 中，T A3V3 丄OW3 ,•••/ W3KWA3= / W3KWV3=90。
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。
教学反思关于“任意角的三等分的尺规作法”的讨论
关于“任意角的三等分的尺规作法”的讨论（作法与证明的要点与思路，不符合严格的论述要求）这是一个古老而有趣的问题，距今约有三千多年了，是古希腊的传说中留下的几何问题(即:圆画方、倍立方、任意角的三等分)之一。
这里我就介绍一下解题的思路与要点，很高兴能与大家分享。
第一部分:解说原理(如图1)一，取任意直线L1、L2，相交于A点，取直线L6线为A角的角平分线二，在直线L6上取任意点O，以点O为圆心，作O圆，要求与直线L1、L2相切，三，在直线L2上取任意点D（很有意思的点）, 过点D，作O圆的切线L3，交直线L1于点H四，连接点D、点O为L4线并两端延长，交L1线为点E，过点E作O圆的切线L8 ，交直线L3于点F,交直线L6为点K五，连接点F、点O作直线L5，交直线L1于点G（很有意思的点），过点G作O圆的切线L7，交直线L3于点C,六，连接点C、点O作直线L9, 交直线L8为点J(如图分析) 1，可以将图变换成三角形ABC，点O就是三角形ABC的内接圆的圆心，直线AO与直线CO是角平分线（点O圆、点A、点C是唯一的），直线AH不是角CAD的角平分线。
2，角3＝角1＋角2＝角5＋角4 因为直线CH不等于直线HE（误差是点H到O 圆的切线距离），所以三角形ACH不全等于三角形HEF, 所以角1不等于角4，角2不等于角5。
（图中的点m、点n是修正角1与角2的）3，图中的三个圆点，是角AOD＝角DOF＝角FOJ 角AOJ=角AOD+角DOF+角FOJ 角AOJ＝角OAC+角ACO, 那么角AOD、角DOF、角FOJ就是角AOJ的三等分角，可以看作是角OAC+角ACO的三等分角（证明简单）4，“任意角的三等分的尺规作法”是否可以这样解决：将一个任意角分成两个任意角，合并在一个三角形里，用上述的方法解决？（举例来说，我们要将数字30分成相等的三份，是10，分成相等的六份是5，那么至于5＝1＋4＝2＋3，那是另外的事）5，上述的是作法的原理，但是要完成“任意角的三等分的尺规作法”，必须是可逆的，必须满足上述的极为严格的要求。
三等分角
题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。
下面我们就有请徐超先生。
徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。
在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。
那么我从历史讲起。
三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。
先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。
什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。
那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
三等分角的问题
三等分角的问题一、研究动机：古代数学几何作图有三大难题，一是化圆为方，一是倍立方体，另一个则是三等分角，其中又以三等分角看起来最为容易。
可是这三大难题难倒了数学家好几个世纪，现代数学证明了用几何原本所规定的标尺作图法，是无法解出这三道难题，但是如果不限于标尺作图的话，是否可以把这三道问题解决呢？于是便开始了我们的研究路程。
二、研究目的：在这三道问题中，我们选择三等分角来进行研究。
三等分角顾名思义是把一个任意角分成三个相等的角，虽然有些特殊角很容易，比如直角，但其他的角度就无法适用。
现在我们利用所有可以采用的工具来作图，以便把我们想要的角分成三个等分，其中包括我们常用可以量刻度的直尺和圆规。
三、研究设备器材：直尺、圆规、三角板、木板、雕刻刀四、研究过程或方法：我们分三个方向来进行：1.拜近来科技的发达，透过因特网，寻找所有别人已经发现三等分角的方法，再重新整理一遍。
2.利用学校及附近的图书馆，找寻有关于三等分角的几何书籍，以资参考。
3.将国中所教到的几何观念以及所找到的数据，做出三等分角的方法。
最后将所有找到以及做出的八种方法详细整理与证明。
五、研究结果：这次研究总共找出了八种将一个角分成三分之一的方法，兹将这八种方法详列如后：∫是任意數1.标度尺(一)在一根直尺上，标出P、R两点，两点间距离是2∫，在∠AOB的一边上截取一点B，使OB =2∫，再从OB的中点C做两条直线，一线垂直OA，另一线则平行OA，移动尺使O 点在尺的边上，而P 、R 两点分别在所做的垂直及并行线上，沿着尺画线，就可把角AOB 三等分。
证明:以M 表PR 的中点，则∵∠PCR 为直角 ∴OC MC MR PM ====∫ ∵CR 平行OA∴∠AOR =∠MRC = ∠MCR = 21∠PMC =21∠MOC ∴∠AOR =31∠AOB2.标度尺(二)做一半圆，圆心O ，A 、B 在圆周上，使得∠AOB 为圆心角，在直尺上标记P 、R 两点，距离与半径等长，现移动直尺，让P 、R 分别落在BO 及圆周上，而A 在直尺边上，则∠RPO =31∠AOB证明：A BOC PRMBAPRO∠RPO = ∠ROP =21∠ARO = 21∠RAO 又∠AOB = ∠RAO + ∠RPO∴ ∠RPO =31∠AOB3.三连器利用上面的方法可做出种简单的三等分角的工具，如下图：OE 、OF 、CD 代表三根木条，OE = OF ，F 可沿着CD 中的沟槽移动。
三等分任意角
三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN 设1MAN 3α∠=∠（Ⅰ）当∠MAN =690时，α∠的大小为 ▲ （度）；（Ⅱ）如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB =2.5cm ．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出α∠，并简要说明作法（不要求证明） ▲ ．2012天津市8分）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一 58 150 0.25 免费 方式二883500.19免费设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数）， 请根据表中提供的信息回答下列问题： （Ⅰ）用含有t 的式子填写下表：t ≤150150＜t ＜350t =350t ＞350方式一计费/元 58 108 方式二计费/元888888（Ⅱ）当t 为何值时，两种计费方式的费用相等；（Ⅲ）当330＜t ＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP =t ． （Ⅰ）如图①，当∠BOP =300时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ =m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．温馨提示：若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．已知直线l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D .（Ⅰ）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC ＝30°，求∠BAC 的大小； （Ⅱ）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE ＝18°，求∠BAF 的大小.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x 元，其中x ＞100.（Ⅰ）根据题意，填写下表（单位：元）：130 290 … x 在甲商场 127 … 在乙商场126…（Ⅱ）当x 取何值时，小红在甲、乙商场的实际花费相同？（Ⅲ）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际的花费少？在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，点(0,4)B ，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将AEO 沿x 轴向右平移得到A E O ''' ，连接A B BE ''、.①设AA m '=，其中02m <<，试用含m 的式子表示22A B BE ''+，并求出使22A B BE ''+取得最小值时点E '的坐标；图①图②llD EFBDCBOOAA累计购物实际花费第（22）题②当A B BE ''+取得最小值时，求点E '的坐标（直接写出结果即可）．已知一次函数1y x b =+（b 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图象相交于点()31P ，．（Ⅰ）求这两个函数的解析式；（Ⅱ）当3x >时，试判断1y 与2y 的大小，并说明理由．（22）（本小题8分）已知AB 与O ⊙相切于点C ，OA OB =，OA OB 、与O ⊙分别交于点D E 、． （Ⅰ）如图①，若O ⊙的直径为8，10AB =，求OA 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，连接CD DE 、，若四边形ODCE 为菱形，求ODOA的值___________________________．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？ 设每件商品降价x 元、每天的销售额为y 元．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，用含x 的式子填表：原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元每件售价（元） 35 34 33 … 每天销量（件）505254…（Ⅱ）（由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解）xy xy O'E'AE OAEOBBA'。
角的三等分
角的三等分历史
• 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之 宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆， 藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请 著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城 市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅 中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了 一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。 国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主 再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室， 和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是 两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为 她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有 河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了， 当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎 样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
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研 究 步 骤
而三等分则不然。弦的三等分并不 是弧的三等分（如图）
弧的三等分与线段的三等分点的连线应该不是平行的。于是我们又开始 研究弧、弦与圆心角的关系。可是他们之间并不存在，或者只有很复杂 的关系，所以并不能通过弦与圆心角来画出弧的三等分。 但是我们又想到了π。π约等于三，所以在圆上，可以粗略地把圆周三 等分（如图）
A B
这样，只要求出所求角度与360°的关系， 再把圆规的半径缩小到同一倍数，也能近似 的三等分一个角。但是，这个方法受许多限 制，比如在缩小倍数时不能保证完全精确， 使本已近似的结果误差更大。有时倍数也不 能太复杂。所以，只有特殊角的三等分可以 用这种办法的。
阿基米德三等分角的证明
阿基米德三等分角的证明阿基米德三等分角是指将一个任意角分为三个相等的角。
这个问题最早由希腊数学家阿基米德提出，并给出了一种简单而巧妙的证明方法。
本文将详细介绍这个证明过程。
问题描述设有一个任意角AOC，我们的目标是将其分为三个相等的角AOB、BOC和COA。
证明过程步骤1：作AO上的等边三角形AOB首先，我们在射线AO上作一个等边三角形AOB。
具体做法如下：1.以点A为圆心，以线段AO的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线AO交于点B。
这样，我们得到了一个等边三角形AOB。
步骤2：作OC上的等边三角形BOC接下来，我们需要在另一条射线OC上构造一个等边三角形BOC。
具体操作如下：1.以点O为圆心，以线段OC的长度为半径，画一个圆。
2.圆与射线OC交于点C。
这样，我们得到了一个等边三角形BOC。
步骤3：连接AC现在，我们需要连接点A和点C，即线段AC。
这条线段将角AOC分为两个相等的角。
步骤4：证明角BAC等于角BCA我们已经将角AOC分为两个相等的角。
接下来，我们需要证明这两个角分别与AOB和BOC的对应角相等。
首先，我们观察三角形AOB和三角形BOC。
根据等边三角形的性质，我们知道∠BAO = ∠ABO 和∠BCO = ∠BOC。
然后，我们观察△ABC。
根据直线之间的夹角性质，我们知道∠BAC + ∠ABC +∠BCA = 180°。
由于∠ABC是一个等边三角形的内角，所以∠ABC = 60°。
根据步骤1和步骤2中构造的等边三角形AOB和BOC，我们知道∠BAO = ∠ABO = ∠BCO = ∠BOC = 60°。
因此，将以上信息代入△ABC中的方程式中得到：∠BAC + 60° + ∠BCA = 180°。
简化方程式得到：∠BAC + ∠BCA = 120°。
由于∠BAC和∠BCA是两个相等的角，所以它们都为60°。
因此，我们证明了∠BAC与∠BCA相等。
解决不可能的问题---尺规作图三等分任意角
解决不可能的问题---尺规作图三等分任意⾓
介绍
三等分⾓是古希腊三⼤⼏何问题之⼀。
三等分⾓是古希腊⼏何尺规作图当中的名题，和化圆为⽅、倍⽴⽅问题被并列为古代数学的三⼤难题之⼀，⽽如今数学上已证实了这个问题⽆解。
该问题的完整叙述为：在只⽤圆规及⼀把没有刻度的直尺将⼀个给定⾓三等分。
在尺规作图（尺规作图是指⽤没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题⽆解。
若将条件放宽，例如允许使⽤有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使⽤，可以将⼀给定⾓分为三等分。
题⽬：
已知：∠ABC
求作：HB,IB平分∠ABC
众所周知，尺规作图⽆解
但在运⽤弧长转换时会有⼀些解法
基本思路：
构造3个等边三⾓形得弦相等，再得圆弧相等，最后得圆周⾓相等
solve:
1.画任意⾓∠ABC
2. 以任意长为半径，B为圆⼼作弧 交AB,BC为EF
3.作垂直平分线求线段EF中点 G
4.以EG为半径分别以E,F,G作弧交于I，H两点连BI,BH
5.∠ABH,∠HIB,∠IBC即为所求。
三等分角问题
三等分角问题
三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即用圆规与直尺把一任意角三等分。
问题的难处在于作图使用工具的限制。
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆
规。
这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。
１８３７年凡齐尔（１８１４－１８４８）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。
在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。
人们还发现，只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。
古希腊数学家阿基米德（前２８７－前２１２）发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。
现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点Ｐ，命尺端为Ｏ。
设所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移动，Ｐ点在圆周上移动，当尺通过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）。
由于ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。
这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。
尺规三等分任意角
数学学科2016学年论文“尺规三等分任意角”作法及其论证山东省聊城市茌平县振兴中学初二.15班田美辰尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题。
阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了，但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件。
几何学发展至今，虽为完备，但仍有缺憾，尺规三分角就是其一。
除一些特殊角（直角、平角和圆周角）外，至今还没有一种严格的几何方法能将任意一个角三等分。
而我们现在的教材上，只有用到直角拐尺才可完成对一个任意角的三等分。
数学先哲们曾断言定论，尺规三分角是尺规不能问题。
不才无学，但也相信科学和尊重客观事实。
在闲暇之际，偶生兴趣，突发灵感，得一妙法，可将任意角一分为三。
后附详细作法和证明。
经过长期的探究，本人发现这种方法可以对一个角进行多等分。
一、作图步骤（1）做一个任意角COD（2）用圆规截取任意长度r为半径，以O为圆心画弧。
交射线OC、OD分别与点A点B。
CAOB D（3）以A、B为圆心，在以r为半径画弧，分别交OC、OD与A＇B＇CA＇AOB B＇ D（4）以A为圆心，以2r为半径画弧，再以B＇为圆心，以r为半径画弧，二弧线相交于点C＇;同理，得到点D＇。
CA ＇D＇A C＇O B B＇（5）连接OD＇、OC＇,即可得到这个角的三等分。
CA＇ D＇A C＇O B B＇ D二、理论论证证明：将此图补充完整﹝以B为圆心，以2r为半径画圆，以C为圆心，以r为半径画圆，2圆共同交于点F；同理，得到点E；⊙A与⊙B交于点O＇⊙D与⊙B交于点G。
⊙A、⊙C交于点H﹞连接EF,发现E、G、H、F在同一直线上。
连接AO＇、 BO＇、OO＇,分别交于点J、I＇P.∵⊙A=⊙B,AO＇和BO＇分别为圆中任意半径，∴AO＇=BO＇=2r.又∵OA=OB=r∴在△AOO＇和△BOO＇中｛∴△AOO＇≌△BOO＇∴∠AOO＇=∠BOO＇即∠4＋∠1=∠2＋∠3又∵△AOO＇和△BOO＇是同底三角形，△AOO＇≌△BOO＇∴S△AOO＇=S△BOO＇又∵S四边形OJID公共∴S△OBI=S△OAL做BB＇⊥OI,AA＇⊥OJ∵S△OBI=S△OAL,OA=OB∴½×OA×AA＇=½×OB×BB＇AA＇=BB＇在Rt△OAA＇和Rt△OBB＇中｛∴Rt△OAA＇≌Rt△OBB＇∴∠3=∠4∴∠1=∠2以G为圆心，以GP为半径向EG画弧，并将EG二等分，发现都与EG交于点M∴PE∶PG=3又∵OE=OF,∠1＋∠4=∠2＋∠3∴OP⊥EF在Rt△OPG、Rt△OPE∵tan∠1=GP∶OP tan∠EOP=PE∶OP∴OP=PG∶tan∠1 OP=PE∶tan∠EOP∴PG∶tan∠1=PE∶tan∠EOP∴tan∠EOP∶tan∠1=PE∶PG=3即∠EOP∶∠1=3∴∠EOP=3∠1∵∠EOP=∠1＋∠4∴∠4＋∠1=3∠1∴∠4=2∠1又∵∠1=∠2，∠4=∠3∴∠4=∠3=∠1＋∠2即∠4=∠3=∠5.小结：自古以来，不小数学爱好者对三等分角作了大胆的尝试，但论证的途径多局限于证明其所在的三角形全等或其所在的三角形相似这两个方面。
有关三等分角的综述
有关三等分角的综述作者：孙兴波来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期三等分角是历史最为长久、流传最为广泛的一个几何作图问题.所谓三等分角问题,就是说任意给定一个角,作图工具仅限于直尺和圆规,问能不能将这个角三等分.一、简单说明三等分角是不可能的下面我们给出三等分角问题的代数方程:设已知角的三分之一为α,则已知角的为3α,我们取它的余弦(或正弦).根据平面三角学的三倍角公式有cos3α=4cos3α-3cosα.令2cos3α=m,2cosα=x,我们得到:x2-3x-m=0.容易看到,这就是三等分角问题的代数方程,这个方程的根x,一旦能用尺规作图作出来,则∠α的大小就可以用尺规作出来.然而,这个代数方程对于任意给定的已知角,它的根x并不能表示成“可作图几何量”,因此三等分角问题用尺规作图法是不能解决的.二、解决方法正是因为这个用平面解析几何无法解决,但又看似“简单”的问题,就使得许多数学家和业余数学爱好者不断地研究它,希望能够解决它.而对这个问题的研究只能沿如下两个方面进行:求近似的作图方法和借助其他的作图工具.(一)求近似的作图方法(这就要求有较高的精确度)1952年,德国画家杜勒(Albrecht.Durer)提出“三等分角”的一个近似解法:给定∠AOB,以O为圆心,OA为半径作弧得扇形OAB;在AB上取点C,使AC∶BC=2∶1;取点E,使BE=BD;点F为EC的三等分点,EF∶FC=1∶2;在圆弧上取点G,使BG=BF,则∠BOG≈13∠AOB.以∠BOG作为∠AOB的三等分角近似程度有多大呢?不妨设OA=1,∠AOB=3α,则AB=2sin32α,AC=23AB,BC=13AB.故AC•BC=29AB2=89sin232α.延长DC交圆O于D′,则CD′=CD+2cos32α.由圆幂定理得CD•CD′=AC•BC,即CD(CD+2cos32α)=89sin232α.CD=cos232α+89sin232α-cos32α.=43sin232α+2cos232α-2cos32αcos232α+89sin232α.BG=BF=BC+23CE=BC+23(BE-BC)=13BC+23BE.设∠BOG=β,则sinβ2=BG/2=BC/6+BE/3-23sin232a-2cos3a21-三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大.但是,对于60度角大约只差1″,对于90度角大约只差18″.(二)突破作图工具的限制,借助其他的作图工具1.用新的思想方法(1)尼科梅德斯的蚌线构造一条蚌线要从一条直线L和一点P开始.过P画射线与L相交.在每条这样的射线上,以L为界向外截出一段固定的长度a并取点.那么这些点的轨迹便形成蚌线.蚌线的极坐标方程是:r=a+bsecθ.三等分已知角P可采用如下办法:取∠P为直角三角形△QPR的一个锐角.以P为极点,QR 为固定线L画一条蚌线,使得它由L向外截出的固定长度等于斜边长PQ的两倍2h.过R点作RS⊥QR并交蚌线于S点.现∠QPT即为∠QPR的三分之一(T为PS与QR的交点).证明:令M为TS的中点,则RM=h,这是因为△SRT为直角三角形,其斜边中点到各顶点等距离.现因MS=MR=h,所以∠1=∠2=k°.而∠3是△SMR的一个外角,从而∠3=2k°.又因MR=PR=h,又有∠3=∠4=2k°.∵PQ与RS共面,且同垂直于QR,∴PQ∥RS.∴∠2=∠5=k°.这样一来,∠QPR=3k°,而13∠QPR=k°=∠5.由此,∠QPR被三等分.(2)希皮亚斯(Hippias,约公元前5世纪)的割圆曲线设ABCD是正方形,弧BED是以A为圆心的四分之一圆弧,如果圆的半径从AB位置,同时以匀速绕A转动到AD,同时直线BC也以匀速向AD位置作平行移动,转动的半径和作平行移动的直线最终都同时和AD相重合.它们的交点的轨迹(如图中的曲线BFNG)就称为割圆曲线.它显然有以下性质:∠BAD∠EAD=它的极坐标方程为:r=2θa/(πsinθ)(a为正方形的边长).设已知角为∠DAX,以顶角A为圆心,在正方形ABCD内作圆弧BD,并在圆弧内作割圆曲线BFG,设AX交割圆曲线于F.将FH三等分,使PH=13FH,作PN∥AD,交割圆曲线于N,过A点作直线AN,交圆弧BD于M.又作NK垂直AD于K.因为所以即∠DAM=13∠DAX.除这两种以外还其他的很多方法.但值得注意的是希腊数学家都是从运动的观点来认识这两条曲线的.2.改变机械工具阿基米德的滑动传杆装置:假设我们要三等分的角为∠AOB,如图,延长∠AOB的边AO,令AO表示以∠AOB的顶点O 为圆心的圆的半径.∵∠AOB是△OBD的外角,∴z=y+x.同理,∠BCO是△COD的外角,∴x=y+y,即z=3y.由此,y是∠AOB大小的13,从而∠AOB已被三等分.值得注意的是,无论是新的想法,还是新的工具,他们都有一个非常重要的共同点:都是从运动的观点来考虑问题、分析问题、解决问题.这一点思想正是笛卡尔《解析几何学》的主要思想(方程与几何图形相结合起来,从运动的观点看).参考文献[1](美)T.帕帕斯著,张远南,张昶译.数学趣闻集锦[M].上海:上海教育出版社,1998.[2]张卿.妙趣横生的数学难题[M].天津:天津人民出版社,1980.11.[3]王志雄.数学美食城[M].北京:民主与建设出版社,2000.1.[4]袁小明,胡炳生,周焕山.数学思想发展简史[M].上海:上海出版社,1991.[5](美)H.伊夫斯著,欧阳绛译.数学史概论[M].太原:山西人民出版社,1986.3.(责任编辑金铃)。
剖析角三等分及解
剖析角三等分及解和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（这里用的尺是不带刻度的直尺，规是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论，我在角三等分题解中无论从理论上还是从实际尺规作图上都证明了角三等分确实有解。
下面我用第二种方法即剖析角三等分及解来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行剖析角三等分及解四种混合尺规作图达1670多次，装订成册16本，验证了这个理论是完全正确的，让角三等分无解的结论彻底破灭，並用剖析角三等分及解理论来验证角三等分理论的正确性。
剖析角三等分及解也为角的其他等分的解决打下基础，也是角尺规等分法中的一部分。
剖析角三等分及解共有四种题解，下面介绍的是其中一种。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011 4-22 和平二剖析角三等分及解（一）在角三等分题解中已证明了用尺规作图可将一任意角三等分，现在换一种思维方式将一任意角的一半已经分成三等分中的某个角进行解剖和分析，那么这个角的三个点用尺规作图能否证明可以找到吗﹖如果能证明可以找到的话，就用已被证明找到的三个点所构成的角将其任意角的一半三等分。
来验证角三等分理论的正确性。
以O点为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3析-1-1。
在A圆上作一任意圆心角为∠γ，把∠γ扩大六倍的圆心角为∠α，即：∠AOQ=∠QOI=∠IOH=∠HOW=∠WOG3=∠G3OB=1/6∠AOB=1/6∠α=∠γ.在A 圆上作∠AOD=∠AOB=∠BOC=1/3∠DOC=∠α=6∠γ,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°，这里应指出的是3∠α一定要小于平角，如果3∠α大于或等于平角时，必须将∠γ缩小偶数倍的角再扩大18倍的角小于平角为止。
连接CD交OB线上K点，交OA线上G点，连接BD交OH线上H1点。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。
纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。
然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。
找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。
用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。
但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。
很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。
直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。
但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。
一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧 ，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。
数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。
二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。
三等分角
三等分角第一种方法一，做任意角O二，以OA长为半径，做弧AB，交角O的两边于A,B两点三，连接AB，并做角AOB的角分线OP,连接OP,取OP与AB的交点为L,取弧AB与OP的交点为E四，以LA为半径，以点L为原点，做圆取与射线OP的两个交点为Z,X五，将半圆弧AXB三等分，取两个三等分点分别为M,N六，以点Z为原点，以ZA为长做弧AFB,取弧AFB与OP的交点为F注：弧AEB为原弧，弧AFB为变弧以向量OP方向为正方向（1）当角O小于90°时EF为正（2）当角O等于90°时EF为零（3）当角O大于90°时EF为负七，以EF长为长，以点Z点为一个端点，在向量ZP方向上取另一点Q八，连接QM,QN取QM,QN与弧AEB的交点分别为H,I九，连接OH,OI,则射线OH,OI即为角AOB的两个三等分线。
十，大于180°小于360°角的三等分角解法1，利用解决小于180°角的三等分角的方法将小于180°的那部分角进行三等分2，然后以OA长为长，以点H为圆心点做弧与圆O交于C点,再以C点为圆心点做弧与圆O交于点S3，同理，以OB长为长，以点I为圆心点做弧与圆O交于D点,再以D点为圆心点做弧与圆O交于点T4，连接OS,OT第二种方法：一，180°的三等分角的解法A：做法1，作一个平角O2，以点O为圆点，以OA长为半径作弧，设其与平角O的两个交点为A,B两点3，以OA长为长，分别以点A,B两点为圆点作弧，设其与这个半圆的两个交点为C,D 4，分别连接OC,OD，则射线OC,OD即为平角的两条三等分线。
B，论证1，连接AC,CD,BD2，由作法部分知AC=AO=CO，所以知三角形AOC是等边三角形，知角AOC=60°3，同理，知三角形BOD为等边三角形，所以知角BOD=60°4，∠AOC=∠BOD=60°，所以知∠COD=60°5，综上，OC,OD为平角AOB的两条三等分线二，90°角的三等分角作法A，作法：1，作一个直角O2，以OA长为半径，以点O为圆点作弧，取其与∠O的两边的交点分别为A,B两点3，作∠ AOB的角分线OP, 连接AB，取AB与OP的交点为L4，以LA长为半径，以点L为圆点作圆，取这个圆与OP的另一个交点为Q5，以LA长为长，分别以点A,B为圆点作弧，取其与半圆AQB的两个交点分别为C,D 6，连接OC,OD则OC,OD为∠AOB的两条三等分线B，论证1，连接AC,CD,BD,LC,LD2，由上文论证180°角三等分角的部分知∠ALC=∠CLD=∠BLD=60°，所以知弧AC=弧CD=弧BD3，由圆周角定理知∠ AOC=∠COD=∠BOD,所以知OC,OD为∠AOB的两条三等分线三，90°-----180°角的三等分角的作法A，作法1，作∠AOB2，以点O为圆点，以OA长为半径作弧，交∠O两边于A,B两点3，作∠AOB的角分线OP，并将OP反向延长，连接AB，取AB与OP的交点为L4，以点L为圆点，以LA长为半径作圆，分别以点A,B为圆点以LA长为半径作弧取其与弧APB的两个交点为C,D.5，连接OC,OD则OC,OD即为∠AOB的两条三等分线。
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关于任意角的三等问题数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012007016 张成娇【摘要】本文立足于对高中数学《课标》选修系列3的《三等分角与数域扩充》中三等分角的探究，分别从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在数学教学中的课题研究等四个主要方面进行探究.【关键词】三等分角；数域；特殊角；课题研究；一、前言《三等分角与数域扩充》是高中数学新增加的内容，它所处的是《课标》中选修系列3,选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，用以开阔学生视野.三等分角、倍立方积、化圆为方、等分圆周等尺规作图问题，都是古希腊著名的作图问题，经过了长达几千年的时间才得以解决．解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类思想史上都具有重大意义．本文从三等分角的发展历史、证明、可三等分的特殊角及在教学中的研究性学习与数学实验等四个主要方面进行说明.二、关于任意三等分角的历史在欧洲巴尔干半岛的南端，有一个濒临地中海的文明古国——希腊，古希腊人在几何学的形成和发展上作出了巨大的贡献，人们习惯上把希腊称为几何学的故乡.古希腊人鄙视任何不明确或模棱两可的东西.他们认为，没有任何东西能够像直线和圆那样，明确得使人无可挑剔!况且这两者的获得又最为容易:用一个边缘平直的工具,便能随心所欲的画出一条直线;而用一端固定,另一端旋转的工具,便能得到一个圆.所以古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的.大约在公元前六至四世纪,古希腊人,仍然热衷于三个貌似简单的作图题:给你一把圆规和直尺（无标记）,经过有限次的步骤,能否:①将一个给定角三等分?②作一个立方体使它的体积是已知立方体体积的两倍？③作一个正方形使它的面积等于已知圆的面积？以上三个问题分别称为三等分角问题、倍立方积问题和化圆为方问题，这就是几何作图的三大问题.其实这三个问题,于19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规,经有限次的作图步骤来解决的问题. 自1637年笛卡尔(Rene Descartes ,1596 - 1650 )创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则. 1837 年万泽尔( Pierre hanrent Wantzel ,1814 - 1848)首先证明了“立方倍积”和“三等分任意角”不可能尺规作图. 1873 年埃尔米特(Charles Hennite ,1822 - 1901)证明了e 是超越数.1882年林德曼(Lindeman ,1852 - 1939) 证明了π也是超越数. 从而“变圆为方”的不可能性也得以确立.1895年克莱因( Felix Klein ,1849- 1925) 总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题.三、用数域扩充的方法证明对于任意角不能三等分证明有许多的方法，如：1801年数学家高斯的证明方法：作圆的n 等分，当n 满足如下特征j1k km 1jn=2p p 其中，m 为非负整数，1p 、2p 、j p 为互不相同的费马素数（前5个费马素数为3,5,17,257,65537），i k 01i j = 或（=1、2、、）才可三等分角360n︒.在此主要是考虑到中学生的数学知识水平以及课程标准中对数域的要求，因而用采用数域扩充的方法来证明.1.预备知识(1)尺规作图的公法:①从任意一点到另一点,可作一直线;②任意有限长的线段,可顺着延长;③ 由一已知点及定距离,可作一个圆(说明的是圆规的用法).(2)可构作的概念: 经过平面上的两点，用直尺可以画一直线；经过一点用圆规可以画一个半径等于给定线段的圆，直线与直线、直线与圆和圆与圆都可能相交，这样的交点称为是用尺规可以构作的点，若交点在数轴上，也称对应的长度(实数)是可以构作的. (3)相关定理、概念定理1 设F 是R 的一个子域，则实数a 可由F 构作的充要条件是存在R 的子域链，使得0F F =，a F ∈ 且i i+1[F :F ]=2, i=12n 、、、. 推论2 设F 是R 的一个子域， a R ∈，如果a 可由F 构作，则必存在整数r ≥0，使得[F(a):F]=2r.定理3 设θ是一个角，另cos a θ=，则角θ可用尺规三等分的充要条件是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈，在()[]Q a x 中是可约的．2.证明证: 设θ是一个经过原点以x 轴为一条边的角，过原点作一半径为1的圆，圆与角的另一条边的交点的横坐标为cos θ∴ 角θ可构作的充要条件是实数cos θ可构作令3θϕ=,cos a θ=,2cos b ϕ=，则问题化为能否由()Q a 构作b有三倍角公式: 3cos 4cos 3cos θϕϕ=-∴ b 是多项式3()32()[]f x x x a Q a x =--∈的一个根假设()f x 在()[]Q a x 中可约,则由于b 是()f x 的根,而()f x 是3次的,所以()b Q a ∈或是()Q a 上的一个二次不可约多项式的根.若是前者,显然b 可以由()Q a 构作;若是后者, 则有[()():()]2Q a b Q a =,于是b 是可以由()Q a 构作的∴ 当()f x 在()[]Q a x 中可约时, b 可以由()Q a 构作的,从而θ可构作假设()f x 在()[]Q a x 中不可约,则()f x 就是b 在()Q a 上的极小多项式,从而有[()():()]3Q a b Q a =∴ b 不可由()Q a 构作,即θ不可构作 ∴ 三等分任意角是不可能的3.举例说明例如,角3π是不能用尺规三等分的,因为此时12a =,3()31f x x x =--在[]Q x 中不可约四、可三等分的特殊角用尺规将三等分一个任意角是不可能的, 但对于一些特殊角则可以利用尺规三等分，例说如下：1. 180︒可以三等分简析：根据上述的证明过程，因为此时cos 1a θ==-,32()32(1)(2)f x x x x x x =-+=-+-在[]Q x 中可约,从而可三等分.这时把一平角三等分，每一份的度数是60︒而等边三角形的每一内角是60︒，故可以利用作等边三角形的方法把平角三等分．作法:（1）如图1，A O B ∠为平角，分别在角的两边O A 、O B 上取两点C D 、. (2)分别以O O C D 、为边,作两个等边三角形(E C O FD O ∆∆、).则O E O F 、为平角A O B ∠的三等分线,即O E O F 、把平角A O B ∠三等分.2. 45︒角三等分简析: 因为把一个45︒的角三等分,每一份是15︒,而15︒恰好是30︒的一半，或者是604515︒-︒=︒，故仍可采用先作等边三角形的方法把45︒的角三等分.作法:(1)如图2, 45A O B ∠=︒.在O A 上任取一点C,以O C 为边,在A O B ∠内部作等边三角形O C D ∆.(2)作D A O ∠的平分线OE. (3)作E A O ∠的平分线OF. 则OE 、OF 把45︒的A O B ∠三等分3. 90︒角三等分简析: 根据上述的证明过程，因为此时cos 0a θ==, 32()3(3)f x x x x x =-=-在[]Q x 中可约,从而可三等分.此时把一直角三等分,每一份的度数是30︒,而906030︒-︒=︒,可用作等边三角形的方法把直角三等分.4. 还有135︒、36︒等可转化为形如180n ︒(n不为3的倍数, *n N∈)的角都可以三等分.此为俄国数学家罗巴切夫斯基经过多年努力得到的结论.因此根据这个结论也可以得到60︒、120︒等是不可三等分的.五、在高中数学教学中的研究课题现今的教育要求丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学追求的基本理念.独立自主、自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式.随着三等分角这部分内容进入高中数学课程，这使得三等分角成为一个很好的研究课题.下面简述两个.1. 在已有的数学知识水平上开展研究性学习比如参考文献[5]中对三等分角的研究，该文中作者在学生学了二倍角公式并逆用二倍角公式推得半角公式后，让学生推导三倍角公式.利用三倍角公式，从特殊的60︒角的三等分角20︒的可作性来尝试三等分角的问题．作者将课题分为4步：探索1 能否用尺规三等分60︒角?探索2 在0︒～180︒的几个特殊角中有哪些是可三等分?哪些是不可三等分?探索3 探索0︒～180︒的几个特殊角中可三等分角与不可三等分角的特点，能得出什么结论?探索4 证明形如180()kk N︒∈形式的角中，若k是3的倍数，则不可以三等分；否则就可以三等分．通过对三等分角的研究，让学生体会了其中蕴含的数学思想方法，从一般到特殊，再从特殊到一般，提高了分析问题和解决问题的能力．同时通过以上四个探索，可使同学们感到“三等分角”问题不再是那么的神秘、高不可攀，更不会再在三等分任意角的问题上作徒劳的努力．2. 将“三等分角问题”与数学实验相结合参考文献[6]一文中,作者试着从三等分角问题出发，在前人研究的基础上，结合自己的想法，设计了一个三等分角演示仪. 作者通过五个步骤:步骤1 研读课标,确定研究题目;步骤2搜寻课题的有关资料和研究现状;步骤3 确定研究题目的基本原理;步骤4 认真分析并解决遇到的问题;步骤5 动手操作设计三等分角演示仪;在进行实验的过程中,不仅了解了三等分角的相关知识,并将三等分角应用于数学实验中,激发了学生的学习兴趣和强烈的动手制作愿望，而且能使学生在学会知识的同时，掌握分析问题，解决问题的方法.既促进了学生自身的发展，也带动了数学实验的发展.六、结束语任意角的三等分问题是几何作图三大问题之一，并且在课改中，《三等分角与数域扩充》成为了高中数学选修系列3的一部分内容.选修系列3的内容相对新颖前沿，反映了某些重要的数学思想，并且具有一定的挑战性.可见对该问题的学习有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值，文化价值，应用价值的认识，并且在培养学生的思维能力，数学素养等方面有着重要作用.参考文献[1]王忠华.用尺规作图不可能三等分任意角[J].数学通讯，2001年第19期[2]曹亮吉.三等分任意角可能吗?[J].科学月刊，1978年第4期[3王美香.高中《三等分角与属于扩充》的数学探讨[J].中学数学杂志，2009年第7期[4]侯国兴.尺规作图三等分角[J].今日中学生，上旬版，2007年第12期[5]楼许静.我把嫦娥请下凡——一堂三等分角的研究课[J].高中数学教与学，2008年第6期[6]田晓娟.从“三等分角问题”浅谈数学实验[J].科学教育，2008年第3期[7]郭熙汉.数学知识探源[M].武汉:湖北教育出版社,1999[8]唐忠明.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2005。