数项级数练习题及答案
级数习题 有答案
题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。
数列与级数练习题及解析
数列与级数练习题及解析一、选择题1. 设数列{an}满足an = n2 + 3n + 2，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4解析：根据公式an = a1 + (n-1)d，可以得到n2 + 3n + 2 = a1 + (n-1)d。
对比系数可得a1 = 2，d = 3。
所以选择C。
2. 已知数列{an}的通项公式an = 2n3 + 5n，则数列前4项的和Sn为：A. 72B. 85C. 104D. 119解析：将通项公式代入求和公式Sn = n(a1 + an)/2，得Sn = n(2 +2n2 + 5)/2 = 2n2 + 5n。
将n分别取1、2、3、4代入，得S1 = 7，S2 = 24，S3 = 51，S4 = 88。
所以选择D。
3. 已知数列{an}的前n项和Sn = n3 + 2n2 + n，则该数列的通项公式为：A. an = n3 + 2n2 + nB. an = 3n + 2C. an = n2 + n + 1D. an = 2n2 + 4n + 2解析：对已知的Sn进行分解，得Sn = n(n+1)(n+1)/2 + n(n+1)/2 + n= n(n+1)[(n+1)/2 + 1/2 + 1] = n(n+1)(n+2)/2。
所以选择A。
二、填空题1. 设数列{an}满足an = 2n2 - 3n，则该数列的前6项的和S6为_______。
解析：将数列的通项公式代入求和公式，得S6 = 2(1^2) - 3(1) +2(2^2) - 3(2) + 2(3^2) - 3(3) + 2(4^2) - 3(4) + 2(5^2) - 3(5) + 2(6^2) - 3(6) = 310。
2. 设数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2n - 1，则该数列的前5项分别为_______。
解析：根据递推关系式，可以得到a2 = a1 + 2(2) - 1 = 4，a3 = a2 +2(3) - 1 = 10，a4 = a3 + 2(4) - 1 = 18，a5 = a4 + 2(5) - 1 = 28。
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
数项级数试题[整理版]
![数项级数试题[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/59147efd541810a6f524ccbff121dd36a32dc460.png)
（ —— 学年度第 学期）课程名称：数学分析(二) 试卷类型：数项级数一、填空题（每小题2分，共30分）1、交错级数()∑∞=-11n n。
2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则nn u∞→lim = 。
3、级数∑∞=11n p n ，当p 时收敛，当p 时发散。
4、交错级数()∑∞=-21n xnn，当x 时绝对收敛，当x 时条件收敛。
5、若级数∑∞=1n n a 绝对收敛，数列{}n b 有界，则级数∑∞=1n n n b a（绝对收敛或条件收敛或发散）。
试卷不允许拆开6、若数列{}n a 收敛于a ，则级数()=-∑∞=+11n n n a a 。
7、当正数a 时，∑∞=+111n n a 收敛；当正数a 时，∑∞=+111n na发散。
8、级数()()∑∞=+-112121n n n = 。
9、级数∑∞=-1132n n = 。
10、级数nn n x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1!，当11、若∑∑∞=∞=1212,n nn n v u 收敛，则∑∞=1n nn vu （绝对收敛或条件收敛或发散）。
12、级数∑∞=1!n nn a （绝对收敛或条件收敛或发散）（0>a ）。
13、级数()n n 11∑∞=-。
14、由正项级数收敛的必要条件知=+∞>-2)!(limn n nn 。
15、若级数∑∞=1n n a 收敛，∑∞=1n n b 发散，则级数()∑∞=+1n n n b a 。
二、 计算题（共28分）1、判别下列级数的收敛性：（14分）（1）∑∞=03sin 2n n nπ； （2）nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112； （3）∑∞=1!n nnn ；（4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n ；（5）∑∞=+-12121n n n ；（6）()()0111>+-∑∞=x x x n n n n n ；（7）()()0,2,0,sin 1>∈∑∞=απαx n nxn 。
数学分析函数项级数课后习题答案
§11.11.解：（1）由于，所以于是，，因此 ，，（2）由于对，有，又，故，于是，， ⑶ 解：，故在上不一致收敛。
⑷ 解：令，故得为唯一极大值，从而是最大值，，故一致收敛。
⑸ 解： 法一，直接有和函数的连续性，可知在上不一致收敛。
法二，取， 故不一致收敛。
()()x S x x S n n ==∞→lim ()()n xnx n x n x x S x S n 111122222≤++=-+=-()()n x S x S n Dx 1sup ≤-∈()()0sup lim =-∈∞→x S x S n Dx n ()x x S x S n =⇒)(()∞→n D x ∈()+∞∞-∈∀,x ()()x S x n xx f n n n ==+=∞→∞→01limlim 22()()nx n x x S x S n 21122≤+=-()()()0sup lim ,=-+∞∞-∈∞→x S x S n x n ()0)(122=⇒+=x S xn xx S n ()∞→n R x ∈01lim 0,sup 010nxnx n x e e --→∞<<=-=≠n S ()0,1()()0,nx n S x xe S x -=→=(),nx f x xe -=()()()001'10,''0nx f x e nx x f x n-=-=⇒=<0x ()10,111sup 00n nxn x xee n e n--∈+∞-==→()n S x ()()[]1,2sin ,0,0,\2nn x S x S x x πθππ⎧=⎪⎪=→=⎨⎪∈⎪⎩()n S x []0,π()11sin lim 0022n n n n n n x arc x s x →∞→∞=-=-=≠⑹ 解：，又，（7）由于，，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。
（8）设，则是正项级数，且有 ， 即收敛，而对，有故由判别法知：在上一致收敛。
级数考试题及答案
级数考试题及答案【题目一】确定下列级数是否收敛，并给出证明。
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]【答案一】该级数是一个交错级数，我们可以使用比较判别法来证明其收敛性。
首先，我们知道调和级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)是发散的，但是其平方级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)是收敛的。
因为对于所有的\( n \geq 1 \)，有\( \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \)。
通过部分和的望远镜效应，我们可以证明\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \)的收敛性。
【题目二】计算级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)的和。
【答案二】该级数是一个交错级数，我们可以通过级数的和-项公式来计算其和。
首先，我们注意到级数的项是交错的，即正负交替出现。
我们可以使用交错级数的和-项公式：\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \]\[ S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \] 我们可以通过分组求和的方式来简化计算：\[ S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots) \]第一个括号内的级数是调和级数的一半，第二个括号内的级数是第一个括号内级数的四分之一。
因此，我们可以得出：\[ S = \ln(2) \]【题目三】判断级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^n} \)的收敛性。
大学第四版高等数学教材答案
大学第四版高等数学教材答案【前言】在大学学习的过程中，高等数学是一门非常重要的课程。
为了更好地帮助同学们进行学习，提供一个参考，下面是大学第四版高等数学教材的答案。
【第一章微分学】1.1 导数与微分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x的导数。
答：f'(x) = 6x - 2.2. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数。
答：f'(2) = 6.1.2 函数的凹凸性和拐点练习题答案：1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的凹凸性和拐点。
答：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。
当x小于1时，f''(x)小于0，函数凹；当x大于1时，f''(x)大于0，函数凸。
所以在x = 1处有拐点。
2. 设函数f(x) = x^4 - 8x^2 + 12x，求其在[-2, 4]上的最大值和最小值。
答：首先求f'(x) = 4x^3 - 16x + 12，求解得到导数的零点x = -2, 1, 2。
然后求解f''(x) = 12x^2 - 16，代入得到f''(-2) = 20, f''(1) = -4, f''(2) = 20。
通过计算得知，在x = -2处为极小值，x = 1处为极大值。
所以最小值为f(-2) = 20，最大值为f(1) = 5。
【第二章积分学】2.1 不定积分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。
答：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数。
2. 计算不定积分∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx。
答：∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x + C，其中C为常数。
级数测试题及答案
级数测试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：A2. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：C3. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) 的收敛性取决于\(p\) 的值，其中 \(p > 1\) 时级数：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A4. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：D5. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\) 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\) 的和为_______。
答案：17. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) 是 _______ 级数。
答案：p8. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) 的和为_______。
答案：\(\frac{\pi^2}{12}\)9. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\) 与级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 相比，前者是 _______ 收敛的。
答案：更慢10. 级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}\) 的和为_______。
数学分析数项级数课后习题答案
A 一、不定积分部分1.设()f x 具有可微的反函数()1fx -。
设()F x 是()f x 的一个原函数。
试证明()()()111f x dx xf x F f x C ---⎡⎤=-+⎣⎦⎰。
证 在公式右端对x 求导，我们有()(){}()()()()()()()()1111111111.df x df x d xf x F f x C f x x f f x dx dx dx df x df x f x x x f x dx dx----------⎡⎤⎡⎤-+=+-⎣⎦⎣⎦=+-=2. 设()f x 定义在(),a b 上，a c b <<，且有()()()()()()()()1212;;lim ,lim x cx cF x f x a x c F x f x c x b F x A F x B -+→→''=<<=<<==，若()f x 在x c =处连续，试证明()f x 在(),a b 上存在原函数。
证 作函数()F x 如下：()()()12,,,,,.F x a x c F x A x c F x B A c x b <<⎧⎪==⎨⎪-+<<⎩则()F x 在x c =处连续，由()f x 在x c =处连续知，()()lim lim x cx cF x F x -+→→=，故根据导函数的特征，即知()()F c f c '=。
因而()F x 是()f x 在(),a b 上的原函数。
3. 试证明下列命题：（1）（函数方程）设()f x 是(),-∞+∞上的可微函数，且满足()()()2,f x y f x f y xy x y +=++∈(),-∞+∞，则()()20f x x f x '=+；（2）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且()()0f a f b ==。
级数练习题及答案
级数练习题及答案一、选择题1. 下列级数中收敛的是：A. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...D. 2 + 4 + 8 + 16 + ...答案：A2. 对于级数 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...，下列说法正确的是：A. 级数的和为1B. 级数的和为0C. 级数的和为2D. 级数为发散的答案：B3. 给定级数的前n项和Sn，当n趋向于无穷大时，若Sn趋向于一个有限的值，则称该级数为：A. 发散级数B. 收敛级数C. 无界级数D. 有界级数答案：B二、填空题1. 计算级数 2 + 4 + 8 + 16 + ... 的和。
答案：级数为等比数列，公比为2，根据等比数列求和公式，和为2^n - 2，其中^n表示累乘。
2. 求级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为2。
三、计算题1. 计算级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/2，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为1。
2. 计算级数 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/3，公比为1/3，根据几何级数求和公式，和为1/2。
四、证明题证明级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和为2。
证明：我们可以通过求极限的方法证明。
设级数的部分和为Sn，则Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n。
当n趋向于无穷大时，Sn趋向于一个有限值。
设该有限值为S，则有：S = lim(n->∞) Sn= lim(n->∞) (1 - 1/2^n) / (1 - 1/2)= 1 / (1 - 1/2)= 2所以级数的和为2。
试题集：级数与无穷级数
1. 下列级数中，哪一个级数是绝对收敛的？oA. ∑(−1)nn∞n=1o B. ∑1n 2∞n=1 oC. ∑n √n ∞o D. ∑1n ∞n=1参考答案：B解析： 选项B 是p -级数，其中p =2>1，因此它是绝对收敛的。
选项A 和C 是交错级数，而选项D 是发散的调和级数。
2. 无穷级数∑1n (n+1)∞n=1的和是多少？o A. 1 o B. 12 o C. 2 o D. ∞参考答案：A解析： 该级数可以通过部分分式分解为∑(1n −1n+1)∞n=1，这是一个可缩放的级数，其和为1。
3. 下列级数中，哪一个级数是条件收敛的？o A. ∑12n ∞n=1 oB. ∑(−1)nn∞n=1o C. ∑1n 3∞n=1 o D. ∑1n ∞n=1参考答案：B解析： 选项B 是交错调和级数，它是条件收敛的，因为它的绝对值级数是发散的。
4. 无穷级数∑1n 2∞n=1的和可以表示为哪个数学常数？o A. π o B. eo C. π26o D. ln (2)参考答案：C解析： 该级数是著名的巴塞尔问题，其和为π26。
5. 无穷级数∑1n p ∞n=1，当p =1时，该级数是？o A. 绝对收敛 o B. 条件收敛 o C. 发散 o D. 无法确定参考答案：C解析： 当p =1时，该级数是调和级数，它是发散的。
6. 无穷级数∑1n!∞n=1的和等于？o A. e o B. e −1 o C. e +1 o D. 2e参考答案：B解析： 该级数是e x 的泰勒级数在x =1时的展开，减去第一项1，因此其和为e −1。
7. 无穷级数∑12n ∞n=1的和是多少？o A. 1 o B. 12 o C. 2 o D. 14参考答案：A解析： 该级数是一个几何级数，其首项a =1/2，公比r =1/2，因此其和为a1−r =1。
8.无穷级数∑(−1)n+1n∞n=1的和等于？o A. ln (2) o B. ln (2)−1 o C. ln (2)+1 o D. 2ln (2)参考答案：A解析： 该级数是自然对数ln (1+x )在x =1时的泰勒级数展开，其和为ln (2)。
级数练习题
1 1 （12） tan arctan 。 n n n 1
（1） n （ 0 ） ；
n n 1
xn （2） （ x 0） ； 2 n n 1 (1 x)(1 x ) (1 x )
1 1 （3） sin （ p 0 ） ； n n 1 n
n 3 2n 3
；
（2） n
n 1
1 ln n
；
（3） sin
n 1
n2
cos
2n
；
（4） （6）
5n ； n n n 1 7 2
（5）
1 ； ln n n 1 (ln ln n)
3n ； 2 n n 1 n 2
1 ； 5 n 1 n ln(5 n )
10．求幂级数 (1) n1
n 1
2n 1 2 n x 收敛域及和函数。 n
11．求下列函数项级数的收敛域。
1 1 x （1） ； n 1 2n 3 1 x
n
（2）
1 tan n 。 n 2 n 1 ( x 1)
12．计算 arctan 13．计算
n 1
sin a n n 2 2
绝对收敛。
15.设数列 {a n } 单调减少且趋于 0，证明级数 (1) n
n 1
a1 a 2 a n 收敛。 n
16.设 f ( x) arctan x p （ p 0 ） ， a n f ( n)
n 1 n
n2
级数考试题及答案
级数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 级数的收敛性是指（）。
A. 级数的和存在B. 级数的和为无穷大C. 级数的和为有限值D. 级数的和为0答案：C2. 几何级数的公比q满足（）。
A. |q| > 1B. |q| = 1C. |q| < 1D. |q| ≥ 1答案：C3. 调和级数是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：B4. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D5. 幂级数∑(n=0 to ∞) x^n 的收敛半径是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B6. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2 是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：A7. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/√n 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D8. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n 是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：B9. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/(2n-1) 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D10. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n^2 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n^p 的收敛性取决于p的值，当p >________ 时，级数收敛。
答案：112. 几何级数∑(n=0 to ∞) ar^n 的和为 ________，其中|q| < 1。
答案：a/(1-q)13. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/(2n+1) 的和为 ________。
级数练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版级 数一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ 对 ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ 错 ） 3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ 错 ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ 错 ）1115.(1).n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有 （ 错 ）116.lim 1,.n n n n nuu u ∞+→∞=>∑若则发散 （对 ） 17.(1).n n n a ∞=-∑若级数收敛，则必为条件收敛 （ 错 ）二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a ____A_____.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a ____C____.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则___C____.发散必发散必发散必发散4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑ （ D ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则__D___6．设幂函数∑=-nn nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ____A____A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ C ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ． 敛散性不能判定（2211(1)2n n nn n u u u n n +-=⋅≤） 三、填空题：1. 级数 n 1(1)2nnx n ∞=-⋅∑ 的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.2．部分和数列}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的__充要_条件，是任意项级数∑∞=1n nu 收敛的__必要__条件。
微积分B(1)第11次习题课(数项级数)答案
．证明：级数 ∑ u 收敛的充分必要条件是： lim u 证：必要性：因为 lim S = lim ∑ a 存在，所以 lim u = lim( S − S ) = lim S − lim S = 0 ，且 lim S
∞
2
n
n =1
． = 0 ，且 ∑ (u
∞ n =1 2n
2 n −1
2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 2 3 2 n n n +1 n 2 2 n n
．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛 1) （1） ∑ (−n ； 解： p ≤ 0 时发散； 0 < p ≤1 时条件收敛； p > 1 时绝对收敛． （2） ∑ (1−+1)a ； 解： a > 1 时绝对收敛； −1 < a ≤1 时发散． n −1 1 （3） ∑ (−1) n ； +1 n n −1 1 1 2 解： n ，由于 Leibniz 形级数 = − +1 n n ( n + 1) n
n =1 ∞ n=2 ∞ n=2
（13）1 + a + ab + a b + a b + a b + ⋯ + a b + a b + ⋯ a, b > 0 ． 解：加括号成为级数 (1 + a) + (ab + a b) + (a b + a b ) + ⋯ + (a b + a b ) + ⋯ = (1 + a) + ab(1 + a ) + a b (1 + a ) + ⋯ + a b (1 + a) + ⋯ ， 这是几何级数，公比为 ab ，所以 ab < 1 时收敛，其它情形发散． 因为正项级数收敛当且仅当它以某种方式加括号后收敛，所以原级数当 ab < 1 时收敛， 其它情形发散．
【精品】级数例题讲解(一)
高等数学（1)学习辅导(12）级数例题讲解（一）（一）、填空题1．若数项级数收敛，则_________。
解：由级数收敛的必要条件知,.应填：0lim =∞→n n a 2.当 时，几何级数aq n n =∞∑0收敛；当________时，发散。
解:由几何级数的性质可知，当1<q 时，∑∞=1n n aq收敛．1≥q ∑∞=1n n aq 发散．应填：1<q ；1≥q3。
级数当________时收敛；当________时发散。
解：由p －级数的性质可知：1>p ，收敛；1≤p ，发散。
应填：1>p ；1≤p4.级数()151n n n-=∞∑１是 级数．解：级数∑∞=151n n 收敛，级数∑∞=11n n发散，由级数的性质可知∑∞=-1)151(n n n 是发散级数． 应填：发散5. 当________时，级数收敛。
解：由莱布尼兹判别法知，0>p ,级数收敛。
应填：0>p6.幂级数的收敛半径是_______,收敛区间是__________.解：由几何级数的性质可知,1<x ，级数收敛1≥x ，级数发散应填：1=R ;)1,1(-。
二、单项选择题1．若数项级数收敛，S n 是此级数的部分和，则必有（）。
（A)（B ）（C ）S n 有极限(D ）S n 是单调的解:由级数收敛的定义，知C 真确应选C2.下列级数中，（ ）收敛． A.12n n =+∞∑１； B 。
1n n =+∞∑１； C.()-+=+∞∑12n n n n １；D 。
()-=+∞∑1n n n １解：由-p 级数的收敛性可知A,B 选项中的级数发散；C 选项中的级数一般项不趋于0，由收敛的必要条件知其发散；()-=+∞∑1nn n １满足莱布尼茨判别法的条件，所以收敛，故选项D 正确．应选D3.若条件（)成立，则级数发散，其中S n 表示此级数的部分和。
（A ）（B ）（C ）(D)不存在解：由级数收敛的必要条件知,D 正确应选D4。
ch01 数列极限与数项级数 - 习题课
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1)
n n n lim n 1 n
1
1 lim n n n
据比较审敛法的极限Th4形式, 原级数发散
, 原级数发散 （比值审敛法Th8）
(3)
n cos 2 n3π 2
n
:
n 1
n cos 2 n3π n 0 n, n 2 2
1 n 1 n 数列{xn (1 ) }是单增的, xn (1 ) e , n n 1 n1 又 数列{ yn (1 ) }是单减的, n 1 n1 1 n 1 lim yn lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) e , n n n n n n n 1 n 1 n1 xn (1 ) e yn (1 ) , 取对数 : n n 1 1 1 ln(1 ) . n 1 n n
第一章 数列极限与数项级数
习题课
一、数列极限
二 、数项（正项）级数
二、数列极限
例1：求极限 (1) lim n a 1 (a 0) ;
n
(P4, 例4)
(2) lim n n 1.
解 : (2)
n
当 n 1 时，n n 1, 令 n n = 1 n , 则n 0 , n(n 1) 2 n (1 n ) 1 nn n ... (n ) n , 2 n(n 1) 2 2 n n , 即 0 n 0 (n ) , 2 n 1
n
于是
n
n = 1 n 1 ( n ) .
1 3 5 (2n 1) 例2：求极限 lim 1 . (P29, 题1(8)) n 2 4 6 2n
级数练习题
级 数一、 判断题1．正项级数 ∑∞=1n n u 发散，则其部分和数列趋于无穷大。
（ 对 ）2． 若1lim =∞→n nn v u ，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛同时发散。
（ 错 ）3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=12n n u 一定收敛。
（ 错 ）4．若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<+∞→nn n u u （ 错 ）1115.(1).n n n n n u u u ∞-+=-≥∑若交错级数收敛，则必有 （ 错 ）116.lim 1,.n n n n nuu u ∞+→∞=>∑若则发散 （对 ） 17.(1).n n n a ∞=-∑若级数收敛，则必为条件收敛 （ 错 ）二、选择题：1．设幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在 x = -1 处条件收敛，则级数∑∞=1n n a ____A_____.A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能确定2．设级数∑∞=1n n a 条件收敛，那么级数∑∞=+12n nn a a ____C____.A. 必定条件收敛B. 必定绝对收敛C. 必定发散D. 敛散性不能确定111122113..()..(||||).().n n n n nn n nn n nn n n n n u v A uv B u v C uv D uv ∞∞==∞∞==∞∞==+++∑∑∑∑∑∑若与都发散，则___C____.发散必发散必发散必发散4．设级数1n n a ∞=∑绝对收敛，则11(1)n n n a n ∞=+∑ （ D ）.A ．发散B ．条件收敛C ．敛散性不能判定D ．绝对收敛115.(0)lim,..1.1.1.1n n n n n na a a r a A r B r C r D r ∞+→∞=>=>≥<≤∑若收敛，且存在则__D___6．设幂函数∑=-nn nn x a 1)12(在x=2处收敛，则级数∑∞=-1)2(n n n a ____A____A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 收敛性不能确定7．设级数∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n nnnu （ C ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ． 敛散性不能判定（2211(1)2n n n n n u u u n n +-=⋅≤）三、填空题：1. 级数 n 1(1)2nnx n ∞=-⋅∑ 的收敛半径为___2___，收敛域为__[-1,3）__.2．部分和数列}{n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的__充要_条件，是任意项级数∑∞=1n nu 收敛的__必要__条件。